CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul

DERIVADAS DIRECIONAIS E GRADIENTE

As derivadas parciais de uma função são as taxas de variação instantâneas dessa função nas direções paralelas aos eixos coordenados. As derivadas direcionais nos permitem calcular taxas de variação de uma função em relação a qualquer direção.

Suponha que queiramos calcular a taxa de variação instantânea de uma função \(f (x, y)\) em relação à distância em um certo ponto \((x_{0}, y_{0})\) em alguma direção. Existe uma infinidade de direções nas quais um ponto pode se mover no plano \((x_{0}, y_{0})\), para descrever uma direção especificada começando em \((x_{0}, y_{0})\). Uma maneira de fazer isso é usar um vetor unitário.

Definição Se \(f (x, y)\) for uma função de \(x\) e \(y\) e se \(u = u_{1}i + u_{2} j\) um vetor unitário, então a derivada direcional de f na direção e sentido de u em \((x_{0}, y_{0})\) será denotada por \(D_{u} f (x_{0}, y_{0})\) e definida por

\(D_{u}f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x,y)u_{1}+f_{y}(x,y)u_{2}\)

desde que esse limite exista.

• Observação: Se o vetor não for unitário temos que dividir pelo seu módulo.

Exemplo 1 Ache a derivada direcional de \(f(x,y)=x^{3}y^{2}\) no ponto \((-1,2)\) na direção do vetor \(a=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}\) e na direção de \(b=4\vec{i}-3\vec{j}\)

Exemplo 2 Ache a derivada direcional da direção de \(P(-1,2)\) a \(Q(2,3)\).

As derivadas direcionais de uma função que é diferenciável em um ponto existem em qualquer direção e sentido nesse ponto e podem ser calculadas diretamente em termos das derivadas parciais de primeira ordem da função.

TEOREMA

A Fórmula (a) e (b) pode ser dada em termos do produto escalar. Em ambos os casos, a derivada direcional é dada em termos do produto escalar do vetor de direção \(u\) com um novo vetor construído a partir das derivadas parciais de \(f\).

GRADIENTE

DEFINIÇÃO

A Fórmula \(D_{u}f(x_{0},y_{0})\) pode ser interpretada como significando que a inclinação da superfície \(z = f (x, y)\) no ponto \((x_{0}, y_{0})\) na direção de \(u\) é o produto escalar do gradiente com \(u\).

PROPRIEDADES DO GRADIENTE

O gradiente não é meramente uma notação para simplificar a fórmula da derivada direcional, vmaos ver que o comprimento e a direção do gradiente \(∇f\) fornecem informação importante sobre a função \(f\) e a superfície \(z = f (x, y)\).

Geometricamente

• Em \((x, y)\), a superfície \(z = f (x, y)\) tem sua inclinação máxima na direção do gradiente, e a inclinação máxima é \(∇f (x, y).\)

• Em \((x, y)\), a superfície \(z = f (x, y)\) tem sua inclinação mínima no sentido oposto ao do gradiente, e a inclinação mínima é \(−∇f (x, y)\).

Observação: O Gradiente de \(f\) é sempre perpendicular as curvas de nível de \(z=f(x,y)\).

PLANOS TANGENTES E VETORES NORMAIS

Definição: Suponha que \(F(x, y, z)\) tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas e que \(P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) seja um ponto da superfície de nível \(S\): \(F(x, y, z) = c\). Se \(∇F(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0\), então \(n = ∇F(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) será um vetor normal a \(S\) em \(P_{0}\) e o plano tangente a \(S\) em \(P_{0}\) será o plano de equação.

Exemplo Encontre a equação do plano tangente ao elipsóide \(x^{2} + 4y^{2} + z^{2} = 18\) no ponto \((1, 2, 1)\). Determine o ângulo agudo que o plano tangente no ponto \((1, 2, 1)\) faz com o plano \(xy\).