Probabilidad condicionada
La probabilidad de un evento variará dependiendo de la ocurrencia o la no ocurrencia de uno o mas eventos relacionados.
Si tenemos dos eventos, A y B, la probabilidad condicional de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se representa como P(A|B), y se calcula de la siguiente manera:
Fórmula
En un diagrama de Venn, veríamos los eventos A y B de la siguiente manera:
Diagrama de Venn, AB
La condición, es que se ha realizado en el evento B, por lo tanto, nuestro diagrama de Venn quedaría reducido a:
Diagrama de Venn, P(AB)/P(B)
Por ello, podemos ver que el universo está representado por la probabilidad de B, y dentro de ese universo, la probabilidad de que ocurra A, está representada por la probabilidad de A ∩ B.
Fórmula
En algunos problemas, puede que sea necesario calcular la probabilidad de que ocurra el evento B, dado que ha ocurrido A. En ese caso, simplemente invertimos el orden de las variables:
Fórmula
Ejemplo 1
El 76 % de los estudiantes de Ingeniería Civil han aprobado resistencia de materiales y el 45 % aprobaron estática. Además, el 30 % aprobaron resistencia de materiales y estática. Si Camilo aprobó resistencia de materiales, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también estática?
Solución:
Vamos a trabajar con 2 eventos: aprobar resistencia de materiales, y aprobar estática.
Evento A: aprobar resistencia de materiales. P(A) = 76 %.
Evento B: aprobar estática. P(B) = 45 %.
Evento A y B: aprobar resistencia de materiales y estática. P(A∩B) = 30 %, y es lo mismo que: P(B∩A) = 30 %.
Ahora calculamos la probabilidad de aprobar estática, dado que se aprobó resistencia de materiales.
Cálculo de probabilidad del ejemplo 1
- Para Camilo, la probabilidad de aprobar estática, dado que aprobó resistencia de materiales es de 39.47%.
Ejemplo 2
La probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (evento B) es de 0.10. Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (evento A) es el 0.25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (evento intersección de A y B) es del 0.05.
Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).
Cálculo de probabilidad del ejemplo 2
- La probababilidad de que una persona sufra problemas coronarios dado que está obesa es del 20%
Conclusión
La probabilidad condicionada no es lo mismo que la probabilidad simple, la primera ve afectada su valor por la probabilidad de ocurrencia de otros eventos relacionados. Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad incondicional o simple). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6. La probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad de 1/6). Y como vimos en los ejercicios de ejemplo, calcular esta probabilidad condicionada es muy fácil.
Los eventos en la vida real en su mayoría estan interrelacionados, y es por ello que en la mayor parte de los casos, su probabilidad es condicionada y no simple.