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El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato) . Su nombre proviene del presentador, Monty Hall.

En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de la s otras dos puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida .

La pregunta que surge es: ¿Cúal sería la estrategia correcta?

  1. Quedarse con la puerta inicial

  2. Cambiar a la otra puerta

  3. Es irrelevante cambiar o no cambiar

Formula

puertas <- c("A","B","C")
xdata   <- c(10000)
set.seed(10)
for (i in 1:10000) {  # 10000 iteraciones
  premio <- sample(puertas)[1] # Asignar al premio una puerta al azar
  eleccion <- sample(puertas)[1] # Concursante elige una puerta al azar
  abrir <- sample(puertas[which(puertas != eleccion & puertas != premio)])[1] # "Abren" una que no es la que elegiste ni la que tiene premio
  cambiarsi <- puertas[which(puertas != eleccion & puertas != abrir)] # Situacion si cambiaras. 
  if(eleccion == premio) (xdata = c(xdata,"nocambiargana")) # Caso en que eleccion original ganara y guardas resultado
  if(cambiarsi == premio)(xdata = c(xdata, "cambiargana")) # Caso en que cambiar ganara y guardas resultado
}
cambia<-length(which(xdata == "cambiargana")) # Cantidad que hubieran ganado si cambiabas
nocambia<-length(which(xdata == "nocambiargana")) # Cantidad que hubieran ganado si no cambiabas
cambia
## [1] 6623
nocambia
## [1] 3377
plot.new()
barplot(c(cambia/10000,nocambia/10000), xlab=c("Escenarios"), ylab=c("Probabilidad de ganar"), ylim = c(0,1),main="Gráfico de probabilidades de Monty Hall", col = c("green","blue"), names.arg = c(" Sí cambia de puerta","No cambia de puerta"))

Fuente: https://fbstatsblog.wordpress.com/2017/11/01/simulacion-de-monty-hall/

Explicación

Para sorpresa o no de ustedes, la elección parece obvia. Cambiar de puerta nos hace elegir el premio un 66% de las veces y no cambiar tan solo un 33%.

Entender por qué es interesante.

En este juego es valioso preguntarse ¿Cuál es la estrategia óptima para maximizar la cantidad de veces en las que ganes el carro? Obviamente, si juegas muchas veces, vas a salir ganando porque un carro simpre va a ser mucho más valioso que una cabra, pero ese en este momento no es el punto y a demás esta estrategia no funcionaría si solo puedes jugar una sola vez. Así que en una sola partida, tal vez el participante piense que Monty Hall al momento de revelar una de las puertas sin el premio mayor, hizo que la probabilidad de ganar sea de 50% en lugar del 33% que en un inició se tenía; por lo que no habría estrategia óptima, todo sería dejado a la suerte. Sin embargo, sorpresivamente, la respuesta es que siempre debes cambiar de puerta, esto permitirá que a la larga, ganes más veces que si te hubieras quedado con la misma puerte que se eligió en un principio. Lo anterior se debe a lo siguiente:

En el juego, se poseen tres puertas, lo que claramente determina que se posee únicamente un tercio de probabilidades de ganar. Suponiendo que se elige una puerta perdedora, Monty hall revelará la otra puerta perdedora, diendo paso a que en ese momento se tengan dos posibilidades, cambiar o no cambiar. Como se eligió una incorrecta, si no se cambia de puerta pierdes, pero si sí cambias, ganas. Y si imaginamos que por otro lado, se hubiera elegido la otra puerta perdedora, se nos presentá la misma situación, si se cambia ganas y si no cambias pierdes. Pero, en caso de que se eliga la puerta ganadora, si no cambias, ganas, pero si sí cambias, pierdes.

Lo anterior evidencia que la eleción de cambiar de puerta hace que se puda ganar dos de cada tres veces, porque dos de cada tres veces se va a elegir mal. No cambiar, por otro lado, hace que se gane únicamente una de cada tres. Cabe decir que si bien es verdad que una vez que se elige una puerta las probabilidades se convierten en un problema de 50/50, se debe observar todo el panorama para entender porqué siempre es mejor cambiar.

Otra manera de comprender este problema es por los medios matemáticos, que son los siguientes:

Solución matemática

Sean X(ω,P)→{1,2,3} una variable aleatoria que indica la probabilidad de que se encuentre el coche en cada una de las puertas y sea Y(ω,P)→{1,2,3} la variable aleatoria que se define como la puerta que escoge el concurstante al azar mientras Z(ω,P)→{coche,cabra} la variable aleatoria del elemento que seleciona el presentador, es claro que P(M=cabra)=1.

Tenemos que calcular:

P(X=Y|M=cabra)

es decir la probabilidad de que el concursante escogiendo al azar la puerta acierte donde esta el coche. Aplicando la definición de la probabilidad condicionada:

P(X=Y|Z=cabra)=(P(X=Y∩Z=Cabra)) / (P(Z=Cabra))=P(X=Y)=1/3

Mientras que la probabilidad de acertar la posición del coche si cambiamos la puerta es:

P(X≠Y|Z=cabra)=1−P(X=Y|Z=cabra)=2/3

Siendo los valores que obteniamos de manera aproximada con la simulación.

Fuente: https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/116220_3df5744d76ea42619407579eb910eac4.html#(5)