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Introducción

El problema de Monty Hall

¿Cambiar de opción es mejor que mantenerse con la decisión inicial?

Monty Hall es el nombre de un programa de concursos televisivos que consiste en que a partir de una elección simple de puertas, serías capaz de ganar un automóvil.

Para retratar esta situación supuestamente aleatoria, utilizaremos la herramienta R en orden de conseguir datos estadísticos que nos muestren que podría pasar al enfrentarnos a este juego. Existen tres puertas delante de nosotros, que determinamos como la puerta azul, verde y roja, en dos de esas puertas encontraremos carneros, pero en una de las tres puertas encontraremos un automóvil cero kilómetros y gratis para el que escoja la puerta correcta. En el siguiente código, plantearemos la situación donde elegimos una de las tres puertas de colores, y la respuesta será en caso de que hayamos escogido ya sea la puerta con el carro nuevo (TRUE) o la puerta con alguno de los carneros (FALSE).

puertas <- c("puerta azul", "puerta verde", "puerta roja")
premios <- sample(c("Carro", "Carnero", "Carnero"))
puerta_premio <- puertas[premios == "Carro"]
eleccion <- sample(puertas, 1)
puerta_que_abre <- sample(puertas[!puertas %in% c(eleccion, puerta_premio)],1)
eleccion == puerta_premio
## [1] TRUE

Primera situación

Consiguientemente, el objetivo de este trabajo es calcular la probabilidad de ganar un carro cero kilómetros, por lo cual el siguiente grupo de códigos corren el caso de escoger una de las tres puertas de colores diez mil veces y ganar el automóvil. Es decir, la probabilidad de que 1/3 puertas que podemos escoger, escojamos la puerta ganadora; en este numero de casos la probabilidad de escoger entre las puertas azul, verde y roja, la ganadora es de 0.3367, un dato muy parecido al de 1/3.

num_veces <- 10000

resultados <- replicate(num_veces, {
      puertas <- c("puerta azul", "puerta verde", "puerta roja")
      premios <- sample(c("Carro", "Carnero", "Carnero"))
      puerta_premio <- puertas[premios == "Carro"]
      eleccion <- sample(puertas, 1)
      puerta_que_abre <- sample(puertas[!puertas %in% c(eleccion, puerta_premio)],1)
      
      eleccion == puerta_premio
})
mean(resultados)
## [1] 0.3334
#> [1] 0.3265

A este respecto, calcularemos la misma situación de ganar el carro cero kilómetros, pero correremos la situación un millón de veces; en este caso también da un dato parecido a 1/3, dio 0.332885, es decir, mientras más veces intentemos este caso, la probabilidad de obtener el premio disminuye, muy diminutamente, pero disminuye.

num_veces <- 1000000

resultados <- replicate(num_veces, {
      puertas <- c("puerta azul", "puerta verde", "puerta roja")
      premios <- sample(c("Carro", "Carnero", "Carnero"))
      puerta_premio <- puertas[premios == "Carro"]
      eleccion <- sample(puertas, 1)
      puerta_que_abre <- sample(puertas[!puertas %in% c(eleccion, puerta_premio)],1)
      
      eleccion == puerta_premio
})
mean(resultados)
## [1] 0.333181
#> [1] 0.3265

###Segunda situación Por otro lado, el presentador del programa decide abrir una de las tres puertas de colores diferente a la que habías escogido y nos muestra un carnero dentro de esta, en este punto el presentador nos pregunta si deseamos cambiar de puerta o mantenernos con la puerta que ya habíamos escogido.

num_veces <- 10000

resultados <- replicate(num_veces, {
      puertas <- c("puerta azul", "puerta verde", "puerta roja")
      premios <- sample(c("Carro", "Carnero", "Carnero"))
      puerta_premio <- puertas[premios == "Carro"]
      eleccion <- sample(puertas, 1)
      puerta_que_abre <- sample(puertas[!puertas %in% c(eleccion, puerta_premio)],1)
      
      nueva_eleccion <- puertas[!puertas %in% c(eleccion, puerta_que_abre)]
      
      nueva_eleccion == puerta_premio
})

mean(resultados)
## [1] 0.673
#> [1] 0.6674

Cuando el presentador abre la puerta número tres nos brinda información y lo primero que deberíamos de preguntarnos es si las probabilidades se han visto afectadas o no, sí decidimos cambiar de puerta, nos daremos cuenta de que nuestra probabilidad de ganar el carro cero kilómetros aumento de 1/3 a 2/3, porque ya conocemos el resultado de una de las puertas de colores. Como vemos, cambiar la puerta en este programa de televisión nos daba una probabilidad de 66.66% de ganar, mientras que mantener nuestra elección solo 33.33%.

num_veces <- 1000000

resultados <- replicate(num_veces, {
      puertas <- c("puerta azul", "puerta verde", "puerta roja")
      premios <- sample(c("Carro", "Carnero", "Carnero"))
      puerta_premio <- puertas[premios == "Carro"]
      eleccion <- sample(puertas, 1)
      puerta_que_abre <- sample(puertas[!puertas %in% c(eleccion, puerta_premio)],1)
      
      nueva_eleccion <- puertas[!puertas %in% c(eleccion, puerta_que_abre)]
      
      nueva_eleccion == puerta_premio
})

mean(resultados)
## [1] 0.666555
#> [1] 0.6674

Puede sonar contraintuitivo, pero probabilísticamente hablando es mejor cambiar de puerta en vez de confiar en la suerte y mantener la elección inicial, a su vez, si nos fijamos en el restultado de correr la misma situación un millón de veces, nos daremos cuenta que la posibilidad de ganar solo aumenta.