El problema de Monty Hall está inspirado en un programa de televisión de Estados Unidos, este es un problema de probabilidad en donde el concursante escoge una puerta entre 3 para ganar el premio de lo que esta detrás de las puertas anteriormente mencionadas. Antes de abrir la puerta selecionada por el concursante, el presentador sabe donde está el premio por lo que habre una de las otras dos puertas mostrando que detrás hay una cabra, por consiguiente el concursante tiene la posibilidad de cambiar de puerta.

Este trabajo busca analizar cuál será la probabilidad de que el concursante gane, por lo que se debe analizar cuál de las siguientes sería la estrategia correcta.

  1. que el concursante se quede con la puerta inicial
  2. que el concursante seleccione otra puerta

En este caso las puertas estarán dadas por puerta A, B y C.

puertas <- c("A","B","C")
xdata   <- c()
set.seed(10)
for (i in 1:10000) {
premio <- sample(puertas)[1]
eleccion <- sample(puertas)[1]
abrir <- sample(puertas[which(puertas != eleccion & puertas != premio)])[1]
 cambiarsi <- puertas[which(puertas != eleccion & puertas != abrir)]
if(eleccion == premio) (xdata = c(xdata,"nocambiargana"))
 if(cambiarsi == premio)(xdata = c(xdata, "cambiargana"))}
length(which(xdata == "cambiargana"))
## [1] 6623
length(which(xdata == "nocambiargana"))
## [1] 3377
table(xdata)
## xdata
##   cambiargana nocambiargana 
##          6623          3377

Esto quiere decir que si cambia la puerta tiene una probabilidad de ganar de un 66% y si el concursante no la cambia y se queda con su elección original, tiene una probabilidad del 33% de ganar.

Al elegir la primera puerta el concursante tiene una probabilidad de 1/3 de ganar el premio, por lo que con la estrategia de no cambiar de puerta tiene una probabilidad de ganar del 33%. En ese sentido, cuando el concursante cambia de puerta, tiene una probabilidad de 2/3, ya que ha elegido 2 entre las tres opciones que tiene, por consiguiente la probabilidad que tiene de ganar cuando cambia de puerta es de 66%.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Esta probabilidad condicional permite ver que probabilidad que hay de que suceda un evento A, teniendo presente que hay un evento B.

Acontinuación se procede ha hacer uso de la probabilidad condicionada como otra manera de analizar el problema y de darle debida solución. En ese sentido, se da la premisa de que el premio está en una de las 3 puertas y el concursante elige la puerta 1.

juego <- function(){
  premio <- sample(1:3, 1)
  elegida <- sample(1:3, 1)
  otras <- c(1:3)[-c(premio, elegida)]
  if(elegida == premio){
    cerrada <- sample(otras, 1)
  }
  else{
    cerrada <- premio
  }
  cerrada == premio
}
library(plyr)
sum(rdply(2000, juego)[, 2]) / 2000
## [1] 0.6525

En este primer caso, el anterior código con la probabilidad condicionada, cuando el consursante elige la puerta número 1, se tiene una probabilidad de ganar del 65%.

ESPACIO MUESTRAL:

Omega <- expand.grid(c("cabra","carro"),c("cabra","carro"), c("cabra", "cabra"))
colnames(Omega) <- c("puerta A", "puerta B", "puerta C")
Omega
##   puerta A puerta B puerta C
## 1    cabra    cabra    cabra
## 2    carro    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 4    carro    carro    cabra
## 5    cabra    cabra    cabra
## 6    carro    cabra    cabra
## 7    cabra    carro    cabra
## 8    carro    carro    cabra

Se generan simulaciones de los objetos detrás de las puertas, donde n son las elecciones aleatorias de cada consursante. En ese setido, se quiere hayar que probabilidad hay de ganar con la decisión inicial del concursante y que probabilidad hay de ganar si este mismo cambia de puerta con los siguientes eventos muestrales:

E <- Omega[Omega[,1]=="cabra",]
E
##   puerta A puerta B puerta C
## 1    cabra    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 5    cabra    cabra    cabra
## 7    cabra    carro    cabra

La aterior simulación muestra que el evento 1 y el 5 no pueden ser posibles en la media en que no cumplen los requicitos del juego en donde deben haber 2 cabras y un carro detrás de las respectivas puertas.

Un punto muestral sería el siguiente:

set.seed(987654321)
omega <- sample(x = c("cabra","carro","cabra"), size = 3)
omega
## [1] "cabra" "cabra" "carro"

PROBABILIDAD CONDICIONADA:

Probabilidad de A dado B P(A∣B)=P(A∩B)P(B)

puertas <- c("cabra", "carro")
lanzamientos <- expand.grid(puertas, puertas, puertas)
colnames(lanzamientos) <- c("puerta A", "puerta B", "puerta C")
lanzamientos
##   puerta A puerta B puerta C
## 1    cabra    cabra    cabra
## 2    carro    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 4    carro    carro    cabra
## 5    cabra    cabra    carro
## 6    carro    cabra    carro
## 7    cabra    carro    carro
## 8    carro    carro    carro

La anterior tabla permite evidenciar los posibles resultados; sim embargo, hay que descartar algunos de esas 8 opciones ya que algunos no arrojan las condiciones indicadas por el juego. De esas posibilidades también dependerá que eleción hace el jugador. Por un lado continuar con su elección original o por otro, cambiar de puerta y arriesgar.

En ese sentido, se procede a presentar una serie de eventos:

  1. el evento A, en donde detrás de la primera puerta elegida por el jugador hay una cabra:
A <- lanzamientos[lanzamientos$`puerta A` == "cabra", ]
A
##   puerta A puerta B puerta C
## 1    cabra    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 5    cabra    cabra    carro
## 7    cabra    carro    carro
Probabilidad.de.A <- nrow(A)/nrow(lanzamientos)
Probabilidad.de.A
## [1] 0.5

Lo anterior muestra que si en la primera opción sale una cabra, detrás de las otras 2 puertas hay una cabra y un carro por lo que el jugador podría deducir que tiene una probabilidad de ganar del 50%.

  1. el evento B, en donde detrás de la primera puerta elegida por el jugador hay un carro, lo que quiere decir que gana y no necesariamente tiene que cambiar de puerta.
B <- lanzamientos[lanzamientos$`puerta A` == "carro", ]
B
##   puerta A puerta B puerta C
## 2    carro    cabra    cabra
## 4    carro    carro    cabra
## 6    carro    cabra    carro
## 8    carro    carro    carro
Probabilidad.de.B <- nrow(B)/nrow(lanzamientos)
Probabilidad.de.B
## [1] 0.5

En el caso anterior también arroja una probabilidad del 50% en donde a pesar de que el jugador haya ganado el premio, aún quedan dos posibilidades en las que encontrará 2 cabras en las respectivas puertas.

Los jugadores que mantienen su elección incial siempre tendrán una probabilidad de 1/3 de ganar. Esto en términos matemáticos se vería de la seguiente manera: 1/3×1+2/3×0=1/3

Por otro lado, los jugadores que cambian su elección original tendrán una probabilidad de 2/3 de ganar. Esto en términos matemáticos se vería de la siguiente manera: 1/3×0+2/3×1=2/3

CONCLUSIÓN:

En la primera parte de la resolución del problema de Monty Hall, se puede ver como a partir de la formalación del primer código es arrojada una probabilidad muy simple que indicó en primer lugar que el jugador tiene mas probabilidad de ganar cuando cambia de puerta en la medida en que hay 2 puertas que tiene la posibilidad de elegir.

Posteriormente se procede a hacer la formulación de un código que arroja que cuando el concursante elige la puerta número 1, este tiene una probabilidad de ganar. En ese sentido, este análisis nos puede dar a entender que con la puerta número 1 el concursante tiene más probabilidad de ganar que si escogira las otras dos puertas.

Como parte final se puede observar como la probabilidad condicionada nos arroja distintos casos hipotéticos en donde una de las tres puertas tiene detrás el premio, asi mismo es posible evidenciar que varias de esas probabilidades no se pueden dar ya que el juego así no lo permite por lo que, consecuentemente son descartados algunos de estos casos.