Introducción:

El siguiente trabajo tiene como objetivo descifrar la paradoja del problema de Monty Hall, que obtuvo su origen en el programa estadounidense Let ’s Make a Deal, donde el presentador, le enseñaba tres puertas a un concursante. En una de estas había un carro, y en las otras dos, habían dos cabras. Claramente el concursante deseaba obtener el carro, por lo que elegía una puerta al azar, en donde creía que este podía estar. Por su parte, el presentador, le enseñaba una puerta donde había una cabra, y le cuestionaba si deseaba cambiar la puerta que había seleccionado o quedarse en esta. A continuación se presentará cuál es la mejor opción para el concursante, quedarse en la puerta, cambiarse a la otra, o si es irrelevante. Para esto es necesario tomar en cuenta las probabilidades que tiene de ganar, realizando las acciones mencionadas anteriormente.

Omega <- expand.grid(c("cabra","carro"),c("cabra","carro"),c("cabra","cabra"))
colnames(Omega) <- c("puerta 1", "puerta 2","puerta 3")
Omega
##   puerta 1 puerta 2 puerta 3
## 1    cabra    cabra    cabra
## 2    carro    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 4    carro    carro    cabra
## 5    cabra    cabra    cabra
## 6    carro    cabra    cabra
## 7    cabra    carro    cabra
## 8    carro    carro    cabra

En este caso, se supone que el presentador abrió la puerta 3, por lo que el espacio muestral, es decir, el conjunto de posibles resultados son 8.

E <- Omega[Omega[,1]=="carro",]
E
##   puerta 1 puerta 2 puerta 3
## 2    carro    cabra    cabra
## 4    carro    carro    cabra
## 6    carro    cabra    cabra
## 8    carro    carro    cabra

Las probabilidades de obtener como posible resultado un carro, es de 4 conjuntos.

E <- Omega[Omega[,1]=="cabra",]
E
##   puerta 1 puerta 2 puerta 3
## 1    cabra    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 5    cabra    cabra    cabra
## 7    cabra    carro    cabra

Así mismo, las posibilidades de obtener como resultado una cabra, descartando la puerta que abrió el presentador, también son las mismas. A continuación se demostrará un punto muestral que comprueba lo mencionado anteriormente.

set.seed(987654321)
omega <- sample(x = c("cabra","carro"), size = 2)
omega
## [1] "cabra" "carro"

Para analizarlo de una manera más específica se tomará en cuenta la Interpretación frecuentista y subjetiva de la probabilidad que genera una aproximación matemática de las frecuencias relativas.

set.seed(987654321)
lanzamientos_10 <- matrix(NA, ncol = 3, nrow = 10)
lanzamientos <- for(i in 1:10){
  lanzamientos_10[i,] <- sample(x = c("cabra","carro","cabra"), 
                                size = 3, replace = TRUE)
  }
lanzamientos_10 <- as.data.frame(lanzamientos_10)
colnames(lanzamientos_10) <- c("puerta 1", "puerta 2","puerta 3")
lanzamientos_10
##    puerta 1 puerta 2 puerta 3
## 1     cabra    cabra    cabra
## 2     carro    carro    cabra
## 3     carro    cabra    cabra
## 4     cabra    cabra    cabra
## 5     cabra    cabra    cabra
## 6     cabra    cabra    carro
## 7     cabra    cabra    carro
## 8     cabra    carro    carro
## 9     cabra    carro    carro
## 10    cabra    cabra    cabra

De acuerdo a esto y a simple vista los resultados de obtener una cabra o un carro, parecen ser de 50/50. Sin embargo,estos resultados contienen un margen de error, ya que, se puede observar que en algunos conjuntos de probabilidades se repite 3 veces cabra, algo que no debe pasar porque necesariamente en una de las puertas debe haber un carro. Así mismo, no se está tomando en cuenta si se da una afectación en las probabilidades de obtener un carro, si se cambia de puerta, o si el participante se queda en la seleccionada.

Para saber esto, es necesario tomar en cuenta lo siguiente:

#Promedio de Probabilidades Condicionales:

En primer lugar, es necesario tomar en cuenta la regla de la multiplicación, teniendo presente que en la tercera puerta debe haber una cabra, y en cualquiera de las otras dos puertas, también hay una cabra.

P(A: la puerta 3 sea cabra∩B: Se obtienen dos cabras)=P(B: Se obtienen dos cabras|A: la puerta 3 sea “cabra”)P(A: la puerta 3 sea cabra)

puerta <- c("cabra", "carro")
Omega <- expand.grid(puerta, puerta, puerta)
colnames(Omega) <- c("puerta 1", "puerta 2", "puerta 3")
Omega 
##   puerta 1 puerta 2 puerta 3
## 1    cabra    cabra    cabra
## 2    carro    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 4    carro    carro    cabra
## 5    cabra    cabra    carro
## 6    carro    cabra    carro
## 7    cabra    carro    carro
## 8    carro    carro    carro
A = Omega[Omega$`puerta 3` == "cabra", ]
A
##   puerta 1 puerta 2 puerta 3
## 1    cabra    cabra    cabra
## 2    carro    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 4    carro    carro    cabra
casos.favorables.A <- nrow(A)
casos.favorables.A
## [1] 4

En este caso, solo se van a tomar en cuenta 3 posibilidades, ya que, la fila 1, no es posible porque sólo hay 2 cabras. Esto demostraría que las probabilidades de ganarse el carro son de aproximadamente 1/3. A continuación se comprobará lo dicho anteriormente, ignorando la fila 1.

B <- A[A$`puerta 3` == "cabra" | A$`puerta 2` == "cabra",]
B
##   puerta 1 puerta 2 puerta 3
## 1    cabra    cabra    cabra
## 2    carro    cabra    cabra
## 3    cabra    carro    cabra
## 4    carro    carro    cabra
casos.favorables.B.dado.A <- nrow(B)
casos.favorables.B.dado.A
## [1] 4

A través de esto, se puede analizar que las probabilidades de ganarse el carro, son de 1/3. Y de quedarse una cabra es de 2/3. Sin embargo, tomando en cuenta que el presentador ya abrió una puerta con una cabra, pareciera que las probabilidades de ganarse una cabra o un carro, son de 1/2 respectivamente. Pero ¿Afecta en algo, si el jugador desea cambiar la puerta seleccionada?

Para esto se tomará en cuenta lo siguiente:

#El promedio de probabilidades condicionales: En este caso, para poder interpretarla idea que se quiere llevar a cabo, es necesario tomar en cuenta el promedio de probabilidades condicionales, donde se establece que ya existe un evento definido y en este caso que el concursante tomó la opción de cambiar de puerta.

juego <- function(){
  premio <- sample(1:3, 1)
  elegida <- sample(1:3, 1)
  otras <- c(1:3)[-c(premio, elegida)]
  if(elegida == premio){
    cerrada <- sample(otras, 1)
  }
  else{
    cerrada <- premio
  }
  cerrada == premio
}
library(plyr)
sum(rdply(2000, juego)[, 2]) / 2000
## [1] 0.665

Se puede observar que si cambia de puerta, las probabilidades se incrementan en aproximadamente 1/2, pero ¿Por qué sucede esto?

Para entenderlo se tomará en cuenta el siguiente chunk:

puertas <- c("A","B","C")
xdata   <- c()

Este chunk, indica la cantidad de puertas que hay y el xdata representa una simulación del juego.

set.seed(10)
for (i in 1:10000) {  
  premio <- sample(puertas)[1] 
  eleccion <- sample(puertas)[1] 
  abrir <- sample(puertas[which(puertas != eleccion & puertas != premio)])[1] #
  cambiarsi <- puertas[which(puertas != eleccion & puertas != abrir)] 
  if(eleccion == premio) (xdata = c(xdata,"nocambiargana")) 
  if(cambiarsi == premio)(xdata = c(xdata, "cambiargana")) 
}

Este nuevo código que se puede observar arriba, indica que se asignó el premio a una puerta al azar, que el concursante tomó una y que el presentador abrió otra. Así mismo, también indica, las probabilidades que existirán de ganar si cambia (“cambiargana”) y si no cambia (“nocambiargana”).

length(which(xdata == "cambiargana")) 
## [1] 6623
length(which(xdata == "nocambiargana"))
## [1] 3377
table(xdata)
## xdata
##   cambiargana nocambiargana 
##          6623          3377

Lo que se evidencia arriba, es lo que se ha querido demostrar a través de todo este informe. Que las probabilidades de ganar el carro cambiando de puerta son de 2/3 y de ganarse una cabra, se convierten en 1/3, generando que sean mayores las posibilidades de obtener el premio . Esto debido a que hay dos cabras y solo un carro, por lo tanto, en dos de las puertas (donde hay cabras) al cambiar podrá obtener el carro, generando una probabilidad de 2/3.

##Análisis en esquema

Para entenderlo de una forma más amplia se realiza el siguiente esquema:

Puerta 1: Cabra Si cambia: Carro Si no cambia: Cabra

Puerta 2: Cabra Si cambia: Carro Si no cambia: Cabra

Puerta 3: Carro Si cambia: Cabra Si no cambia: Carro

##Análisis matematico

De una forma matemática se entendería asi:

= (1/3x0)+(2/3x1) =2/3

Como el concursante solo tiene la opción de cambiar o de quedarse una vez. En caso de cambiar,se puede observar que la opción de quedarse que le genera una probabilidad de ganar de 1/3 se omite, dejando únicamente una probabilidad de ganar de 2/3.

#Conclusión: Las personas generalmente suelen inferir que las probabilidades de ganar el carro, son de 1/2 ya que el presentador descarta una cabra, o inclusive que son de 1/3 ya que hay dos cabras y un carro.Y, suelen pensar que la acción de cambiar o no de puerta no afecta el resultado final. Sin embargo, cuando se analiza más a fondo y se toma en cuenta el factor estadístico de la probabilidad, es evidente que esta acción si incrementa o disminuye las probabilidades de ganar, por un lado, en caso de no cambiar de puerta, solo existe una posibilidad de 3, de que se obtenga el carro, mientras que al decidir cambiar, se incrementan estas posibilidades a 2/3 tomando en cuenta que hay dos cabras. Esto es un estudio que no se podría entender, si no se toma en cuenta la matemática de la probabilidad.

#Referencias:

El problema de Monty Hall (S,f) En Estadistica para Todos. Recuperado de https://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html

Rodriguez, M (2020) Conteo y Probabilidad. En RPubs. Recuperado de https://rpubs.com/mgsaavedraro/643350

Rodriguez, M (s,f) En RPubs. Recuperado de https://rpubs.com/mgsaavedraro/648710