UTS ANALISIS RUNTUN WAKTU

1 Carilah persamaan \(Yule walker\) untuk ARMA(1,1)

Model ARMA (autoregressive moving average) dengan orde p dan q dan disingkat dengan ARMA(p,q) mempunyai bentuk umum : \[Z_t=φ_1 Z_{t−1}+φ_2 Z_{t−2}+...+φ_p Z_{t−p}+a_t-θ_ta_{t-1}-...-θ_qa_{t-q}\] Misalkan diinginkan untuk mendiskusikannya sebagai kasus khusus yang pertama yaitu ARMA(1,1).

Model ARMA(1,1) Persamaan yang dimaksud dapat dituliskan sebagai \[Z_t=φZ_{t-1}+a_t-θ_1a_{t-1}\] Untuk menurunkan tipe persamaan Yule-Walker, kita mencatat bahwa \[E[a_t Z_t] = E[ a_t( φ Z_{t-1} + a_t −θ_1 a_{t−1} )] = σ^2\] dan \[E[a_{t-1} Z_t] = E[ a_{t-1}( φ Z_{t-1} + a_t −θ_1 a_{t−1} )]=φσ^2-θσ^2=(φ-θ)σ^2\] Jika kita mengalikan persamaan (1) dengan \(Z_{t-k}\) dan mengambil nilai harapannya, kita akan mempunyai kovariansi pada lag 0 atau variansi dari \(Z_t\) yaitu \[γ_0=φγ_1+[1-θ(φ−θ)]σ^2,k=0\] Selanjutnya kovariansi pada lag 1 dan kovariansi pada lag k dengan \(k ≥ 2\) berturut-turut adalah \[γ_1 =φ γ_0−θσ^2, k=1\] \[γ_k=φ γ_{k-1}, k ≥ 2\] Dengan menyelesaikan dua persamaan pertama maka akan diperoleh \[γ_0={(1-2θφ+θ^2)\over 1-φ^2}σ^2\] dan kemudian menyelesaikan rekursi sederhana akan memberikan \[γ_k={(1-θφ)(φ-θ)\over 1-2θφ+θ^2}φ^{k-1}σ^2, k≥1\] atau \[ρ_k={(1-θφ)(φ-θ)\over 1-2θφ+θ^2}φ^{k-1}, k≥1\] Perlu dicatat bahwa fungsi autokorelasi meluruh secara eksponensial sebagaimana lag k naik. Faktor penurunan adalah tetapi peluruhan mulai dari nilai awal yang juga tergantung pada θ. Hal ini bertentangan dengan autokorelasi AR(1) yang juga meluruh dengan faktor peluruhan sebesar φ tetapi selalu dari nilai awal \(ρ_0 =1\). Sebagai contoh, jika φ = 0.8 dan θ = 0.4 maka \(ρ_1\) = 0,523, \(ρ_2\) = 0,418, \(ρ_3\) = 0.335 dan seterusnya. Beberapa ukuran untuk \(ρ_k\) adalah mungkin tergantung pada tanda ρ dan tanda dari φ. Bentuk linear umum dari model dapat diperoleh. Kita menemukan \[Z_t=a_1+(φ-θ)∑^∞φ^{j-1}a_{t-j}\] yaitu \[ψ_j=(φ-θ)φ^{j-1}, j≥1\] Kita seharusnya menyebutkan syarat stasioner yaitu \(| φ | < 1\) atau ekuivalen dengan akar dari persamaan karakteristik \(AR 1- φ x = 0\) harus melampaui satuan dalam nilai mutlaknya.

2 Buatlah suatu simulasi program R untuk kasus peramalan yang hasilnya :

2.1 AR(1)

Model urutan autogresif P, disingkat AR(P), umumnya digunakan dalam analisis runtun waktu. Secara khusus, model AR (1) ditulis sebagai \[x_t=ϕ_1x_{t−1}+ϕ_2x_{t−2}+⋯+ϕ_px_{t−p}+w_t\] Pertama, mari kita pilih model dengan koefisien AR yang kontras. Ingat bahwa agar model AR(1) stasioner,\(φ<|1|\), jadi kita akan mencoba 0,1 dan 0,9. Kami akan kembali mengatur benih angka acak sehingga kami akan mendapatkan jawaban yang sama.

set.seed(456)
AR.sm <- list(order = c(1, 0, 0), ar = 0.1, sd = 0.1)
AR.lg <- list(order = c(1, 0, 0), ar = 0.9, sd = 0.1)
## simulate AR(1)
AR1.sm <- arima.sim(n = 50, model = AR.sm)
AR1.lg <- arima.sim(n = 50, model = AR.lg)
#plot
par(mfrow = c(1, 2))
ylm <- c(min(AR1.sm, AR1.lg), max(AR1.sm, AR1.lg))
plot.ts(AR1.sm, ylim = ylm, ylab = expression(italic(x)[italic(t)]), 
    main = expression(paste(phi, " = 0.1")))
plot.ts(AR1.lg, ylim = ylm, ylab = expression(italic(x)[italic(t)]), 
    main = expression(paste(phi, " = 0.9")))

Selanjutnya, mari kita hasilkan dua model AR(1) yang memiliki koefisien magnitudo yang sama, tetapi tanda yang berlawanan.

set.seed(123)
AR.pos <- list(order = c(1, 0, 0), ar = 0.5, sd = 0.1)
AR.neg <- list(order = c(1, 0, 0), ar = -0.5, sd = 0.1)
## simulate AR(1)
AR1.pos <- arima.sim(n = 50, model = AR.pos)
AR1.neg <- arima.sim(n = 50, model = AR.neg)
#plot
par(mfrow = c(1, 2))
ylm <- c(min(AR1.pos, AR1.neg), max(AR1.pos, AR1.neg))
plot.ts(AR1.pos, ylim = ylm, ylab = expression(italic(x)[italic(t)]), 
    main = expression(paste(phi[1], " = 0.5")))
plot.ts(AR1.neg, ylab = expression(italic(x)[italic(t)]), main = expression(paste(phi[1], 
    " = -0.5")))

2.2 MA(1)

Proses MA (Moving average) dari q atau MA(q) adalah jumlah tertimbang dari kesalahan acak saat ini ditambah q kesalahan terbaru, dan dapat ditulis sebagai \[x_t=w_t+θ_1w_{t−1}+θ_2w_{t−2}+⋯+θ_qw_{t−q}\]

set.seed(123)
MA.sm <- list(order = c(0, 0, 1), ma = 0.2, sd = 0.1)
MA.lg <- list(order = c(0, 0, 1), ma = 0.8, sd = 0.1)
MA.neg <- list(order = c(0, 0, 1), ma = -0.5, sd = 0.1)
## simulate MA(1)
MA1.sm <- arima.sim(n = 50, model = MA.sm)
MA1.lg <- arima.sim(n = 50, model = MA.lg)
MA1.neg <- arima.sim(n = 50, model = MA.neg)
#plot
## setup plot region
par(mfrow = c(1, 3))
## plot the ts
plot.ts(MA1.sm, ylab = expression(italic(x)[italic(t)]), main = expression(paste(theta, 
    " = 0.2")))
plot.ts(MA1.lg, ylab = expression(italic(x)[italic(t)]), main = expression(paste(theta, 
    " = 0.8")))
plot.ts(MA1.neg, ylab = expression(italic(x)[italic(t)]), main = expression(paste(theta, 
    " = -0.5")))

2.3 ARMA(1,1)

ARMA(p,q) dapat ditulis sebagai gabungan dari model AR (p) dan MA (q) sehingga : \[x_t=ϕ_1x_{t−1}+ϕ_2x_{t−2}+...+ϕ_px_{t−p}+w_t+θw_{t−1}+θ_2w_{t−2}+...+θ_qx_{t−q}\]

set.seed(123)
## ARMA(2,2) description for arim.sim()
ARMA22 <- list(order = c(2, 0, 2), ar = c(-0.7, 0.2), ma = c(0.7, 
    0.2))
## mean of process
mu <- 5
## simulated process (+ mean)
ARMA.sim <- arima.sim(n = 10000, model = ARMA22) + mu
## estimate parameters
arima(x = ARMA.sim, order = c(2, 0, 2))

## 
## Call:
## arima(x = ARMA.sim, order = c(2, 0, 2))
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2     ma1     ma2  intercept
##       -0.7079  0.1924  0.6912  0.2001     4.9975
## s.e.   0.0291  0.0284  0.0289  0.0236     0.0125
## 
## sigma^2 estimated as 0.9972:  log likelihood = -14175.92,  aic = 28363.84