Výrobca uvádza, že v kopírke je nutné vymeniť toner priemerne o 2500 skopírovaných stranách so smerodajnou odchýlkou 30 strán. Počas roka boli namerané nasledujúce hodnoty: xi: 2448, 2482, 2485, 2489, 2506, 2514, 2516, 2533, 2553, 2586, 2590 ni: 2,3,4,6,8,9,6,5,4,2,1 Predpokladajme, že dáta sú normálne rozdelené. Nájdite 95% IS pre strednú hodnotu, smerodajná odchýlka je 30. Nájdite 95% IS pre strednú hodnotu, ak smerodajnú odchýlku nepoznáme. Nájdite 95% IS pre rozptyl. Nájdite obojstranné a ľavostranné IS pre dané úlohy.
priemer = 2500
smerodajna_odchylka = 30
xi = c(2448, 2482, 2485, 2489, 2506, 2514, 2516, 2533, 2553, 2586, 2590)
ni = c(2,3,4,6,8,9,6,5,4,2,1)x1 = c(rep(2448,2), rep(2482,3), rep(2485,4), rep(2489,6), rep(2506,8), rep(2514,9),rep(2516,6), rep(2533,5), rep(2553,4), rep(2586,2), rep(2590,1))
n <- length(x1)IS = 95% sigmu poznáme(30).Vyp. strednú hodnotu
priemer_x1 <-mean(x1)
priemer_x1 + c(-1,1)*qnorm(1-0.05/2)*30/sqrt(n) # Is obojstranny## [1] 2504.185 2520.815priemer_x1 - 1*qnorm(1-0.05/2)*30/sqrt(n) # Is ľavostranný## [1] 2504.185IS = 95% sigmu nepoznáme.Vyp. strednú hodnotu
smerodajna_odchylka_x1 <- sd(x1)
priemer_x1 + c(-1,1) * qt(1-0.05/2, n-1) * smerodajna_odchylka_x1/sqrt(n) # Is obojstranny## [1] 2504.046 2520.954priemer_x1 - 1 * qt(1-0.05/2, n-1) * smerodajna_odchylka_x1/sqrt(n) # IS ľavostranný## [1] 2504.046IS = 95% pre smerodajnú odchylku
sx1 <- var(x1)
IS_x1 <- c((n-1)*sx1/qchisq(1-0.05/2,n-1),(n-1)*sx1/qchisq(0.05/2,n-1)) # Is obojstranny
IS_x1## [1] 617.3883 1373.9380 c(0,(n-1)*sx1/qchisq(0.05/2,n-1)) # Is ľavostranný## [1] 0.000 1373.938Presnosť metódy analýzy na obsah vápnika je daná smerodajnou odchýkou σ = 0.12%. Vykonali sme 6 skúšok a zistili sme výberový priemer x¯ = 32.56%. Určte: 95 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre obsah vápnika, 95 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre obsah vápnika, 95 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre obsah vápnika
x2_sd <- 0.12
x2_n <- 6
x2_vyberovy_priemer <- 32.56 95 %-ný obojstranný IS pre obsah vápnika
x2_vyberovy_priemer + c(-1,1) * qnorm(1-0.05/2)*x2_sd/sqrt(x2_n)## [1] 32.46398 32.6560295 %-ný ľavostranný IS pre obsah vápnika
x2_vyberovy_priemer + -1 * qnorm(1-0.05/2)*x2_sd/sqrt(x2_n)## [1] 32.4639895 %-ný pravostranný IS pre obsah vápnika
x2_vyberovy_priemer + 1 * qnorm(1-0.05/2)*x2_sd/sqrt(x2_n)## [1] 32.65602U 100 motorových vozidiel rovnakého typu bola sledovaná priemerná spotreba benzínu. Výsledky zisťovania boli nasledovné: zi 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 ni 9 22 39 18 10 2 Určte: 95 %-ný obojstranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu, 95 %-ný ľavostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu, 95 %-ný pravostranný interval spoľahlivosti pre strednú hodnotu.
x3_n <- 100
zi <- c(6.5, 7.5, 8.5, 9.5, 10.5, 11.5)
ni3 <- c( 9, 22, 39, 18, 10, 2)
x3 <- c(rep(6.5,9), rep(7.5,22), rep(8.5, 39), rep(9.5,18), rep(10.5,10), rep(11.5,2))
x3_sd <- sd(x3)
x3_priemer <- mean(x3)95 %-ný obojstranný IS pre strednú hodnotu
x3_priemer + c(-1,1) * qt(1-0.05/2, x3_n-1) * x3_sd/sqrt(x3_n)## [1] 8.309291 8.770709 t.test(x3,conf.level = 0.95)$conf.int ## [1] 8.309291 8.770709
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9595 %-ný ľavostranný IS pre strednú hodnotu
t.test(x3,conf.level = 0.95, alternative = "greater")$conf.int## [1] 8.346943 Inf
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.9595 %-ný pravostranný IS pre strednú hodnotu
t.test(x3,conf.level = 0.95, alternative = "less")$conf.int## [1] -Inf 8.733057
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95