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Regresión logística

En estadística, la regresión logística es un tipo de análisis de regresión utilizado para predecir el resultado de una variable categórica (una variable que puede adoptar un número limitado de categorías) en función de las variables independientes o predictoras. Es útil para modelar la probabilidad de un evento ocurriendo como función de otros factores. El análisis de regresión logística se enmarca en el conjunto de Modelos Lineales Generalizados (GLM por sus siglas en inglés) que usa como función de enlace la función logit. Las probabilidades que describen el posible resultado de un único ensayo se modelan, como una función de variables explicativas, utilizando una función logística.

Caso de estudio: fallo del transbordador challanger en 1986

En 1986, el transbordador espacial Challenger tuvo un accidente catastrófico debido a un incendio en una de las piezas de sus propulsores. Era la vez 25 en que se lanzaba un transbordador espacial. En todas las ocasiones anteriores se habían inspeccionado los propulsores de las naves, y en algunas de ellas se habían encontrando defectos. El fichero challenger contiene 23 observaciones de las siguientes variables: defecto, que toma los valores 1 y 0 en función de si se encontraron defectos o no en los propulsores; y temp, la temperatura (en grados Fahrenheit) en el momento del lanzamiento.

Challenger: Desastre

challenger <- read.table("http://verso.mat.uam.es/~joser.berrendero/datos/challenger.txt", header=TRUE)
table(challenger$defecto)

## 
##  0  1 
## 16  7

Una representación gráfica de los datos, puede obtenerse mediante:

colores <- NULL
colores[challenger$defecto==0] <- "blue"
colores[challenger$defecto==1] <- "purple"
plot(challenger$temp, challenger$defecto, pch =21, bg= colores, xlab = "Temperatura",ylab = "Probabilidad de defectos")

legend("bottomleft", c("No defecto", "Si defecto"),pch =21, col=c("blue","purple") )

Parece razonable, a la vista de los datos, pensar que la temperatura puede influir en la probabilidad de que los propulsores tengan defectos. En esta práctica, vamos a ajustar un modelo de regresión logística para estudiar la posible relación. Para ajustar el modelo se usa el comando glm (para modelos lineales generalizados) indicando que la respuesta es binomial mediante el argumento family:

reg <- glm(defecto ~ temp, data = challenger, family=binomial)
summary(reg)

## 
## Call:
## glm(formula = defecto ~ temp, family = binomial, data = challenger)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -1.0611  -0.7613  -0.3783   0.4524   2.2175  
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## (Intercept)  15.0429     7.3786   2.039   0.0415 *
## temp         -0.2322     0.1082  -2.145   0.0320 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 28.267  on 22  degrees of freedom
## Residual deviance: 20.315  on 21  degrees of freedom
## AIC: 24.315
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 5

• El modelo de regresión logística, la raíz de las desviaciones representa el papel de los residuos:

\[D_i = \mp \sqrt{-2 [Y_i\log \hat p_i + (1-Y_i)\log(1-\hat p_i)]}, \]

• La representacion de los datos se podria ver graficamente de la siguiente manera (Funcion logistica estimada).

datos <- data.frame(temp=seq(50,85, 0.1))
probabilidades <- predict(reg, datos, type="response")
plot(challenger$temp,challenger$defecto,pch=21, bg=colores, xlab="Temperatura", ylab="Probabilidad de defectos")
legend("bottomleft", c("No defecto", "Si defecto"),pch =21, col=c("blue","purple") )
lines(datos$temp, probabilidades, col="black", lwd=2)

Cuestiones

1. ¿Se puede afirmar a nivel α=0.05 que la temperatura influye en la probabilidad de que los propulsores tengan defectos? ¿Y a nivel α=0.01? Usa el test de Wald.

# Para α=0.05
cinlvl <- (-0.2322-0.01)/0.1082
cinlvl

## [1] -2.238447

# Para α=0.01
unlvl <- (-0.2322-0.05)/0.1082
unlvl

## [1] -2.608133

2. Interpreta el valor del coeficiente estimado para la variable temperatura: β^1=−0.2322.

Se refiere a que las probabilidades son bajas, pero incluso asi hay un pequeño margen de riesgo de que la temperatura baje, pero es posible en algunos escenarios.

3. ¿Para qué valores de la temperatura la probabilidad estimada de que se produzcan defectos es menor que 0.1?

Entre los valores de 65 a 80 (base a la tabla).

4. ¿Para qué valores de la temperatura se predice que se van a producir defectos?

Entre los valores de 50 a 75 (base a la tabla).

Conclusion

Como se vio en esta asignacion, cada tipo de proceso tiene un margen de riesgo, por mas pequeño que sea, se tiene que tomar en cuenta este para evitar una tragedia como la que se presento hace tiempo atras. Viendo a un futuro, creo que se tomara en cuenta cada pequeño detalle detras de este tipo de actividades para asi evitar un riesgo latente.