R_指数平滑法

1.简单指数平滑

指数平滑法是基于滑动平均法延伸而来的，滑动平均是把前N个序列的平均值作为N+1的预测，不断地往后计算，获得一条相对平滑的曲线。但是指数平滑法则认为，时间越靠近那么应该予以的权重就越大。赋予权重的大小一般以α表示 权重随观测时间的久远程度呈指数型下降 — 最早的观察值被赋予最小的权值

适用于预测没有明显趋势或季节因素的数据

$$ \[\begin{equation} \begin{split} &\hat{y}_{t+1|t} = \alpha y_t + \alpha(1-\alpha) y_{t-1}+ \alpha(1-\alpha)^2 y_{t-2} + \alpha(1-\alpha)^3 y_{t-3} +... \\ &将时刻1的第一个拟合值表示为l_0（我们必须进行估计）\\ &由 \hat{y}_{t+1|t} = \alpha y_t + (1- \alpha)\hat{y}_{t|t-1} ,即\hat{y}_{2|1} = \alpha y_1 + (1- \alpha)l_0， \hat{y}_{3|2} = \alpha y_2 + (1- \alpha)\hat{y}_{2|1},...\\ &得 \color{red}{\hat{y}_{t+1|t}= \sum_{j=1}^{t-1}{\alpha(1-\alpha)^j y_{t-j} + (1-\alpha)^tl_0}}\\ \end{split} \end{equation}\] \[ 最小化下式来估计未知参数的值和初始值 \] SSE = {t=1}^{T}{(y_t - {t|t-1})^2} = _{t=1}^{T}{{e_t}2} $$

library(fpp2)
oildata <- window(oil, start=1996)
# Estimate parameters
#ses函数可以对后面的5个观测进行预测，
fit <- ses(oildata, h=5)
fit$model

Simple exponential smoothing 

Call:
 ses(y = oildata, h = 5) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.8339 

  Initial states:
    l = 446.5868 

  sigma:  29.8282

     AIC     AICc      BIC 
178.1430 179.8573 180.8141 

# Accuracy of one-step-ahead training errors
#accuracy函数所给出的是在训练集中得到的准确度指标。
round(accuracy(fit),2)

              ME  RMSE   MAE MPE MAPE MASE  ACF1
Training set 6.4 28.12 22.26 1.1 4.61 0.93 -0.03

#>               ME  RMSE   MAE MPE MAPE MASE  ACF1
#> Training set 6.4 28.12 22.26 1.1 4.61 0.93 -0.03

autoplot(fit) +
  autolayer(fitted(fit), series="Fitted") +
  ylab("Oil (millions of tonnes)") + xlab("Year")

2.Holt指数平滑（考虑趋势性）/霍尔特的线性趋势法

Holt (1957) 将简单指数平滑法扩展到可以预测具有趋势的数据。 该方法包含一个预测方程和两个平滑方程（一个用于水平，一个用于趋势）： \[ \begin{align*} \text{Forecast equation}&& \hat{y}_{t+h|t} &= \ell_{t} + hb_{t} \\ \text{Level equation} && \ell_{t} &= \alpha y_{t} + (1 - \alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})\\ \text{Trend equation} && b_{t} &= \beta^*(\ell_{t} - \ell_{t-1}) + (1 -\beta^*)b_{t-1}， \end{align*} \]

air <- window(ausair, start=1990)
fc <- holt(air, h=5)
fc$model

Holt's method 

Call:
 holt(y = air, h = 5) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.8302 
    beta  = 1e-04 

  Initial states:
    l = 15.5715 
    b = 2.1017 

  sigma:  2.3645

     AIC     AICc      BIC 
141.1291 143.9863 147.6083 

可以看到这个方法比之前获得了一些新的参数，如beta和b。beta是趋势性的指数，它表示随着时间的变化，时间序列趋势所发生的变化。而b则是初始值。

###阻尼趋势方法(削弱趋势) 该方法有一种变式，叫做Damped trend methods（阻尼趋势方法）。 它的假设是，一个序列在短期内是具有一定趋势的，但是在长期中却是围绕着一个均值在波动。 \[\begin{align*} \hat{y}_{t+h|t} &= \ell_{t} + (\phi+\phi^2 + \dots + \phi^{h})b_{t} \\ \ell_{t} &= \alpha y_{t} + (1 - \alpha)(\ell_{t-1} + \phi b_{t-1})\\ b_{t} &= \beta^*(\ell_{t} - \ell_{t-1}) + (1 -\beta^*)\phi b_{t-1}。 \end{align*}\]

这里引入一个新的参数ϕ，0<ϕ<1，一般在0.8到0.98之间，如果等于1。 ϕ（读作phi）是用来削弱趋势性的参数。ϕ越大则对趋势削弱的效果越小，等于1的时候则完全没有削弱的效果（与传统的Holt平滑法无异)。 如果0<ϕ<1，那么随着预测后续变量越多，将会让预测趋近于\[ \ell_T+\phi b_T/(1-\phi) \]

fc <- holt(air, h=15)
fc2 <- holt(air, damped=TRUE, phi = 0.9, h=15)
autoplot(air) +
  autolayer(fc, series="Holt's method", PI=FALSE) +
  autolayer(fc2, series="Damped Holt's method", PI=FALSE) +
  ggtitle("Forecasts from Holt's method") + xlab("Year") +
  ylab("Air passengers in Australia (millions)") +
  guides(colour=guide_legend(title="Forecast"))

fc2$model

Damped Holt's method 

Call:
 holt(y = air, h = 15, damped = TRUE, phi = 0.9) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.763 
    beta  = 0.2526 
    phi   = 0.9 

  Initial states:
    l = 14.5766 
    b = 3.7517 

  sigma:  2.6165

     AIC     AICc      BIC 
145.3965 148.2536 151.8757 

autoplot(air) +
  autolayer(fc, series="Holt's method", PI=FALSE) +
  autolayer(fc2, series="Damped Holt's method", PI=FALSE) +
  ggtitle("Forecasts from Holt's method") + xlab("Year") +
  ylab("Air passengers in Australia (millions)") +
  guides(colour=guide_legend(title="Forecast"))

###Holt-Winters’平滑法 考虑季节性因素，进而提出Holt-Winters’平滑法。其中，季节性可以分为可加和可乘两种，如果季节性随着时间变化而变化，那么应该使用可乘，否则使用可加。 Holt-Winters’平滑法一样可以考虑趋势衰减，是要设置damp参数为TRUE即可。

aust <- window(austourists,start=2005)
fit1 <- hw(aust,seasonal="additive")
fit2 <- hw(aust,seasonal="multiplicative")
rbind(accuracy(fit1),accuracy(fit2))

                      ME     RMSE      MAE           MPE     MAPE      MASE        ACF1
Training set 0.008115785 1.763305 1.374062 -0.2860248405 2.973922 0.4502579 -0.06272507
Training set 0.092062283 1.575631 1.254960 -0.0006505533 2.705390 0.4112302 -0.07955726

autoplot(aust) +
  autolayer(fit1, series="HW additive forecasts", PI=FALSE) +
  autolayer(fit2, series="HW multiplicative forecasts",
    PI=FALSE) +
  xlab("年份") + ylab("澳大利亚国际游客过夜的天数（百万）") +
  guides(colour=guide_legend(title="预测值"))+
  theme(text = element_text(family = "STHeiti"))+
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Holt-Winters’平滑法一样可以考虑趋势衰减，是要设置damp参数为TRUE即可。 事实上一种比较优秀的方法就是用Holt-Winters’季节可乘的趋势衰减平滑法.

hw(y, damped=TRUE, seasonal=“multiplicative”) #y为要进行平滑的时间序列

自动化平滑模型选择与预测

ETS (误差，趋势，季节性) ，这种标记也可以看作是指数平滑。 每个成分的可能取值为：误差 = {A,M}，趋势 = {N,A,A_d }，季节性 = { N,A,M }。

ETS(A,N,N)：具有加性误差的简单指数平滑 ETS(M,N,N)：具有乘性误差的简单指数平滑 ETS(A,A,N)：具有加性误差的Holt线性方法 ETS(M,A,N)：具有乘性误差的Holt线性方法

https://otexts.com/fppcn/ets.html

引入了ets函数,它不能进行预测，但是能够根据时间序列的状况，选择最佳的模型。

aust <- window(austourists, start=2005)
fit <- ets(aust)
summary(fit)

ETS(M,A,M) 

Call:
 ets(y = aust) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.1908 
    beta  = 0.0392 
    gamma = 2e-04 

  Initial states:
    l = 32.3679 
    b = 0.9281 
    s = 1.0218 0.9628 0.7683 1.2471

  sigma:  0.0383

     AIC     AICc      BIC 
224.8628 230.1569 240.9205 

Training set error measures:
                     ME     RMSE     MAE        MPE     MAPE     MASE      ACF1
Training set 0.04836907 1.670893 1.24954 -0.1845609 2.692849 0.409454 0.2005962