➯ Las magnitudes escalares quedan perfectamente definidas mediante un número y una unidad (masa, longitud, tiempo…). En las magnitudes vectoriales además de un número y una unidad hay que especificar una dirección (desplazamiento, velocidad, fuerza…).
➯ Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores.
➯ Un vector es un segmento orientado trazado desde el punto inicial, llamado origen o punto de aplicación, al punto final o extremo del vector.
➯ Para representar un vector se usa una flecha que une el origen del vector con el extremo.
➯ El módulo de un vector es la longitud del segmento que une el origen y el extremo.
➯ La dirección de un vector viene dada por la recta que lo contiene.
➯ El sentido de un vector lo indica la punta de la flecha.
➯ Las coordenadas del vector \(\vec{AB}\) de origen el punto \(A(x_1,y_1)\) y extremo el punto \(B(x_2,y_2)\) se obtienen restando las coordenadas de \(B\) menos las coordenadas de \(A\): \[\vec{AB}=B−A=(x_2,y_2)−(x_1,y_1)=(x_2−x_1,y_2−y_1)\]
➯ El vector nulo, \(\vec{0}\), es aquel en el que el origen y el extremo coinciden.
➯ El módulo del vector nulo es cero.
➯ Las coordenadas del vector nulo son \((0,0)\).
➯ Dado un vector \(\vec{v}\), su opuesto es el vector \(-\vec{v}\), que tiene su mismo módulo y dirección pero sentido contrario.
➯ El vector opuesto de \(\vec{v}=(v_x,v_y)\) es \(-\vec{v}=(-v_x,-v_y)\).
➯ Los vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido son equivalentes.
➯ El conjunto de todos los vectores del plano que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido se llama vector libre.
➯ Como representante de un vector libre escogemos aquel vector cuyo origen coincide con el origen de coordenadas.
➯ El vector de coordenadas \((v_x,v_y)\) lo representaremos uniendo el origen de coordenadas con el punto \((v_x,v_y)\).
➯ El módulo de un vector es la distancia que hay entre origen y el extremo del vector.
➯ El argumento de un vector es el ángulo que forma el vector con el semieje \(X\) positivo.
➯ Si \((v_x,v_y)\) son las coordenadas de un vector, entonces su módulo \(v\) y su argumento \(\theta\) son: \[v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\] \[\theta=\arctan \frac{v_y}{v_x}\]
➯ Si el vector \(\vec{v}\) tiene módulo \(v\) y argumento \(\theta\), entonces sus coordenadas \((v_x,v_y)\) son: \[v_x=v·\cos\theta\] \[v_y=v·\operatorname{sen} \theta\]
➯ Para sumar gráficamente dos vectores se utiliza la regla del paralelogramo o el método del polígono.
➯ La suma de los vectores \(\vec{a}=(a_x,a_y)\) y \(\vec{b}=(b_x,b_y)\) es:
\[\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)\]
➯ Para restar dos vectores, se suma al primero el opuesto del segundo:
\[\vec{a} - \vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\]
➯ La diferencia de los vectores \(\vec{a}=(a_x,a_y)\) y \(\vec{b}=(b_x,b_y)\) es:
\[\vec{a} - \vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)\]
➯ Para multiplicar el vector \(\vec{v}=(v_x,v_y)\) por el escalar \(k\) multiplicamos cada una de las coordenadas del vector por el escalar:
\[k·\vec{v}=(k·v_x,k·v_y)\]
➯ Un vector unitario es un vector cuyo módulo es la unidad.
➯ Para obtener un vector unitario \(\vec{u}\) con la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\) hay que dividir el vector \(\vec{v}\) entre su módulo \(v\):
\[\vec{u}=\displaystyle \frac{\vec{v}}{v}\]
➯ Cualquier vector \(\vec{v}\) lo podemos expresar como el producto de su módulo \(v\) por un vector unitario \(\vec{u}\) de su misma dirección y sentido:
\[\vec{v}=v·\vec{u}\]
➯ \(\vec{i}=(1,0)\) es el vector unitario del plano en la dirección del eje \(X\) y sentido positivo.
➯ \(\vec{j}=(0,1)\) es el vector unitario del plano en la dirección del eje \(Y\) y sentido positivo.
➯ Cualquier vector \(\vec{v}=(v_x,v_y)\) del plano se puede escribir como: \[\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}\]
➯ Cualquier vector \(\vec{v}\) del plano se puede escribir como suma de sus componentes cartesianas \(\vec{v}_x\) (en la dirección del eje \(X\)) y \(\vec{v}_y\) (en la dirección del eje \(Y\)): \[\vec{v}=\vec{v}_x+\vec{v}_y\] ➯ Si \(\vec{v}\) tiene módulo \(v\) y argumento \(\theta\), entonces sus componentes cartesianas son: \[\vec{v}_x=v \cdot \cos \theta \cdot \vec{i}\] \[\vec{v}_y=v \cdot \operatorname{sen} \theta \cdot \vec{j}\]
➯ \(\vec i=(1,0,0)\) es el vector unitario del espacio en la dirección del eje \(X\) y sentido positivo.
➯ \(\vec j=(0,1,0)\) es el vector unitario del espacio en la dirección del eje \(Y\) y sentido positivo.
➯ \(\vec k=(0,0,1)\) es el vector unitario del espacio en la dirección del eje \(Z\) y sentido positivo.
➯ Cualquier vector \(\vec v=(v_x,v_y,v_z)\) se puede escribir como: \[\vec v=v_x \vec i+v_y \vec j+v_z \vec k\]
➯ El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar.
➯ El producto escalar de los vectores \(\vec a\) y \(\vec b\) se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo \(\alpha\) que forman: \[\vec a·\vec b=|\vec a|·|\vec b|·\cos\alpha\] ➯ Si \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k\) y \(\vec b=b_x\vec i+b_y\vec j+b_z\vec k\), entonces su producto escalar se puede calcular como: \[\vec a·\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\] ➯ El producto escalar verifica la propiedad conmutativa: \[\vec a·\vec b=\vec b·\vec a\] ➯ Condición de perpendicularidad: dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero.
➯ El ángulo \(\alpha\) que forman dos vectores \(\vec a\) y \(\vec b\) es: \[\alpha= \arccos \displaystyle \frac {\vec a·\vec b}{|\vec a|·|\vec b|}\]
➯ Si \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k\) y \(\vec b=b_x\vec i+b_y\vec j+b_z\vec k\), entonces el producto vectorial \(\vec a \times \vec b\) se calcula resolviendo el determinante:
\[\vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\]
➯ Si dos vectores son paralelos entonces su producto vectorial es cero.
➯ El producto vectorial no es conmutativo: \(\vec a \times \vec b=-\vec b \times \vec a\).
En el enlace Física en Bachillerato: Vectores tienes una explicación detallada de cada uno de los conceptos anteriores.