modelo generalizado de Richard

Generalised Richard growth model

El objetivo de esta curva es definir un proceso de difución cuya función media sea esta curva, En este tipo de curvas se puede defenir que la asintota depende del valor inicial, por lo que permite describir fenomenos de crecimeinto en un hecho obcervado. ## Caracterisiticas de la curva

\[y(t) = A +\frac{U-A}{(1+\beta\exp(-k(t-t_0)))^{(1/m)}}\]

Parametros:

t= tiempo x = tamaño A = La asintota inferior U = La asintota superior k = Tasa de crecimiento m > 0 : afecta cerca de la cual se produce el crecimiento maximo de asintota. beta = Esta relacionado con el valor y(0) t0 = Hora de inicio

Asintota

En esta asintota la curva se ve influenciada por el valor de la curva en el instante inicial, al obcervar el limite : \[k=\lim_{t\to2}f(t)=x_0(1+\beta\exp\{-ct_0\})^q\] Este limite nos indica que la curva tien una asintota horizontal y que depende del valor inicial.

Primera derivada del modelo

\[\frac{d}{dt}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta\exp(-k(t-t_0)))}{(1/m)}\right)=\\\frac{d}{dt}(A)+\frac{d}{dt}\left(\frac{U-A}{(1+ye^{(-k(t-t_0))){(1/m)}}}\right)=\\0+\frac{yke^{-k(t-t_0)}(U-A(1+ye^{-k(t-t_0)}))^{\frac{-1-m}{m}}}{m}=\\\frac{ke^{-k(t-t_0)}y(U-A(1+ye^{-k(t-t_0)}y+1))^{\frac{-1-m}{m}}}{m}\] Esta primera derivada nos muestra que la curva siempre es creciente y que no tiene una solución analitica.

Segunda derivada del modelo

\[\frac{d^2}{dt^2}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta\exp(-k(t-t_0)))}{(1/m)}\right)= 0\] Como elresultado de la segunda derivada es cero, esto nos muestra que tiene un pinto de inflexión, donde pasa de ser una función concava a una función convexa o viceversa.

Derivadas parciales

Respecto a A

\[=\frac{\partial{y}}{\partial{A}}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\]

\[= \frac{\partial{y}}{\partial{A}}(A)+\frac{\partial{y}}{\partial{A}}\left(\frac{U-A}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[= \frac{\partial{y}}{\partial{A}}(A)=1\\\frac{\partial{y}}{\partial{A}}\left(\frac{U-A}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)=-\frac{1}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\] \[= 1-\frac{1}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\]

Derivada segunda respecto a A

\[=\frac{\delta^2y}{\delta^2(A)}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[= \frac{\delta y}{\delta(A)}\left(1-\frac{1}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[=0\]

Respecto a U

\[=\frac{\partial{y}}{\partial{U}}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[=\frac{\partial{y}}{\partial{U}}(A)+\frac{\partial{y}}{\partial{U}}\left(\frac{U-a}{(1+\beta e^{-k(t-t_0}))^{1/m}}\right)\] \[\frac{\partial{y}}{\partial{U}}(A)=0\\\frac{\partial{y}}{\partial{U}}\left(\frac{U-a}{(1+\beta e^{-k(t-t_0}))^{1/m}}\right) = \frac{1}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\] \[=0+\frac{1}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\] \[=\frac{1}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\]

Derivada segunda respecto a U

\[=\frac{\delta^2y}{\delta^2(U)}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[=\frac{\delta y}{\delta(U)}\left(\frac{1}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[=0\]

Respecto a beta

\[=\frac{\partial{y}}{\partial{\beta}}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[=\frac{\partial{y}}{\partial{\beta}}(A)+\frac{\partial{y}}{\partial{\beta}}\left(\frac{U-a}{(1+\beta e^{-k(t-t_0}))^{1/m}}\right)\] \[=\frac{\partial{y}}{\partial{\beta}}(A)=0\\\frac{\partial{y}}{\partial{\beta}}\left(\frac{U-a}{(1+\beta e^{-k(t-t_0}))^{1/m}}\right)=-\frac{e^{-k(t-t_0)}(U-A)(1+e^{-k(t-t_0)}\beta)^{\frac{-1-m}{m}}}{m}\] \[=-\frac{e^{-k(t-t_0)}(U-A)(1+e^{-k(t-t_0)}\beta)^{\frac{-1-m}{m}}}{m}\]

Derivada segunda respecto a beta

\[=\frac{\delta^2y}{\delta^2(\beta)}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[=\frac{\delta y}{\delta(\beta)}\left(-\frac{e^{-k(t-t_0)}(U-A)(1+e^{-k(t-t_0)}\beta)^{\frac{-1-m}{m}}}{m}\right)\] \[=-\frac{e^{-2k(t-t_0)}(U-A)(-1-m)(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{\frac{-2m-1}{m}}}{m^2}\]

Respecto a k

\[=\frac{\partial{y}}{\partial{k}}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[= \frac{\partial{y}}{\partial{k}}(A)+\frac{\partial{y}}{\partial{k}}\left(\frac{U-A}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\]

\[=\frac{\partial{y}}{\partial{k}}(A)=0\\\frac{\partial{y}}{\partial{k}}\left(\frac{U-a}{(1+\beta e^{-k(t-t_0}))^{1/m}}\right)=-\frac{\beta e^{-k(t-t_0)}(U-A)(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{\frac{-1-m}{m}}}{m}\] \[=0-\frac{\beta e^{-k(t-t_0)}(U-A)(t-t_0)(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{\frac{-1-m}{m}}}{m}\] \[=-\frac{e^{-k(t-t_0)}\beta(U-A)(t-t_0)( e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{\frac{-1-m}{m}}}{m}\]

Derivada segunda respecto a k

\[=\frac{\delta^2y}{\delta^2(k)}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[=\frac{\delta y}{\delta(k)}\left(-\frac{e^{-k(t-t_0)}\beta(U-A)(t-t_0)( e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{\frac{-1-m}{m}}}{m}\right)\] \[=-\frac{\beta(me^{-k(t-t_0)}(-t+t_0)(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{\frac{-1-m}{m}}+e^{-2k(t-t_0)}\beta(-m-1)(t_0-t)(e^{k(t-t_0)}\beta+1)^{\frac{-2m-1}{m}})(U-A)(t_0-t)}{m^2}\]

Respecto a m

\[=\frac{\partial{y}}{\partial{m}}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[= \frac{\partial{y}}{\partial{m}}(A)+\frac{\partial{y}}{\partial{m}}\left(\frac{U-A}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[\frac{\partial{y}}{\partial{m}}(A)=0\\\frac{\partial{y}}{\partial{m}}\left(\frac{U-A}{1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)=\frac{ln(1+\beta e^{-k(t-t_0)})(U-A)(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{-1/k}}{k^2}\] \[=0+\frac{ln(1+\beta e^{-k(t-t_0)})(U-A)(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{-1/k}}{k^2}\] \[=\frac{ln( e^{-k(t-t_0)}\beta+1)(U-A)( e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{-1/k}}{k^2}\]

Derivada segunda respecto a m

\[=\frac{\delta^2y}{\delta^2(m)}\left(A+\frac{U-A}{(1+\beta e^{-k(t-t_0)})^{1/m}}\right)\] \[=\frac{\delta y}{\delta(k)}\left(\frac{ln( e^{-k(t-t_0)}\beta+1)(U-A)( e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{-1/k}}{k^2})\right)\] \[=\frac{ln(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)(ln(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{-1/m}-2x(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{1/m)}(U-A)}{m^4}\] \[=\frac{ln(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)(ln(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{-1/m}-2x(e^{-k(t-t_0)}\beta+1)^{1/m)}(U-A)}{m^4}\] Al obcervar el modelo \[y(t) = A +\frac{U-A}{(1+\beta\exp(-k(t-t_0)))^{(1/m)}}\] podemos determina si es un modelo lineal o no lineal de pendiendo de que y(t) lo sea o no, para esto debemos determinar si en las derivadas normales tiene solución analitica, si es asi, podriamos considerar que es un modelo lineal, de lo contrario sera un modelo no lineal.

Datos originales en los parametros

library(growthmodels)
growth <- generalisedRichard(0:100, 5, 10, 0.3, 0.5, 1, 3)
plot(growth)

library(growthmodels)
growth <- generalisedRichard(0:100, 11, 10, 0.3, 0.5, 1, 3) # vriamos el segundo paramtro
plot(growth)

library(growthmodels)
growth <- generalisedRichard(0:100, 5, 10, 0.1, 0.5, 1, 3)
plot(growth)# variamos el tercer parametro 

library(growthmodels)
growth <- generalisedRichard(0:100, 5, 10, 0.3, 0.1, 1, 3)
plot(growth)# variamos el 4 parametro 

library(growthmodels)
growth <- generalisedRichard(0:100, 5, 10, 0.3, 0.5, -5, 3)
plot(growth)# Variamos el cuarto parametro 

library(growthmodels)
growth <- generalisedRichard(0:100, 5, 10, 0.3, 0.5, 1, 60)
plot(growth) # Variamos el 6 parametro 

Al cambiar los valores en los parametros, se obcerva que el punto de inflexión varia en los diferentes fraficos, ya sea por que el punto se corra o por que cambie la curvatura, el segmento concavo pasa a ser convexo y la parte convexa pasa a ser concava, tambien obcervamos cuando cmabiamos el cuaro parametro la formación de una asintota vertical.