library(pacman)
p_load("readr","DT","prettydoc","fdth","modeest","tidyverse")

Importar

datos <- mpg
cilindros <- as.numeric(datos$displ)
millas <- as.numeric(datos$hwy)
cilmi <- data.frame(cilindros,millas)
names(cilmi)

## [1] "cilindros" "millas"

Visualizar

datatable(cilmi)

Primer repaso de la unidad 1 de la materia de estadística aplicada

Definición de estadística

es la rama de las matemáticas que estudia la variabilidad, así como el proceso aleatorio que la genera siguiendo las leyes de la probabilidad.2. Como parte de la matemática, la estadística es una ciencia formal deductiva, con un conocimiento propio, dinámico y en continuo desarrollo obtenido a través del método científico formal. En ocasiones, las ciencias fácticas necesitan utilizar técnicas estadísticas durante su proceso de investigación factual, con el fin de obtener nuevos conocimientos basados en la experimentación y en la observación. En estos casos, la aplicación de la estadística permite el análisis de datos provenientes de una muestra representativa, que busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

La estadística se divide en dos grandes áreas:

Estadística descriptiva: Se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Su objetivo es organizar y describir las características sobre un conjunto de datos con el propósito de facilitar su aplicación, generalmente con el apoyo de gráficas, tablas o medidas numéricas. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, gráfico circular, entre otros.
Estadística inferencial: Se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas sí/no (prueba de hipótesis), estimaciones de unas características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen análisis de varianza, series de tiempo y minería de datos. Su objetivo es obtener conclusiones útiles para lograr hacer deducciones acerca de la totalidad de todas las observaciones hechas, basándose en la información numérica.

Distribuciones de frecuencia

Tabla de distribución de frecuencia

dist <- fdt(cilmi, breaks="Sturges")
dist

## cilindros 
##   Class limits  f   rf rf(%)  cf  cf(%)
##  [1.584,2.194) 43 0.18 18.38  43  18.38
##  [2.194,2.803) 57 0.24 24.36 100  42.74
##  [2.803,3.413) 27 0.12 11.54 127  54.27
##  [3.413,4.022) 36 0.15 15.38 163  69.66
##  [4.022,4.632) 16 0.07  6.84 179  76.50
##  [4.632,5.241) 24 0.10 10.26 203  86.75
##  [5.241,5.851) 23 0.10  9.83 226  96.58
##   [5.851,6.46)  6 0.03  2.56 232  99.15
##    [6.46,7.07)  2 0.01  0.85 234 100.00
## 
## millas 
##     Class limits  f   rf rf(%)  cf  cf(%)
##   [11.88,15.498) 17 0.07  7.26  17   7.26
##  [15.498,19.116) 61 0.26 26.07  78  33.33
##  [19.116,22.733) 20 0.09  8.55  98  41.88
##  [22.733,26.351) 67 0.29 28.63 165  70.51
##  [26.351,29.969) 43 0.18 18.38 208  88.89
##  [29.969,33.587) 17 0.07  7.26 225  96.15
##  [33.587,37.204)  6 0.03  2.56 231  98.72
##  [37.204,40.822)  0 0.00  0.00 231  98.72
##   [40.822,44.44)  3 0.01  1.28 234 100.00

#nos brinda una tabla con los calculos de la distribución de frecuencias.
#Donde
#f= frecuencia absoluta
#rf= frecuencia relativa
#rf(%) frecuencia relativa porcentual
#cf= frecuencia acumulada
#cf(%)=frecuencia acumulada porcentual

Histograma de distribución de frecuencia

plot(dist, type="fh") # histograma de frecuencia absoluta

plot(dist, type="cfh") # histograma de frecuencia acumulada

plot(dist, type="rfh") # histograma de frecuencia relativa

Polígono de distribución de frecuencia

plot(dist, type="fp") # Polígono de frecuencia absoluta

plot(dist, type="cfp") # Polígono de frecuencia acumulada

plot(dist, type="rfp") # Polígono de frecuencia relativa

Medidas de tendencia central

Media

mean(cilmi$cilindros)

## [1] 3.471795

mean(cilmi$millas)

## [1] 23.44017

Mediana

median(cilmi$cilindros)

## [1] 3.3

median(cilmi$millas)

## [1] 24

Moda

mfv(cilmi$cilindros, method="discrete")

## [1] 2

mfv(cilmi$millas, method="discrete")

## [1] 26

Ordenar datos de menor a mayor

sort(cilmi$cilindros)

##   [1] 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8 1.8
##  [19] 1.8 1.9 1.9 1.9 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
##  [37] 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4
##  [55] 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5
##  [73] 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7
##  [91] 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
## [109] 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.4 3.4 3.4
## [127] 3.4 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.7 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8 3.8
## [145] 3.8 3.9 3.9 3.9 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0
## [163] 4.0 4.2 4.2 4.2 4.2 4.4 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.6 4.7
## [181] 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 5.0 5.0
## [199] 5.2 5.2 5.2 5.2 5.2 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4 5.4
## [217] 5.4 5.6 5.7 5.7 5.7 5.7 5.7 5.7 5.7 5.7 5.9 5.9 6.0 6.1 6.2 6.2 6.5 7.0

sort(cilmi$millas)

##   [1] 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 17
##  [26] 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17
##  [51] 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19
##  [76] 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 22 22 22 22 22 22 22 23 23
## [101] 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25
## [126] 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [151] 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27
## [176] 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [201] 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 33 33
## [226] 34 35 35 36 36 37 41 44 44

Cuantiles

summary(cilmi$cilindros)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.600   2.400   3.300   3.472   4.600   7.000

summary(cilmi$millas)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   12.00   18.00   24.00   23.44   27.00   44.00

Valores máximos y mínimos

TempMax <- max(cilmi$cilindros)
TempMin <- min(cilmi$cilindros)

Gráfico (diagrama) de caja y bigote

boxplot(cilmi$cilindros)

boxplot(cilmi$millas)

Medidas de dispersión

Amplitud (rango, alcance)

amp <- (TempMax - TempMin)

Varianza

var(cilmi$cilindros)

## [1] 1.669158

var(cilmi$millas)

## [1] 35.45778

Desviación estándar

sd(cilmi$cilindros)

## [1] 1.291959

sd(cilmi$millas)

## [1] 5.954643

Análisis de correlación

Correlación pearson

cor(cilmi)

##           cilindros   millas
## cilindros   1.00000 -0.76602
## millas     -0.76602  1.00000

Diagramas de dispersión

pairs(cilmi)

Regresión lineal simple

regresion <- lm (millas ~ cilindros, data= cilmi )
summary(regresion)

## 
## Call:
## lm(formula = millas ~ cilindros, data = cilmi)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7.1039 -2.1646 -0.2242  2.0589 15.0105 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  35.6977     0.7204   49.55   <2e-16 ***
## cilindros    -3.5306     0.1945  -18.15   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.836 on 232 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5868, Adjusted R-squared:  0.585 
## F-statistic: 329.5 on 1 and 232 DF,  p-value: < 2.2e-16

Recta de minimos cuadrados

Ecuación de la recta

\[ y = 35.6977 - 3.5306x \]

Ajuste de la recta

plot(cilmi$cilindros, cilmi$millas, xlab = "Cilindraje", ylab="Millas por galón")
abline(regresion)

Predicción

sort(millas)

##   [1] 12 12 12 12 12 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 17
##  [26] 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17
##  [51] 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19
##  [76] 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 22 22 22 22 22 22 22 23 23
## [101] 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25
## [126] 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
## [151] 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27
## [176] 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [201] 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 33 33
## [226] 34 35 35 36 36 37 41 44 44

nuevos.millas <- data.frame(millas=seq(0,45))
nuevos.cilindros<- data.frame(temp=seq(1,6))
predict(regresion,nuevos.cilindros)

## Warning: 'newdata' had 6 rows but variables found have 234 rows

##        1        2        3        4        5        6        7        8 
## 29.34259 29.34259 28.63647 28.63647 25.81200 25.81200 24.75283 29.34259 
##        9       10       11       12       13       14       15       16 
## 29.34259 28.63647 28.63647 25.81200 25.81200 24.75283 24.75283 25.81200 
##       17       18       19       20       21       22       23       24 
## 24.75283 20.86918 16.98553 16.98553 16.98553 15.57329 14.51412 15.57329 
##       25       26       27       28       29       30       31       32 
## 15.57329 13.80800 13.80800 10.98353 16.98553 16.98553 15.57329 12.74882 
##       33       34       35       36       37       38       39       40 
## 27.22424 27.22424 24.75283 23.34059 22.98753 27.22424 25.10588 24.04671 
##       41       42       43       44       45       46       47       48 
## 24.04671 24.04671 24.04671 24.04671 22.28141 22.28141 22.28141 21.57530 
##       49       50       51       52       53       54       55       56 
## 22.63447 22.63447 21.92835 21.92835 19.10388 19.10388 19.10388 17.33859 
##       57       58       59       60       61       62       63       64 
## 17.33859 21.92835 19.10388 19.10388 19.10388 17.33859 15.57329 14.86718 
##       65       66       67       68       69       70       71       72 
## 19.10388 19.10388 19.10388 19.10388 19.10388 19.10388 17.33859 17.33859 
##       73       74       75       76       77       78       79       80 
## 15.57329 14.86718 19.45694 16.63247 16.63247 21.57530 21.57530 21.57530 
##       81       82       83       84       85       86       87       88 
## 21.57530 19.45694 18.04471 20.86918 20.86918 19.45694 19.45694 19.45694 
##       89       90       91       92       93       94       95       96 
## 16.63247 16.63247 22.28141 22.28141 21.57530 21.57530 19.45694 19.45694 
##       97       98       99      100      101      102      103      104 
## 19.45694 19.45694 16.63247 30.04871 30.04871 30.04871 30.04871 30.04871 
##      105      106      107      108      109      110      111      112 
## 29.34259 29.34259 29.34259 28.63647 27.22424 27.22424 27.22424 27.22424 
##      113      114      115      116      117      118      119      120 
## 26.87118 26.87118 24.04671 28.63647 28.63647 28.63647 28.63647 26.16506 
##      121      122      123      124      125      126      127      128 
## 26.16506 26.16506 25.10588 22.63447 21.57530 19.10388 19.10388 19.10388 
##      129      130      131      132      133      134      135      136 
## 15.57329 14.16106 21.57530 20.86918 20.16306 19.45694 16.63247 16.63247 
##      137      138      139      140      141      142      143      144 
## 16.63247 21.57530 21.57530 19.45694 18.04471 27.22424 27.22424 26.87118 
##      145      146      147      148      149      150      151      152 
## 26.87118 23.34059 23.34059 25.10588 25.10588 23.34059 24.04671 24.04671 
##      153      154      155      156      157      158      159      160 
## 21.57530 15.92635 24.75283 22.28141 22.28141 22.28141 16.98553 26.87118 
##      161      162      163      164      165      166      167      168 
## 26.87118 26.87118 26.87118 26.87118 26.87118 27.93036 27.93036 26.87118 
##      169      170      171      172      173      174      175      176 
## 26.87118 26.87118 26.87118 26.87118 26.87118 26.16506 26.16506 23.69365 
##      177      178      179      180      181      182      183      184 
## 23.69365 21.57530 19.10388 27.93036 27.93036 27.22424 27.22424 25.10588 
##      185      186      187      188      189      190      191      192 
## 25.10588 23.34059 27.93036 27.93036 27.22424 27.22424 25.10588 25.10588 
##      193      194      195      196      197      198      199      200 
## 24.04671 29.34259 29.34259 29.34259 29.34259 29.34259 19.10388 15.57329 
##      201      202      203      204      205      206      207      208 
## 26.16506 26.16506 26.16506 23.69365 23.69365 21.57530 21.57530 28.63647 
##      209      210      211      212      213      214      215      216 
## 28.63647 28.63647 28.63647 25.81200 28.98953 28.63647 28.63647 28.63647 
##      217      218      219      220      221      222      223      224 
## 28.63647 26.87118 26.87118 25.81200 25.81200 28.98953 28.98953 28.63647 
##      225      226      227      228      229      230      231      232 
## 28.63647 26.87118 26.87118 29.34259 29.34259 28.63647 28.63647 25.81200 
##      233      234 
## 25.81200 22.98753

Intervalos de confianza

confint(regresion)

##                 2.5 %   97.5 %
## (Intercept) 34.278353 37.11695
## cilindros   -3.913828 -3.14735

nuevos.cilindros <- data.frame(cilindros=seq(1,6))

#Recta ajustada al gráfico de dispersión
plot(cilmi$cilindros, cilmi$millas, xlab = "Cilindros", ylab="Millas por galon")
abline(regresion)

#Intervalos de confianza para la respuesta media 
# ic es una matriz con tres columnas: la primera es la prediccion, las otras dos son los extremos del intervalo
ic <- predict(regresion, nuevos.cilindros, interval = 'confidence')
lines(nuevos.cilindros$cilindros, ic[, 2], lty = 2)
lines(nuevos.cilindros$cilindros, ic[, 3], lty = 2)

# Intervalos de predicción
ic <- predict(regresion, nuevos.cilindros, interval = 'prediction')
lines(nuevos.cilindros$cilindros, ic[, 2], lty = 2, col = "red")
lines(nuevos.cilindros$cilindros, ic[, 3], lty = 2, col = "red")

Análisis de residuales

##" Análisis ANOVA (Análisis de varianza)

anova(regresion)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: millas
##            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## cilindros   1 4847.8  4847.8  329.45 < 2.2e-16 ***
## Residuals 232 3413.8    14.7                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Diagnóstico del modelo

residuos <- rstandard(regresion)
valores.ajustados <- fitted(regresion)
plot(valores.ajustados,residuos)

Pruebas de normalidad

No se observa ningún patrón especial, por lo que tanto la homocedasticidad como la linealidad resultan hipótesis razonables.

La hipótesis de normalidad se suele comprobar mediante un QQ plot de los residuos. El siguiente código sirve para obtenerlo:

qqnorm(residuos)
qqline(residuos)

Shapiro-wilk

shapiro.test(residuos)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuos
## W = 0.94021, p-value = 3.466e-08

Introducción a la probabilidad

Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre. wasserman

Terminología de probabilidad: espacio de resulatods,eventos, funciones de probabilidad, Etc.
Interpretación frecuentista de la probabilidad.
Probabilidad condicional y su relación con la independencia.
La regla de Bayes.

Probabilidad clásica

EL espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \}\] Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[A=\{AA, AS\}\] ## Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una estensión de la idea de proporcion, o cociente de una parte con respecto a todo.

e.g. En la carrera de Ing. Quimíca hay 300 estudiantes que son Hombres y 700 Mujeres, la proporcion de hombres es:

\[\frac{300}{700+300}=0.3\] Eventos equiprobables si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido ente el número total de posibles resultados:

\[ P(A) =\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}\] Por loque solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 muejres. Si la selección es aleatorea,¿Cuál es la probabilidad de que el comité este condormado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités ,cada uno tiene la misma posiblidad de ser seleccionado. Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto la probabilidadque buscamos es:

\[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la función para calcular las combinaciones es choose(n, r)

Probabilidad distribuida

Distribuciones de frecuencia

una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguid, o frecuentemente, ocurre una u otra cosa en una sucesion de observaciones.

lanzaminetos_10 <- sample(c("A","S"),10, replace = TRUE)
lanzaminetos_10

##  [1] "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A"

podemos calcular la secuencia de frecuencias relativas de aguila:

cumsum(lanzaminetos_10 == "A") #suma acumuladas de aguila

##  [1] 1 1 2 2 3 3 3 3 3 4

round(cumsum(lanzaminetos_10 == "A")/ 1:10,2)

##  [1] 1.00 0.50 0.67 0.50 0.60 0.50 0.43 0.38 0.33 0.40

Distribución normal

Si \(x\) es una variable aleatoria, con distribucion normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(x\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, ,mean=3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

para calcular el cuantil 0.7 de una variavle aleatoria normal estandar z, es decir un valor x tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

para calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con elcomando qnorm (1-alfa). algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 de una publicaciión normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):

x <- rnorm(100, mean = 10, sd=1)
x

##   [1]  8.179874  9.469519 10.968940  8.889071  9.930501 10.737078 11.899608
##   [8]  9.800537 10.509958 10.040296 10.329414 10.795192 10.197350  9.395079
##  [15] 10.412092 10.762571  7.993911 11.477697  8.962684  9.253546 11.687634
##  [22]  8.047762  9.207332 11.017171  9.959167 10.052343  9.915838 11.179426
##  [29]  9.496718 10.411146  9.714311 10.147115  8.825363  9.918452 10.281855
##  [36]  8.541989  8.734050 10.544016 10.116948 11.404479  9.607015  9.361312
##  [43]  9.730433  9.626513  9.650758  8.814859 10.793389 10.082963 11.446439
##  [50] 10.756987 11.917970 10.184776  8.572623  9.778039  9.501808  8.150580
##  [57] 11.262149 10.947782 11.170182 10.684352 10.093072 10.783183 11.279390
##  [64] 10.247190  9.819481  9.088109 11.358886  8.099054 10.404352  9.671383
##  [71]  8.842007  9.898768  9.692019  9.632420  9.623339  9.244949  9.544186
##  [78]  9.163031  9.825833  9.223393  8.142383  9.180693 10.171321 10.623767
##  [85]  9.316320  9.990490 10.665686  9.755635  9.682769 10.301581  9.427229
##  [92] 10.894956 10.059122 11.709415  9.784174 11.760492  8.242673  9.794023
##  [99]  9.891770  9.913555

Para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 9.960911

Distribución binomial

x <- rbinom(30, 1, 0.5)
x

##  [1] 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0

Distribución exponencial

curve(dexp(x), from=0, to=50)