1 Pengolahan Objek & Struktur Kendali

1.1 Pengolahan Objek

1.1.1 Operasi Aljabar Sederhana Vektor Numerik

Dalam operasi aljabar R, proses perhitungan akan diselesaikan oleh fungsi khusus sehingga dalam prosesnya ketika kita tidak menetapkan urutan perhitungan menggunakan tanda kurung, R akan secara otomatis menghitung mulai dari perkalian/pembagian. Perhatikan contoh berikut:

4*3-2

## [1] 10

bandingkan dengan

4*(3-2)

## [1] 4

Berikut beberapa operasi aljabar sederhana untuk vektor numerik:

+ Addition untuk operasi penjumlahan
- Substraction untuk operasi pengurangan
* Multiplacation untuk operasi perkalian
/ Division untuk operasi pembagian
^ Eksponen untuk operasi pemangkatan
%% Modulus untuk mencari sisa pembagian
%o% Integer untuk intger division
%/% Integer untuk mencari bilangan bulat hasil pembagian saja dan tanpa sisa pembagian

Berikut contoh beberapa operasi aljabar:

x1 <-c(2,6,9,5)
x1

## [1] 2 6 9 5

x2 <-1:4
x2

## [1] 1 2 3 4

x3 <-x1 + 1:2
x3

## [1]  3  8 10  7

x4 <-x1 + 1:3

## Warning in x1 + 1:3: longer object length is not a multiple of shorter object
## length

x4

## [1]  3  8 12  6

x5 <-x1*x2
x5

## [1]  2 12 27 20

x6 <-x1 %o% x1 #setarax'x
x6

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    4   12   18   10
## [2,]   12   36   54   30
## [3,]   18   54   81   45
## [4,]   10   30   45   25

x7 <-x1 %/% x5 
x7

## [1] 1 0 0 0

1.1.2 Operasi Dasar Vektor Character

nchar() digunakan untuk menghitung banyaknya karakter dalam string.
paste() fungsinya untuk menciptakan atau menjadikan mode objek lain seperti karakter.
substr() digunakan untuk mengambil element ke k sampai element ke k+n bagian dalam string.
substring() digunakan untuk mengambil element ke k sampai akhir atau dengan batas yang sudah ditentukan, sintax yang digunakan adalah substring(variabel,k) atau substring(variabel,k,k+n).

Beberapa contoh penggunaan operasi:

nama <- c("Arifuddin R")
nama

## [1] "Arifuddin R"

untuk mengetahui berapa karakter yang ada pada variabel nama kita menggunakan fungsi dari nchar() seperti contoh berikut:

nchar(nama)

## [1] 11

ketika ingin mengambil beberaka karakter pada suatu variabel kita bisa menggunakan fungsi substr atau substring seperti contoh berikut:

substr(nama,4,5)

## [1] "fu"

substring(nama,7,8)

## [1] "di"

substring(nama,7)

## [1] "din R"

1.1.3 Operasi Dasar Matriks

Berikut beberapa contoh perhitungan matriks yang menggunakan operasi seperti t(), %*%, %/%, diag(), solve(), eigen():

Z1 <-matrix(1:6,2,3)
Z1

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    3    5
## [2,]    2    4    6

Z2 <-matrix(1:6,3,2,byrow=T)
Z2

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    2
## [2,]    3    4
## [3,]    5    6

Z3 <-matrix(6:9,2,2)
Z3

##      [,1] [,2]
## [1,]    6    8
## [2,]    7    9

Perkalian Matriks

Z4 <-Z1 %*% Z2
Z4

##      [,1] [,2]
## [1,]   35   44
## [2,]   44   56

Transpose Matriks

t(Z3)

##      [,1] [,2]
## [1,]    6    7
## [2,]    8    9

Perkalian elemen matriks

Z5 <-Z3 * Z4
Z5

##      [,1] [,2]
## [1,]  210  352
## [2,]  308  504

Invers

Invers <-solve(Z4) 
Invers

##           [,1]      [,2]
## [1,]  2.333333 -1.833333
## [2,] -1.833333  1.458333

Invers %*% Z4 #identitas

##      [,1]         [,2]
## [1,]    1 2.842171e-14
## [2,]    0 1.000000e+00

jika diberikan vektor h sebagai berikut:

h <-c(5,11)
h

## [1]  5 11

*Solusi sistem persamaan linear dari Z4p=h

p <-solve(Z4,h) 
p

## [1] -8.500  6.875

Nilai eigen dan Vektor eigen dari Z4

e <-eigen(Z4) #eigenvalue & eigenvector drZ4
e

## eigen() decomposition
## $values
## [1] 90.7354949  0.2645051
## 
## $vectors
##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.6196295 -0.7848945
## [2,] 0.7848945  0.6196295

Akses nilai eigen

e$values

## [1] 90.7354949  0.2645051

Akses eigen dari vektor

e[[2]]

##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.6196295 -0.7848945
## [2,] 0.7848945  0.6196295

1.2 Struktur Kendali

1.2.1 Eksekusi Bersyarat

Kontrol pengambilan keputusan yang biasa digunakan adalah if~else dan switch, berikut contoh penggunaannya:

if ~ else

namakuarif <- "arif"

if (is.numeric(namakuarif)){

cat("Variabel adalah suatu angka:", namakuarif)

} else {

cat("Variabel bukan angka:", namakuarif)
}

## Variabel bukan angka: arif

a <- 22.2
  
if (is.numeric(a)){
  cat("Variabel a adalah suatu angka:", a)
}

## Variabel a adalah suatu angka: 22.2

switch()

Penggunaan switch untuk memilih operasi yang akan dilakukan, contoh:

pilih <- function(num, a, b)
switch(num, 
       satu = {
         kali = a*b
         print(kali)
       },
       dua = {
         bagi = a/b
         print(bagi)
       }
       )

pilih(1, 2, 5) # perkalian

## [1] 10

pilih("satu",2,5)

## [1] 10

pilih(2,5,5)# pembagian

## [1] 1

pilih("dua",5,5)

## [1] 1

1.2.2 Pengulangan (loops)

Loop merupakan sintax untuk memunculkan pernyataan secara brulang-ulang. Pada R bentuk loop dapat bermacam-macam (“for loop”,“while loop”, dll). R menyederhanakan bentuk loop ini dengan menyediakan sejumlah fungsi seperti apply(),tapply(), dll

For loop

x <- c(1,4,5,6,7)
for(i in x)
{print(i^2)
  print("hasil selanjutnya apa arif??")
}

## [1] 1
## [1] "hasil selanjutnya apa arif??"
## [1] 16
## [1] "hasil selanjutnya apa arif??"
## [1] 25
## [1] "hasil selanjutnya apa arif??"
## [1] 36
## [1] "hasil selanjutnya apa arif??"
## [1] 49
## [1] "hasil selanjutnya apa arif??"

for dengan if, pada contoh berikut akan dibuat perulangan dengan kondisi apabila x sisa hasil baginya sama dengan nol maka dianggap sebagai bilangan genap, dan apabila hasil baginya tidak sama dengan nol maka dianggap sebagai bilangan ganjil.

for(n in x)
{
if(n%%2==0)
{
cat(sprintf("%d adalah bilangan genap \n",n))
}
else
{
cat(sprintf("%d adalah bilangan ganjil \n",n))
}
}

## 1 adalah bilangan ganjil 
## 4 adalah bilangan genap 
## 5 adalah bilangan ganjil 
## 6 adalah bilangan genap 
## 7 adalah bilangan ganjil

while loop

While loop merupakan loop yang digunakan ketika kita telah menetapkan stop condition sebelumnya, berikut contohnya:

namaku <- c("Arif")
awal <- 1
while (awal<6){
  # print vektor
  print(namaku)
  # tambahkan nilai counter sehingga proses terus berlangsung sampai counter = 6
  awal <- awal+1 
}

## [1] "Arif"
## [1] "Arif"
## [1] "Arif"
## [1] "Arif"
## [1] "Arif"

Repeat loop

Repeat loop akan menjalankan statement/kode yang sama berulang-ulang hingga stop condition tercapai, berikut contohnya:

coba <- c("contoh")
counter <- 1
repeat {
  print(coba)
  counter <- counter + 1
  if(counter < 5){
break
  }
}

## [1] "contoh"

Contoh Struktur Kendali (2)

for (i in 1:5) print(i^2)

## [1] 1
## [1] 4
## [1] 9
## [1] 16
## [1] 25

i<-1
while (i<=5) {
print(i^2)
i=i+1
}

## [1] 1
## [1] 4
## [1] 9
## [1] 16
## [1] 25

y <- runif(20)
for (i in y) {
if(i < 0.5){
print(100*i)
} else print(i/100)
}

## [1] 0.006630033
## [1] 43.14291
## [1] 0.008030523
## [1] 20.21558
## [1] 0.009222055
## [1] 0.008236938
## [1] 14.54617
## [1] 29.1755
## [1] 22.13052
## [1] 0.005950134
## [1] 45.08979
## [1] 18.70586
## [1] 24.51553
## [1] 0.008518715
## [1] 34.2075
## [1] 0.009107871
## [1] 0.006984966
## [1] 0.009035496
## [1] 40.9026
## [1] 0.2775236

Berikut fungsi dengan perulangannya

z=0
while(z<=10) {
y=runif(20)
z=sum(y)
print(z)}

## [1] 10.46206

Contoh Struktur Kendali (3)

Contoh bilangan acak:

acak <-sample(1:5,1)
switch(EXPR=acak, "1" = "a", "2" = "z",
"3" = "m", "4" = "h", "5" = "t")

## [1] "a"

Z6 <-matrix(1:25,5,5)
Z6

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]    1    6   11   16   21
## [2,]    2    7   12   17   22
## [3,]    3    8   13   18   23
## [4,]    4    9   14   19   24
## [5,]    5   10   15   20   25

apply(Z6,1,sum)

## [1] 55 60 65 70 75

apply(Z6,2,sd)

## [1] 1.581139 1.581139 1.581139 1.581139 1.581139

1.2.3 Latihan 1

Tentukan hasil dari setiap perintah berikut:

a<-0
for(i in 1:5)
{ b<-a+i
print(b)
a<-b}

## [1] 1
## [1] 3
## [1] 6
## [1] 10
## [1] 15

i<-1
z<-1
while(z<15)
{y<-z+i
z<-y
print(z)
i<-i+1
}

## [1] 2
## [1] 4
## [1] 7
## [1] 11
## [1] 16

i<-1
m<-2
repeat
{m<-m+i
print(m)
  i<-i+1
  if(m>15)
    break
}

## [1] 3
## [1] 5
## [1] 8
## [1] 12
## [1] 17

2 Grafik

2.1 Plot

2.1.1 General Form

salah satu point yang sangat krusial dalam visualisai data adalah membuat grafik yang mampuh menggambarkan atau mendeskripsikan data dengan baik. Ada banyak packages yang disediakan oleh R untuk visualisasi grafik, salah satu yang paling sering digunakan adalah package .ggplot2, namun dalam R sendiri terdapat fungsi atau sintax base untuk menggambarkan plot atau grafik tanpa menggunakan packages yaitu fungsi general form plot().

2.1.2 Jenis Type Plot

Type p untuk membuat plot dalam bentuk titik atau scatterplot.
Type l untuk membuat plot berbentuk garis (line).
Type b untuk membuat plot titik yang terhubung dengan garis.
Type c untuk membuat plot titik dengan penghubung garis putus-putus.
Type o untuk membuat plot titik yang ditimpa oleh garis.
Type h untuk membuat plot garis vertikal dari titik ke sumbu y.
Type s untuk membuat plot garis plot fungsi tangga.
Type n untuk menghilangkan objek plot.

Berikut contoh penggunaan type plotting:

(x <- c(-5:5))

##  [1] -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

(y <- -x^2)

##  [1] -25 -16  -9  -4  -1   0  -1  -4  -9 -16 -25

par(mfrow=c(2,4))
typeplot <- c("p","l","b","c","o","h","s","n")
for (i in typeplot){
  plot(x,y, type = i,main= paste("typeplot =", i))
}

2.2 Pilihan Warna Grafik

2.2.1 Numerik

Untuk memberi warna pada grafik kita bisa menggunakan angka 1-8 untuk warna yang berbeda, misalnya angka 3 untuk warna hijau, 4 untuk warna biru dan lain-lain.

par(mfrow=c(2,4))

warnaplotangka <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
for (i in warnaplotangka){
  plot(x,y,type="h", col = i,main= paste("warna plot =", i))
}

2.2.2 Character

Selain menggunakan angka, kita juga bisa menggunakan nama warna yang diinginkan pada grafik seperti green untuk warna hijau, red untuk warna merah, blue untuk warna biru dan lain-lain.

par(mfrow=c(2,4))
warnaplotkarakter <- c("black","blue","gold","red","yellow","green","brown","purple")
for (i in warnaplotkarakter) {
  plot(x,y,type = "o", col=i, main=paste("warna plot =",i))
  
}

2.2.3 Rainbow

Selain membedakan warna menggunakan fungsi angka dan karakter, kita juga bisa menggunakan rainbow() seperti pada contoh berikut:

par(mfrow=c(3,4))
warnaplotrainbow <- c(rainbow(12))
for (i in warnaplotrainbow) {
  plot(x,y,type = "s",col=i, main = paste("warna plot =",i))
  
}

Berikut contoh penggunaan legend (keterangan grafik) jika dibuat lebih dari 1 grafik:

(p <- x-6)

##  [1] -11 -10  -9  -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1

(q <- -x-6)

##  [1]  -1  -2  -3  -4  -5  -6  -7  -8  -9 -10 -11

plot(x,y, type = "c", col=4,lty=1)+lines(x,p, type = "o",col="red",lty=2) + lines(x,q,type="o", col=7)

## integer(0)

legend(4,-3,legend=c("y", "p", "q"),
       col=c("blue", "red", "gold"), lty=1:2, cex=0.8)

2.2.4 Ilustrasi

Berikut beberapa contoh lain ilustrasi pembuatan grafik:

Grafik dengan type yang berbeda

set.seed(12)
x1 <-1:40
y1 <-rnorm(40,5,1)

contoh perbedaan type:

par(mfrow=c(2,2))
plot(x1,y1,type="p")
plot(x1,y1,type="o")
plot(x1,y1,type="h")
plot(x1,y1,type="l")

Berikut grafik dengan penambahan unsur, xlab untuk penamaan sumbu y, xlab untuk penamaan sumbu x, dan pch untuk simbol plot atau jenis titik dalam plot.

par(mfrow=c(1,2))
plot(x1,y1,type="p",xlab="Sumbu x",ylab="Sumbu y",
main="Bilangan Acak Normal",col=2,pch=15)

plot(x1,y1,type="p",xlab="Sumbu x",ylab="Sumbu y",
main="Bilangan Acak Normal",col=rainbow(40),
pch=8,cex=1)

Jenis-jenis type pch

par(mfrow=c(2,4))

pch <- c(0,2,3,4,8,10,11,19)
for (i in pch) {
  plot(x1,y1,col=rainbow(500),pch=i, main =paste("pch =",i))
  
}

Penambahan amatan

Untuk menambahkan amatan pada grafik kita bisa menggunakan fungsi points seperti pada contoh berikut:

set.seed(12)
x2 <-41:50
y2 <-rnorm(10,5,1)
plot1 <- plot(x1,y1,type="p",xlab="Sumbu x",ylab="Sumbu y", main="Bilangan Acak Normal",col=rainbow(200), pch=19,cex=2,xlim=c(0,70),ylim=c(2.5,8))
points(x2,y2,cex=1,col=rainbow(120),pch=3) # amatan yang ditambahkan berbentuk "+"

Menambahkan garis, arah panah, dan text pada grafik

x3 <-rep(40.5,20)
y3 <-seq(min(c(y,y1)),max(c(y1,y2)),length=20)
plot1 <- plot(x1,y1,type="p",xlab="Sumbu x",ylab="Sumbu y", main="Bilangan Acak Normal",col=rainbow(100), pch=19,cex=2,xlim=c(0,70),ylim=c(2.5,8))
points(x2,y2,cex=2)
lines(x3,y3,col=4,lwd=2,lty=2)
abline(h=mean(y),col="red",lwd=1,lty=2)
abline(a=2,b=1/10,col="maroon3",lwd=2,lty=2)
#menambahkantanda panah
arrows(x0=30,y0=3.5,x1=40,y=mean(y1)-.1,lwd=2)
#menambahkantulisan
text(x=29,y=3.3,labels="Titik potong",cex=0.7)
text(x=3,y=7.3,labels="Data awal",cex=0.7)
text(x=46,y=7.3,labels="Data baru",cex=0.7)

Latihan 1:3

Could you explain what are these programs do for ?

par(mfrow=c(2,3))

plot(sin,-pi, 2*pi, main="Grafik sin")# plot 1 = membuat grafik sin 

plot(table(rpois(100,5)),type="h",col="red",
lwd=1,main="rpois(100,lambda=5)")# plot 2 = membuat grafik data sebaran poison dengan nilai parameter 5

a1 <- 1:25
a2 <- rnorm(25,4,2)

plot(a1,a2,pch="w",main="W (rnorm)")# plot 3 = membuat grafik dari data sebaran normal dengan parameter nilai tengah 4 dan variansi 4 menggunakan pch w

plot(a1,a2,type="n",main="W (rnorm)")
text(a1,a2,labels=paste("w",1:25,sep=""),col=rainbow(25),cex=0.8)# plot 4 = menambahkan text pada grafik

x <- rchisq(100,df=4)

hist(x,freq=FALSE,ylim=c(0,0.2), main = "Histogram chi-square")# membuat histogram dari data sebaran chi-square
curve(dchisq(x,df=4),col=2,lty=2,lwd=2,add=T)

Latihan 4

par(mfrow=c(2,2))
plot(1:40,y1,type="p",xlab="Sumbu x",ylab="Sumbu y",
main="Bilangan Acak Normal",col=2,pch=16)
plot(sin,-pi, 2*pi, xlab="sumbu x", ylab = "sin x", main="Grafik fungsi sin")
plot(table(rpois(100,5)),type="h",col="red",
lwd=1,main="rpois(100,lambda=5)")
plot(a1,a2,type="o",main="W")
text(a1,a2,labels=paste("w",1:25,sep=""),
col=rainbow(10),cex=0.8)

Latihan 5

yb<-rnorm(100,5,1)
split.screen(c(2,2))

## [1] 1 2 3 4

screen(3)
boxplot(yb)
title("Boxplot Bilangan Acak Normal",cex.main=0.7)
screen(4)
xb <- 1:100
plot(xb,yb,type="l",lwd=2,col="blue")
title("Lineplot Bilangan Acak Normal",cex.main=0.7)
screen(2)
hist(yb,freq=FALSE,main=NULL,ylim=c(0,0.5))
x <-yb
curve(dnorm(x,5,1),col="red",lty=2,lwd=2,add=TRUE)
title("Histogram Bilangan Acak Normal",cex.main=0.7)
screen(1)
plot(xb,yb,pch=16,col=rainbow(100))
title("ScatterPlot Bilangan Acak Normal",cex.main=0.7)

3 Pembangkitan Bilangan Acak

Pada keadaan tertentu kita membutuhkan data dari hasil pembangkitan, dalam R sendiri terdapat suatu fungsi yang memungkinkan penggunanya untuk melakukan pembangkitkan data dengan sebaran tertentu seperti sebaran normal, binomial, gamma, poison dan lain-lain. Untuk membangkitkan data kita menggunakan fungsi r_distribution atau huruf r diikuti nama sebaran yang ingin dibangkitkan, contohnya:

Data sebaran pseudo normal: rnorm()
Data sebaran pseudo seragam: runif

Agar nilai sebaran acak tidak berubah setiap kali dilakukan proses running, kita bisa menggunakan fungsi seed().

3.1 Perbedaan runif, punif, qunif, dunif

runif digunakan untuk membangkitkan sebaran uniform

x <-rnorm(10) # membangkitkan bilangan acak sebaran normal baku dengan n=10 {x~N(0,1)} 
x1<-rnorm(10,3,2) # membangkitkan bilangan acak sebaran normal dengan nilai tengah 3 dan standar defiasi 2 {x1~N(3,sd=2)}
x2<-rbinom(10,1,0.4) # membangkitkan bilangan acak sebaran binom dengan parameter 0,4 {x2~bernoulli(0.4)}
x

##  [1] -2.69097576  0.04600575  0.12936361  0.01743193 -1.29533926 -0.26401510
##  [7] -1.09286811 -0.82260562 -0.08685051  0.35085555

x1

##  [1]  4.3496347  3.6841673  1.2670659  4.6371671 -0.4335082  1.7924698
##  [7]  1.8081172 -1.1758832  4.5715526  2.3186923

x2

##  [1] 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1

punif digunakan untuk mencari nilai peluang peubah acak atau peluang sebaran kumulatif (cdf), dimulai huruf p diikuti dengan nama sebarannya.

p1 <-pnorm(1.645) #P(Z<1.645)=0.95
p2 <-pnorm(1.96) #P(Z<1.975)=0.975
p3 <-pnorm(-1.96)
p4 <-pf(15,df1=10,df2=15)
p1

## [1] 0.9500151

p2

## [1] 0.9750021

p3

## [1] 0.0249979

p4

## [1] 0.9999955

qunif digunakan untuk mencari nilai kuantil atau invers dari peluang peubah acak, dimulai huruf q diikuti nama sebarannya.

q1 <-qnorm(0.975)
q2 <-qnorm(0.95,2,1) #X~N(2,1), P(X<x)=0.95
q1

## [1] 1.959964

q2

## [1] 3.644854

dunif digunakan untuk mencari nilai density peubah acak, dimulai huruf d dan diikutu dengan nama sebarannya.

a <-seq(-4,4,length=1000)
da <-dnorm(a)
plot(a,da)

3.2 Inverse Transform Method

Teknik pembangkitan bilangan acak dengan Inverse Transform Method:
Ide dasar
- 0≤𝐹(𝑥)≤1sehingga𝑈=𝐹(𝑥)~𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚(0,1)
- Jika𝑋=𝐹−1(𝑢)maka𝑋~𝑓(𝑥)
Algoritme
- Tentukan fsk 𝐹(𝑥) dari sebaran yang diinginkan
- Tentukan𝐹−1(𝑥)
- Bangkitkan𝑈~𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚(0,1)
- Transformasi𝑋=𝐹−1(𝑢)
Keunggulan: bisa digunakan untuk berbagai sebaran (termasuk sebaran diskret)
Kesulitan utama: memperoleh kebalikan dari fungsi sebaran kumulatif
Contoh ilustrasi pembangkitan X~Normal(10,1)

set.seed(12)
r <- runif (100)
x <- qnorm (r, mean =10 , sd=1)
hist (x, prob = TRUE )
sbx <- seq (6 ,14 ,.01)
lines (sbx , dnorm (sbx , mean=10 , sd =1))

Contoh ilustrasi lain pembangkitan X~f(x)=3x^2, 0 < x < 1

set.seed(12)
n <- 1000
u <- runif (n)
x <- u^(1/3)
hist (x, prob = TRUE )
sbx <- seq (0 ,1 ,.01)
lines (sbx , 3*sbx ^2)

Contoh ilustrasi lain pembangkitkan bilangan acak eksponensial

X ~ Eksponensial(lamda) . f(x) = lamda.e^–(lambda.x), untuk x>=0

• X = –ln(1 –U) / lambda

set.seed(12)
eks <-function(n,lambda){
U <-runif(n)
X <--log(1-U)/lambda
return(X)
}
yy1 <-eks(1000,3) #inverse transform method
yy2 <-rexp(1000,rate=3) #fungsi bawaan R
par(mfrow=c(1,2))
hist(yy1,main="Exp dari Inverse Transform")
hist(yy2,main="Exp dari fungsi rexp")

3.3 Acceptance-Rejection Method

Algoritmeuntukmembangkitkan𝑋~𝑓(𝑥);𝑥0<𝑥<𝑥1:
Bangkitkan𝑥~𝑈(x0,𝑥1)
Tentukan𝑐sehingga𝑓𝑥≤𝐹untuk𝑥0<𝑥<𝑥1
Bangkitkan𝑦1~𝑈(0,𝐹)
Tentukan𝑦2=𝑓(𝑥)
Jika𝑦1≤𝑦2,terima𝑥
Contoh ilustrasi pembangkitkan bilangan acak yang memiliki fkp f_𝑌(𝑦)=3𝑦^2; 0<𝑦<1 menggunakan acceptance-rejection method.

set.seed(12)
ar <-function(n,x0,x1,f) {
xx <-seq(x0,x1,length=10000)
F <-max(f(xx))
terima <-0;iterasi <-0
hasil <-numeric(n)
while(terima<n) {
x <-runif(1,x0,x1)
y1<-runif(1,0,F)
y2<-f(x)
if(y1<=y2) {
terima <-terima+1
hasil[terima]<-x}
iterasi <-iterasi+1}
list(hasil=hasil,iterasi=iterasi)
}
set.seed(10)
f <-function(x) {3*x^2}
yyy <-ar(100,0,100,f)
yyy; par(mfrow=c(1,1))

## $hasil
##   [1] 86.47212 77.51099 83.82877 77.07715 53.55970 86.13824 20.36477 79.79930
##   [9] 74.38394 34.43435 98.37322 69.35082 63.31153 88.80315 76.90405 64.83695
##  [17] 87.95432 93.60689 72.33519 76.20444 98.68082 87.60261 72.40640 81.40516
##  [25] 55.88949 89.00940 74.56896 84.80646 87.03302 82.23331 85.08123 77.09219
##  [33] 89.53595 58.03863 59.82260 92.35285 73.67755 68.98170 83.01572 92.93209
##  [41] 90.95163 53.47576 34.78601 87.59762 72.86815 87.49293 69.88356 83.12562
##  [49] 55.72238 66.47687 74.00502 98.06898 38.00746 75.53169 51.84889 88.79149
##  [57] 91.77773 80.84086 85.37441 42.32184 76.04306 34.05763 38.86568 47.74175
##  [65] 53.87605 94.85434 71.24685 90.81691 94.57656 77.16899 69.46655 53.68832
##  [73] 84.81593 82.42752 51.23742 31.52032 99.24487 93.27120 98.92809 62.83590
##  [81] 52.54605 88.10815 52.91748 57.65517 72.31807 87.61180 39.95670 89.86123
##  [89] 93.35217 78.59216 77.84128 69.55333 90.60413 99.16424 47.29846 97.70567
##  [97] 93.86110 99.59093 85.43663 83.09547
## 
## $iterasi
## [1] 322

hist(yyy$hasil, main="f(x)=3*x^2")

3.4 Direct Transformation

Memanfaatkan beberapa fungsi transformasi dari berbagai sebaran yang ada.
Contoh:
Jika X~𝑈(0,1) menggunakan 𝑌=(𝑏−𝑎)𝑋+a maka 𝑌~𝑈(𝑎,𝑏) - Membangkitkan bilangan acak 𝑌~𝑈(3,5) maka𝑌=2𝑋+3

x <- runif(1000)
x

##    [1] 0.797825431 0.584105766 0.432789951 0.184224183 0.342946933 0.084464446
##    [7] 0.616232814 0.235762393 0.408317743 0.716011365 0.327048376 0.012941041
##   [13] 0.508899982 0.322516995 0.517734042 0.610396073 0.684642654 0.888747016
##   [19] 0.737487884 0.689914271 0.022710082 0.229486351 0.244891027 0.541362925
##   [25] 0.448027994 0.781770059 0.365328471 0.363040445 0.479099880 0.118028502
##   [31] 0.538288923 0.291478881 0.605037134 0.363013173 0.710482037 0.486796506
##   [37] 0.891667697 0.349029623 0.612229021 0.315482072 0.323191441 0.375130329
##   [43] 0.733514780 0.185734785 0.234534372 0.846513820 0.947321398 0.640187209
##   [49] 0.268725079 0.895056379 0.649711262 0.759947507 0.982764620 0.025754627
##   [55] 0.151841507 0.453398596 0.187596533 0.570851089 0.898161645 0.188545941
##   [61] 0.054237505 0.209667592 0.869126890 0.540226126 0.984553125 0.928419838
##   [67] 0.665764208 0.457998605 0.885159054 0.036603725 0.848891340 0.706611684
##   [73] 0.743403587 0.623274679 0.977894336 0.693796329 0.863160582 0.193288500
##   [79] 0.766206065 0.996617361 0.080808013 0.187778729 0.098908640 0.698711418
##   [85] 0.166418462 0.109024159 0.041221326 0.789316619 0.797210099 0.879441000
##   [91] 0.223940304 0.790037822 0.984422095 0.042393012 0.336053200 0.442041019
##   [97] 0.497746013 0.035648652 0.655554946 0.406714054 0.357302757 0.118415777
##  [103] 0.333909273 0.471162778 0.596654524 0.551235504 0.986783017 0.975748222
##  [109] 0.623341939 0.471480626 0.286450202 0.746195281 0.068679755 0.491225544
##  [115] 0.661038335 0.375819898 0.298727569 0.500884383 0.362992764 0.697829736
##  [121] 0.767494940 0.853763524 0.288892113 0.968609868 0.073562654 0.283470321
##  [127] 0.146400593 0.132155369 0.247354411 0.172719345 0.269957624 0.013073025
##  [133] 0.970673138 0.926739111 0.442193378 0.025226722 0.261273665 0.155160499
##  [139] 0.340471727 0.515688480 0.634122479 0.790110164 0.128555324 0.299820401
##  [145] 0.526339070 0.513562848 0.515156062 0.701760655 0.821491682 0.943026604
##  [151] 0.983618091 0.461239024 0.274310795 0.188615575 0.893332351 0.821365678
##  [157] 0.468334556 0.509380016 0.881347855 0.181505094 0.985597462 0.663976280
##  [163] 0.657692968 0.307070185 0.230148136 0.031048517 0.025203922 0.372042812
##  [169] 0.025585336 0.677386655 0.173352993 0.362733950 0.884499976 0.763239111
##  [175] 0.266235194 0.417301033 0.447148228 0.899110630 0.493130185 0.117339626
##  [181] 0.322891172 0.043288423 0.929615964 0.025221514 0.984970790 0.093809772
##  [187] 0.001343566 0.684716536 0.038198476 0.556393340 0.357615710 0.403115226
##  [193] 0.645996385 0.157688719 0.108586936 0.560222995 0.682568529 0.282359838
##  [199] 0.891222840 0.170626095 0.276547525 0.727723331 0.774053375 0.277410173
##  [205] 0.729746177 0.645382040 0.409567622 0.046271072 0.240455108 0.368645362
##  [211] 0.890560809 0.228434073 0.935557702 0.692329942 0.910702592 0.356703963
##  [217] 0.450779764 0.154249999 0.824822890 0.760693366 0.507777616 0.928810467
##  [223] 0.796971409 0.891108522 0.380375528 0.043726370 0.476364036 0.719662484
##  [229] 0.843127909 0.642096933 0.084133276 0.934762793 0.157640454 0.575359234
##  [235] 0.490713336 0.718750809 0.939037899 0.521182625 0.223817643 0.822206384
##  [241] 0.842982788 0.557735155 0.608040269 0.187675599 0.467966578 0.647974489
##  [247] 0.183116372 0.173097281 0.681945173 0.314169101 0.917505904 0.407746970
##  [253] 0.513858897 0.695419633 0.098077310 0.754421851 0.877781410 0.476329833
##  [259] 0.063831259 0.243152183 0.005895551 0.975002018 0.239618830 0.563414425
##  [265] 0.386890443 0.257517410 0.331669324 0.434146591 0.365769602 0.782391679
##  [271] 0.484321261 0.752662813 0.812451399 0.175556776 0.359442866 0.074529275
##  [277] 0.233014820 0.438409899 0.960091223 0.302242459 0.465717871 0.425965461
##  [283] 0.865715282 0.874719012 0.492349621 0.221868293 0.067658387 0.754617625
##  [289] 0.996539658 0.316486538 0.228530679 0.959759393 0.856606143 0.946967829
##  [295] 0.487203438 0.249053015 0.294612416 0.144091930 0.027074448 0.812843817
##  [301] 0.843232292 0.115938071 0.390032320 0.922732178 0.105729089 0.420434420
##  [307] 0.894074371 0.907938152 0.423787531 0.987304236 0.819109381 0.635950426
##  [313] 0.015453434 0.977437671 0.901407043 0.113635276 0.334285533 0.452302351
##  [319] 0.399360427 0.890764521 0.907771827 0.328402319 0.799178390 0.526428843
##  [325] 0.071460367 0.033736566 0.268863875 0.633840456 0.542250810 0.850074773
##  [331] 0.032590346 0.598522812 0.053001459 0.577232908 0.590051207 0.525655342
##  [337] 0.821531351 0.277172997 0.370245410 0.891136917 0.900993634 0.692093648
##  [343] 0.522831279 0.246509740 0.013764526 0.107445429 0.300518321 0.330314094
##  [349] 0.860103683 0.822427018 0.403947956 0.687933005 0.181557226 0.450180770
##  [355] 0.192615193 0.971526137 0.807706325 0.710179209 0.248249193 0.509782969
##  [361] 0.568758601 0.331568202 0.436661891 0.199697074 0.786256548 0.784722279
##  [367] 0.954900646 0.619593676 0.892506512 0.232518464 0.511741869 0.530108281
##  [373] 0.951261943 0.574386406 0.871019407 0.939295087 0.080396326 0.768369621
##  [379] 0.562287124 0.161637964 0.807168301 0.089309047 0.486743532 0.868764625
##  [385] 0.829974517 0.981608536 0.870782264 0.223493906 0.653097736 0.416614082
##  [391] 0.646841980 0.169172698 0.400619894 0.081654963 0.692902650 0.604882528
##  [397] 0.091791516 0.721271849 0.452915192 0.529043586 0.263285697 0.481480425
##  [403] 0.751016296 0.442069628 0.382896706 0.542716803 0.734972563 0.392188383
##  [409] 0.953368481 0.123325639 0.008197486 0.010542308 0.088533191 0.980120715
##  [415] 0.885319765 0.481836975 0.902140120 0.687789408 0.476239360 0.981351349
##  [421] 0.246652287 0.984327460 0.073050916 0.188407644 0.902189146 0.383730082
##  [427] 0.880236349 0.069347247 0.806218433 0.763002168 0.010817016 0.372420735
##  [433] 0.081989973 0.315523982 0.082892273 0.341842973 0.141625049 0.368556490
##  [439] 0.173243423 0.847526097 0.278791850 0.265163969 0.849600435 0.556518764
##  [445] 0.676869344 0.901693325 0.116347554 0.621799911 0.785787379 0.631747651
##  [451] 0.038171977 0.194351817 0.278359311 0.356986643 0.099856391 0.340993174
##  [457] 0.377469093 0.042728769 0.242346234 0.821880772 0.004098451 0.838202964
##  [463] 0.795320562 0.141095259 0.620550269 0.345270485 0.476858595 0.762485631
##  [469] 0.822924931 0.211851986 0.413445043 0.582372665 0.839677543 0.904570353
##  [475] 0.027219037 0.321701344 0.146235772 0.287267414 0.813373829 0.228739133
##  [481] 0.999800799 0.714307123 0.770808086 0.523044725 0.417820916 0.603939167
##  [487] 0.571399561 0.334126617 0.923118473 0.086975750 0.328822549 0.474062871
##  [493] 0.643261345 0.373658695 0.756729747 0.742407375 0.824704802 0.836006944
##  [499] 0.932135887 0.994831033 0.876878468 0.242845924 0.589708797 0.799913914
##  [505] 0.097579898 0.745062760 0.474971364 0.741071007 0.839713956 0.176089985
##  [511] 0.157224397 0.197913438 0.226330860 0.451127320 0.959421887 0.380681999
##  [517] 0.117495504 0.180848074 0.338350024 0.329158308 0.058228483 0.036738474
##  [523] 0.389556920 0.945514445 0.279163946 0.283739268 0.745475496 0.015059696
##  [529] 0.261895521 0.570171285 0.294935957 0.963317566 0.829329824 0.723717836
##  [535] 0.457957857 0.223546208 0.354176394 0.288958525 0.430055615 0.260022928
##  [541] 0.608911563 0.234975203 0.593412705 0.504829429 0.980380614 0.831797779
##  [547] 0.098514921 0.169682304 0.716064381 0.817178198 0.962900974 0.636466431
##  [553] 0.584313213 0.977037362 0.811838655 0.588685742 0.183536334 0.477115994
##  [559] 0.478168835 0.516750728 0.087429582 0.725148573 0.624465680 0.111300903
##  [565] 0.918600450 0.707329456 0.112904819 0.230896503 0.419121402 0.007355710
##  [571] 0.060277139 0.146877102 0.697788187 0.786120305 0.337666423 0.233596452
##  [577] 0.043683515 0.183735601 0.993488921 0.600052539 0.690769868 0.202007335
##  [583] 0.250197557 0.226672129 0.187544458 0.115156938 0.041692239 0.964778396
##  [589] 0.727260691 0.381266551 0.191801985 0.967899078 0.765878773 0.273147335
##  [595] 0.487741644 0.224614233 0.453341919 0.308915472 0.539122371 0.066551879
##  [601] 0.249248277 0.047849421 0.480361487 0.146580632 0.287494295 0.388425821
##  [607] 0.991783519 0.517482704 0.464194431 0.148616886 0.205638512 0.897763023
##  [613] 0.387070801 0.298595831 0.552222652 0.213391709 0.144098785 0.899373630
##  [619] 0.768397939 0.537192357 0.626535821 0.200359750 0.363552248 0.745217634
##  [625] 0.900346017 0.269215459 0.155174963 0.193659793 0.305003215 0.760561115
##  [631] 0.433618240 0.561771848 0.381071529 0.309692743 0.978641702 0.794670156
##  [637] 0.816180754 0.367068900 0.553863670 0.095465433 0.420236320 0.031776777
##  [643] 0.209880275 0.550602012 0.740252528 0.167775563 0.368186941 0.778173526
##  [649] 0.041663178 0.707119256 0.603308696 0.385133817 0.179650566 0.338011567
##  [655] 0.284825876 0.077645206 0.193294318 0.285405942 0.795454376 0.762324813
##  [661] 0.211817081 0.094137460 0.835425663 0.504422369 0.996533815 0.285248506
##  [667] 0.446151922 0.641389915 0.457778811 0.226670153 0.089463881 0.385751832
##  [673] 0.671161193 0.238483034 0.831753520 0.037347161 0.404608676 0.487851708
##  [679] 0.533056295 0.971358297 0.358778860 0.719296729 0.630757472 0.934176400
##  [685] 0.604729982 0.689226571 0.998706206 0.593340403 0.365148631 0.422050627
##  [691] 0.856008652 0.802360088 0.232791353 0.547266124 0.522547254 0.978083874
##  [697] 0.680046814 0.365007143 0.354706248 0.285933800 0.583229262 0.142737696
##  [703] 0.901406659 0.205281045 0.051885583 0.965335327 0.216656059 0.314928788
##  [709] 0.695294049 0.323206718 0.888316947 0.221770811 0.619858532 0.029389213
##  [715] 0.583280743 0.778404063 0.680417278 0.075875743 0.028432790 0.685524173
##  [721] 0.892216526 0.947363833 0.652100972 0.938373667 0.487555454 0.028431833
##  [727] 0.052745094 0.803746426 0.674101175 0.412795853 0.244831991 0.523572512
##  [733] 0.920055592 0.690995985 0.044439327 0.672292780 0.576225082 0.691330376
##  [739] 0.241041351 0.076061883 0.209385333 0.336467491 0.261672155 0.549042250
##  [745] 0.958836893 0.062516009 0.011895796 0.176030960 0.053429622 0.724240018
##  [751] 0.743360394 0.976612319 0.816705402 0.257548373 0.774758038 0.251072323
##  [757] 0.410285443 0.235544262 0.243224235 0.689799303 0.693798866 0.108965332
##  [763] 0.731130049 0.332675448 0.047769209 0.351264369 0.368339577 0.879955414
##  [769] 0.693985692 0.090275428 0.044811409 0.595566809 0.418033353 0.131588286
##  [775] 0.345095081 0.024986028 0.117294653 0.562088297 0.674569138 0.671848764
##  [781] 0.582225329 0.686953854 0.113115972 0.370606778 0.778582606 0.928774181
##  [787] 0.274577211 0.208900323 0.059265092 0.404403529 0.159706700 0.848057668
##  [793] 0.862858198 0.736808290 0.820466114 0.810490418 0.219746585 0.504215653
##  [799] 0.317095677 0.073028705 0.129090026 0.243355862 0.334021498 0.284598551
##  [805] 0.200570940 0.178941309 0.273924429 0.828640277 0.219497694 0.485102583
##  [811] 0.186064548 0.538692169 0.485748083 0.783887539 0.380496106 0.502846988
##  [817] 0.001296962 0.428922080 0.022293869 0.468521739 0.481507108 0.585031639
##  [823] 0.359596681 0.076353459 0.422687999 0.313789707 0.064953325 0.219410739
##  [829] 0.186187605 0.958292271 0.194149431 0.549257066 0.709510115 0.736756560
##  [835] 0.425346648 0.213407594 0.372535012 0.169061953 0.295655065 0.168155713
##  [841] 0.355140987 0.552336170 0.765100773 0.604607831 0.886031838 0.783895554
##  [847] 0.881823772 0.343042344 0.748950389 0.665171093 0.880103046 0.230442706
##  [853] 0.574768017 0.413251807 0.691132707 0.955206723 0.025730323 0.832721444
##  [859] 0.663026524 0.111268727 0.879697564 0.124415321 0.074056130 0.872401548
##  [865] 0.356902308 0.302648950 0.271661313 0.268132571 0.625467084 0.660818976
##  [871] 0.864300754 0.152447568 0.342357839 0.989406576 0.992040043 0.753888255
##  [877] 0.876751503 0.627067150 0.632465192 0.060359554 0.675868776 0.008465241
##  [883] 0.376743562 0.304173969 0.919891789 0.263038729 0.340803967 0.127819607
##  [889] 0.464897597 0.393787646 0.627362390 0.051398529 0.882011007 0.156798806
##  [895] 0.399165165 0.051408559 0.811772765 0.572651731 0.312576235 0.777207138
##  [901] 0.233497776 0.619481664 0.117366426 0.131746569 0.295308399 0.782484086
##  [907] 0.547501448 0.165919199 0.906277980 0.654630895 0.925501112 0.277019541
##  [913] 0.598329749 0.236685807 0.792664795 0.992570110 0.231289188 0.752520403
##  [919] 0.601855692 0.648989530 0.196868257 0.547494795 0.585369223 0.684783146
##  [925] 0.239097017 0.611762676 0.761416216 0.277628395 0.327303294 0.687681226
##  [931] 0.367569202 0.008997192 0.697503388 0.032729117 0.539313192 0.381379283
##  [937] 0.771466651 0.421717234 0.390295038 0.519312088 0.705081302 0.456792172
##  [943] 0.464803435 0.965527930 0.227906953 0.873800255 0.059370674 0.650921306
##  [949] 0.860586143 0.437771027 0.009614646 0.302243152 0.581723770 0.376208710
##  [955] 0.777787578 0.121342294 0.016790444 0.432113756 0.698878845 0.439663402
##  [961] 0.481486590 0.485067643 0.125180761 0.263289118 0.735436206 0.041427899
##  [967] 0.233774898 0.110224787 0.349593817 0.114379097 0.250882768 0.296273240
##  [973] 0.816042613 0.918389915 0.812417928 0.862844728 0.651834546 0.880179007
##  [979] 0.176830515 0.883565239 0.772117733 0.504648566 0.689637872 0.659070292
##  [985] 0.491251313 0.240787322 0.721741343 0.720009986 0.775322587 0.357831365
##  [991] 0.310643811 0.731149515 0.231682971 0.190155928 0.499592916 0.884346952
##  [997] 0.789828319 0.680114039 0.866351627 0.482601980

y <- 2*x+3
y

##    [1] 4.595651 4.168212 3.865580 3.368448 3.685894 3.168929 4.232466 3.471525
##    [9] 3.816635 4.432023 3.654097 3.025882 4.017800 3.645034 4.035468 4.220792
##   [17] 4.369285 4.777494 4.474976 4.379829 3.045420 3.458973 3.489782 4.082726
##   [25] 3.896056 4.563540 3.730657 3.726081 3.958200 3.236057 4.076578 3.582958
##   [33] 4.210074 3.726026 4.420964 3.973593 4.783335 3.698059 4.224458 3.630964
##   [41] 3.646383 3.750261 4.467030 3.371470 3.469069 4.693028 4.894643 4.280374
##   [49] 3.537450 4.790113 4.299423 4.519895 4.965529 3.051509 3.303683 3.906797
##   [57] 3.375193 4.141702 4.796323 3.377092 3.108475 3.419335 4.738254 4.080452
##   [65] 4.969106 4.856840 4.331528 3.915997 4.770318 3.073207 4.697783 4.413223
##   [73] 4.486807 4.246549 4.955789 4.387593 4.726321 3.386577 4.532412 4.993235
##   [81] 3.161616 3.375557 3.197817 4.397423 3.332837 3.218048 3.082443 4.578633
##   [89] 4.594420 4.758882 3.447881 4.580076 4.968844 3.084786 3.672106 3.884082
##   [97] 3.995492 3.071297 4.311110 3.813428 3.714606 3.236832 3.667819 3.942326
##  [105] 4.193309 4.102471 4.973566 4.951496 4.246684 3.942961 3.572900 4.492391
##  [113] 3.137360 3.982451 4.322077 3.751640 3.597455 4.001769 3.725986 4.395659
##  [121] 4.534990 4.707527 3.577784 4.937220 3.147125 3.566941 3.292801 3.264311
##  [129] 3.494709 3.345439 3.539915 3.026146 4.941346 4.853478 3.884387 3.050453
##  [137] 3.522547 3.310321 3.680943 4.031377 4.268245 4.580220 3.257111 3.599641
##  [145] 4.052678 4.027126 4.030312 4.403521 4.642983 4.886053 4.967236 3.922478
##  [153] 3.548622 3.377231 4.786665 4.642731 3.936669 4.018760 4.762696 3.363010
##  [161] 4.971195 4.327953 4.315386 3.614140 3.460296 3.062097 3.050408 3.744086
##  [169] 3.051171 4.354773 3.346706 3.725468 4.769000 4.526478 3.532470 3.834602
##  [177] 3.894296 4.798221 3.986260 3.234679 3.645782 3.086577 4.859232 3.050443
##  [185] 4.969942 3.187620 3.002687 4.369433 3.076397 4.112787 3.715231 3.806230
##  [193] 4.291993 3.315377 3.217174 4.120446 4.365137 3.564720 4.782446 3.341252
##  [201] 3.553095 4.455447 4.548107 3.554820 4.459492 4.290764 3.819135 3.092542
##  [209] 3.480910 3.737291 4.781122 3.456868 4.871115 4.384660 4.821405 3.713408
##  [217] 3.901560 3.308500 4.649646 4.521387 4.015555 4.857621 4.593943 4.782217
##  [225] 3.760751 3.087453 3.952728 4.439325 4.686256 4.284194 3.168267 4.869526
##  [233] 3.315281 4.150718 3.981427 4.437502 4.878076 4.042365 3.447635 4.644413
##  [241] 4.685966 4.115470 4.216081 3.375351 3.935933 4.295949 3.366233 3.346195
##  [249] 4.363890 3.628338 4.835012 3.815494 4.027718 4.390839 3.196155 4.508844
##  [257] 4.755563 3.952660 3.127663 3.486304 3.011791 4.950004 3.479238 4.126829
##  [265] 3.773781 3.515035 3.663339 3.868293 3.731539 4.564783 3.968643 4.505326
##  [273] 4.624903 3.351114 3.718886 3.149059 3.466030 3.876820 4.920182 3.604485
##  [281] 3.931436 3.851931 4.731431 4.749438 3.984699 3.443737 3.135317 4.509235
##  [289] 4.993079 3.632973 3.457061 4.919519 4.713212 4.893936 3.974407 3.498106
##  [297] 3.589225 3.288184 3.054149 4.625688 4.686465 3.231876 3.780065 4.845464
##  [305] 3.211458 3.840869 4.788149 4.815876 3.847575 4.974608 4.638219 4.271901
##  [313] 3.030907 4.954875 4.802814 3.227271 3.668571 3.904605 3.798721 4.781529
##  [321] 4.815544 3.656805 4.598357 4.052858 3.142921 3.067473 3.537728 4.267681
##  [329] 4.084502 4.700150 3.065181 4.197046 3.106003 4.154466 4.180102 4.051311
##  [337] 4.643063 3.554346 3.740491 4.782274 4.801987 4.384187 4.045663 3.493019
##  [345] 3.027529 3.214891 3.601037 3.660628 4.720207 4.644854 3.807896 4.375866
##  [353] 3.363114 3.900362 3.385230 4.943052 4.615413 4.420358 3.496498 4.019566
##  [361] 4.137517 3.663136 3.873324 3.399394 4.572513 4.569445 4.909801 4.239187
##  [369] 4.785013 3.465037 4.023484 4.060217 4.902524 4.148773 4.742039 4.878590
##  [377] 3.160793 4.536739 4.124574 3.323276 4.614337 3.178618 3.973487 4.737529
##  [385] 4.659949 4.963217 4.741565 3.446988 4.306195 3.833228 4.293684 3.338345
##  [393] 3.801240 3.163310 4.385805 4.209765 3.183583 4.442544 3.905830 4.058087
##  [401] 3.526571 3.962961 4.502033 3.884139 3.765793 4.085434 4.469945 3.784377
##  [409] 4.906737 3.246651 3.016395 3.021085 3.177066 4.960241 4.770640 3.963674
##  [417] 4.804280 4.375579 3.952479 4.962703 3.493305 4.968655 3.146102 3.376815
##  [425] 4.804378 3.767460 4.760473 3.138694 4.612437 4.526004 3.021634 3.744841
##  [433] 3.163980 3.631048 3.165785 3.683686 3.283250 3.737113 3.346487 4.695052
##  [441] 3.557584 3.530328 4.699201 4.113038 4.353739 4.803387 3.232695 4.243600
##  [449] 4.571575 4.263495 3.076344 3.388704 3.556719 3.713973 3.199713 3.681986
##  [457] 3.754938 3.085458 3.484692 4.643762 3.008197 4.676406 4.590641 3.282191
##  [465] 4.241101 3.690541 3.953717 4.524971 4.645850 3.423704 3.826890 4.164745
##  [473] 4.679355 4.809141 3.054438 3.643403 3.292472 3.574535 4.626748 3.457478
##  [481] 4.999602 4.428614 4.541616 4.046089 3.835642 4.207878 4.142799 3.668253
##  [489] 4.846237 3.173952 3.657645 3.948126 4.286523 3.747317 4.513459 4.484815
##  [497] 4.649410 4.672014 4.864272 4.989662 4.753757 3.485692 4.179418 4.599828
##  [505] 3.195160 4.490126 3.949943 4.482142 4.679428 3.352180 3.314449 3.395827
##  [513] 3.452662 3.902255 4.918844 3.761364 3.234991 3.361696 3.676700 3.658317
##  [521] 3.116457 3.073477 3.779114 4.891029 3.558328 3.567479 4.490951 3.030119
##  [529] 3.523791 4.140343 3.589872 4.926635 4.658660 4.447436 3.915916 3.447092
##  [537] 3.708353 3.577917 3.860111 3.520046 4.217823 3.469950 4.186825 4.009659
##  [545] 4.960761 4.663596 3.197030 3.339365 4.432129 4.634356 4.925802 4.272933
##  [553] 4.168626 4.954075 4.623677 4.177371 3.367073 3.954232 3.956338 4.033501
##  [561] 3.174859 4.450297 4.248931 3.222602 4.837201 4.414659 3.225810 3.461793
##  [569] 3.838243 3.014711 3.120554 3.293754 4.395576 4.572241 3.675333 3.467193
##  [577] 3.087367 3.367471 4.986978 4.200105 4.381540 3.404015 3.500395 3.453344
##  [585] 3.375089 3.230314 3.083384 4.929557 4.454521 3.762533 3.383604 4.935798
##  [593] 4.531758 3.546295 3.975483 3.449228 3.906684 3.617831 4.078245 3.133104
##  [601] 3.498497 3.095699 3.960723 3.293161 3.574989 3.776852 4.983567 4.034965
##  [609] 3.928389 3.297234 3.411277 4.795526 3.774142 3.597192 4.104445 3.426783
##  [617] 3.288198 4.798747 4.536796 4.074385 4.253072 3.400720 3.727104 4.490435
##  [625] 4.800692 3.538431 3.310350 3.387320 3.610006 4.521122 3.867236 4.123544
##  [633] 3.762143 3.619385 4.957283 4.589340 4.632362 3.734138 4.107727 3.190931
##  [641] 3.840473 3.063554 3.419761 4.101204 4.480505 3.335551 3.736374 4.556347
##  [649] 3.083326 4.414239 4.206617 3.770268 3.359301 3.676023 3.569652 3.155290
##  [657] 3.386589 3.570812 4.590909 4.524650 3.423634 3.188275 4.670851 4.008845
##  [665] 4.993068 3.570497 3.892304 4.282780 3.915558 3.453340 3.178928 3.771504
##  [673] 4.342322 3.476966 4.663507 3.074694 3.809217 3.975703 4.066113 4.942717
##  [681] 3.717558 4.438593 4.261515 4.868353 4.209460 4.378453 4.997412 4.186681
##  [689] 3.730297 3.844101 4.712017 4.604720 3.465583 4.094532 4.045095 4.956168
##  [697] 4.360094 3.730014 3.709412 3.571868 4.166459 3.285475 4.802813 3.410562
##  [705] 3.103771 4.930671 3.433312 3.629858 4.390588 3.646413 4.776634 3.443542
##  [713] 4.239717 3.058778 4.166561 4.556808 4.360835 3.151751 3.056866 4.371048
##  [721] 4.784433 4.894728 4.304202 4.876747 3.975111 3.056864 3.105490 4.607493
##  [729] 4.348202 3.825592 3.489664 4.047145 4.840111 4.381992 3.088879 4.344586
##  [737] 4.152450 4.382661 3.482083 3.152124 3.418771 3.672935 3.523344 4.098084
##  [745] 4.917674 3.125032 3.023792 3.352062 3.106859 4.448480 4.486721 4.953225
##  [753] 4.633411 3.515097 4.549516 3.502145 3.820571 3.471089 3.486448 4.379599
##  [761] 4.387598 3.217931 4.462260 3.665351 3.095538 3.702529 3.736679 4.759911
##  [769] 4.387971 3.180551 3.089623 4.191134 3.836067 3.263177 3.690190 3.049972
##  [777] 3.234589 4.124177 4.349138 4.343698 4.164451 4.373908 3.226232 3.741214
##  [785] 4.557165 4.857548 3.549154 3.417801 3.118530 3.808807 3.319413 4.696115
##  [793] 4.725716 4.473617 4.640932 4.620981 3.439493 4.008431 3.634191 3.146057
##  [801] 3.258180 3.486712 3.668043 3.569197 3.401142 3.357883 3.547849 4.657281
##  [809] 3.438995 3.970205 3.372129 4.077384 3.971496 4.567775 3.760992 4.005694
##  [817] 3.002594 3.857844 3.044588 3.937043 3.963014 4.170063 3.719193 3.152707
##  [825] 3.845376 3.627579 3.129907 3.438821 3.372375 4.916585 3.388299 4.098514
##  [833] 4.419020 4.473513 3.850693 3.426815 3.745070 3.338124 3.591310 3.336311
##  [841] 3.710282 4.104672 4.530202 4.209216 4.772064 4.567791 4.763648 3.686085
##  [849] 4.497901 4.330342 4.760206 3.460885 4.149536 3.826504 4.382265 4.910413
##  [857] 3.051461 4.665443 4.326053 3.222537 4.759395 3.248831 3.148112 4.744803
##  [865] 3.713805 3.605298 3.543323 3.536265 4.250934 4.321638 4.728602 3.304895
##  [873] 3.684716 4.978813 4.984080 4.507777 4.753503 4.254134 4.264930 3.120719
##  [881] 4.351738 3.016930 3.753487 3.608348 4.839784 3.526077 3.681608 3.255639
##  [889] 3.929795 3.787575 4.254725 3.102797 4.764022 3.313598 3.798330 3.102817
##  [897] 4.623546 4.145303 3.625152 4.554414 3.466996 4.238963 3.234733 3.263493
##  [905] 3.590617 4.564968 4.095003 3.331838 4.812556 4.309262 4.851002 3.554039
##  [913] 4.196659 3.473372 4.585330 4.985140 3.462578 4.505041 4.203711 4.297979
##  [921] 3.393737 4.094990 4.170738 4.369566 3.478194 4.223525 4.522832 3.555257
##  [929] 3.654607 4.375362 3.735138 3.017994 4.395007 3.065458 4.078626 3.762759
##  [937] 4.542933 3.843434 3.780590 4.038624 4.410163 3.913584 3.929607 4.931056
##  [945] 3.455814 4.747601 3.118741 4.301843 4.721172 3.875542 3.019229 3.604486
##  [953] 4.163448 3.752417 4.555575 3.242685 3.033581 3.864228 4.397758 3.879327
##  [961] 3.962973 3.970135 3.250362 3.526578 4.470872 3.082856 3.467550 3.220450
##  [969] 3.699188 3.228758 3.501766 3.592546 4.632085 4.836780 4.624836 4.725689
##  [977] 4.303669 4.760358 3.353661 4.767130 4.544235 4.009297 4.379276 4.318141
##  [985] 3.982503 3.481575 4.443483 4.440020 4.550645 3.715663 3.621288 4.462299
##  [993] 3.463366 3.380312 3.999186 4.768694 4.579657 4.360228 4.732703 3.965204

3.5 Analisis Regresi

Secara umum yang dipelajari dalam statistika, regresi terbagi dua yaitu regrsi linear dan regresi logistik. Regresi linier merupakan model sederhana yang cukup sederhana dimana kita berusaha membentuk model dengan pendekatan garis linier dengan prinsip meminimalkan jumlah kuadrat residual pada data. Model yang tebentuk akan menghasilkan dua buah nilai yaitu nilai konstanta (titik potong sumbu y) dan nilai slope kurva. Pembentukan model linier pada R dilakukan dengan menggunakan fungsi lm(). Model yang terbentuk secara umum haruslah memenuhi asumsi dasar model linier berikut:

Asumsi liniearitas: kurva relasi yang terbentuk antara variabel independen terhadap variabel dependen harus linier.
Error atau residu berdristribusi normal: normalitas error di cek menggunakan qq-plot atau uji normalitas
Outlier dan high influence point: kedua pengamatan tersebut dideteksi melalui qq-plot, plot residual terhadap nilai fitted value, dan plot residuals vs leverage.
Error bersifat independen: independensi residual dapat dideteksi melaui plot korelasi serial.
Varians bersifat konstan: Varians bersifat konstan dicek melalui plot square root standardize residual vs fitted value.
multikolinearitas: tidak ada variabel dependen yang saling berfkorelasi. Multikolinearitas dapat dideteksi melalui plot matriks korelasi.
Contoh ilustrasi:

set.seed(12)
(X1 <-runif(25,10,25))

##  [1] 11.04041 22.26663 24.13933 14.04073 12.54022 10.50843 12.68178 19.62498
##  [9] 10.34317 10.12487 15.89046 22.20821 15.64373 15.71218 13.97378 16.59001
## [17] 16.86411 18.11061 19.98520 11.69048 13.27551 21.81755 11.46780 20.64746
## [25] 13.26735

(X2 <-runif(25,90,200))

##  [1] 119.47380 145.52447 110.74456 138.33723 163.68012 116.49716 188.25914
##  [8] 187.10320 179.54696 159.65911 193.51963 166.33026 182.80725 132.31089
## [15] 133.02429 154.73300 148.35253 197.53995 111.74146 182.86486 100.45307
## [22] 131.92661  95.04725 106.78862 175.21900

(Y <-10 + 2.3*X1 + 0.7*X2 + rnorm(25,0,9))

##  [1] 116.6181 161.2884 144.2217 140.4419 156.6772 121.7832 189.5978 181.2404
##  [9] 149.8377 141.6965 177.6455 179.9831 169.6300 145.9386 126.2166 157.4150
## [17] 142.2303 195.1356 119.8243 162.1170 114.8960 143.7355 104.6190 138.8243
## [25] 158.7348

(model1 <-lm(Y~X1))

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)           X1  
##     124.318        1.603

summary(model1)

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -38.084 -18.797   1.146  19.057  44.948 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  124.318     18.562   6.698 7.84e-07 ***
## X1             1.603      1.137   1.410    0.172    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 23.83 on 23 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.07957,    Adjusted R-squared:  0.03956 
## F-statistic: 1.988 on 1 and 23 DF,  p-value: 0.1719

(model2 <-lm(Y~X2))

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X2)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)           X2  
##     49.9304       0.6696

summary(model2)

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X2)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -20.326  -8.531  -2.303   7.406  20.131 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 49.93042   11.27873   4.427 0.000194 ***
## X2           0.66965    0.07413   9.033 5.02e-09 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 11.65 on 23 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7801, Adjusted R-squared:  0.7705 
## F-statistic: 81.59 on 1 and 23 DF,  p-value: 5.024e-09

(model3 <-lm(Y~X1+X2))

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1 + X2)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)           X1           X2  
##     12.6270       2.1079       0.6968

summary(model3)

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1 + X2)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -12.7932  -3.5261   0.3212   4.2879  19.0565 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 12.62704    9.45481   1.336    0.195    
## X1           2.10792    0.35206   5.987 5.02e-06 ***
## X2           0.69682    0.04696  14.837 6.12e-13 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7.344 on 22 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9164, Adjusted R-squared:  0.9088 
## F-statistic: 120.5 on 2 and 22 DF,  p-value: 1.399e-12

(model4 <-lm(Y~X1:X2))

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1:X2)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)        X1:X2  
##    87.88570      0.02642

summary(model4)

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1:X2)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -27.07 -10.79   1.23   9.42  38.62 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 87.885703   9.620969   9.135 4.10e-09 ***
## X1:X2        0.026425   0.003929   6.725 7.35e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 14.42 on 23 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6629, Adjusted R-squared:  0.6482 
## F-statistic: 45.23 on 1 and 23 DF,  p-value: 7.351e-07

(model5 <-lm(Y~X1*X2))

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1 * X2)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)           X1           X2        X1:X2  
##   24.109084     1.368824     0.614970     0.005292

summary(model5)

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1 * X2)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -12.1776  -3.5927   0.0577   3.8811  19.7203 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept) 24.109084  28.219096   0.854   0.4026   
## X1           1.368824   1.744599   0.785   0.4414   
## X2           0.614970   0.195028   3.153   0.0048 **
## X1:X2        0.005292   0.012226   0.433   0.6695   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7.484 on 21 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9171, Adjusted R-squared:  0.9053 
## F-statistic: 77.45 on 3 and 21 DF,  p-value: 1.604e-11

R2 <-matrix(c(summary(model1)$r.squared,summary(model1)$adj.r.squared,summary(model2)$r.squared,summary(model2)$adj.r.squared,summary(model3)$r.squared,summary(model3)$adj.r.squared,summary(model4)$r.squared,summary(model4)$adj.r.squared,summary(model5)$r.squared,summary(model5)$adj.r.squared),5,byrow=T)
colnames(R2)<-c("R2","R2.adj"); R2*100

##             R2    R2.adj
## [1,]  7.957371  3.955518
## [2,] 78.010244 77.054168
## [3,] 91.637302 90.877057
## [4,] 66.290479 64.824847
## [5,] 91.711271 90.527166

Plot asumsi model 13

coef(model3)

## (Intercept)          X1          X2 
##  12.6270402   2.1079222   0.6968167

confint(model3)

##                  2.5 %     97.5 %
## (Intercept) -6.9810389 32.2351193
## X1           1.3777967  2.8380478
## X2           0.5994182  0.7942151

cbind(coef(model3),confint(model3))

##                             2.5 %     97.5 %
## (Intercept) 12.6270402 -6.9810389 32.2351193
## X1           2.1079222  1.3777967  2.8380478
## X2           0.6968167  0.5994182  0.7942151

anova(model3)

par(mfrow=c(1,1)); plot(model3)

Laporan Praktikum 04-05

Arifuddin R

6/10/2020