1 Príklady na riešenie

1.1

Majme náhodnú premennú X, ktorá predstavuje počet kusov v sérii 500 novovyrobených televízorov. Vieme, že kazovosť prevádzky je 8 kusov na 1000 výrobkov. Aká je pravdepodobnosť´, že v spomenutej sérii sa vyskytnú: a) najviac 2, b) práve 3, c) aspoň 4 poruchové televízory?

a)najviac 2

pbinom(2, size = 500,prob = 0.008) 
## [1] 0.2369272
plot(0:500, pbinom(2, size = 0:500,prob = 0.008) , type="s", col="blue", xlab = "novovyrobené televízory", ylab = "pravdepodobnosť" )

b)práve 3

dbinom(3, size = 500, prob = 0.008)
## [1] 0.1957581
plot(0:500, dbinom(3, size = 0:500,prob = 0.008), type="h", col="red", xlab = "novovyrobené televízory", ylab = "pravdepodobnosť")

c)aspoň 4

pbinom(4, size = 500, prob = 0.008,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.371162
plot(0:500, pbinom(4, size = 0:500,prob = 0.008,lower.tail = FALSE), type="s", col="green", xlab = "novovyrobené televízory", ylab = "pravdepodobnosť")

1.2

Náhodná premenná X, ktorou je % chybných tehiel má rozdelenie pravdepodobnosti so strednou hodnotou μ = 19 a disperziou σ^2 = 9, teda X ~ N(19, 9). a) Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že v dodávke tehiel ich bude viac ako 15% a menej ako 25% chybných. b) Za aké najnižšie percento chybných tehiel sa môžeme zaručiť s pravdepodobnosťou 0.95? a)ypočítajte pravdepodobnosť toho, že v dodávke tehiel ich bude viac ako 15% a menej ako 25% chybných.

#(pnorm(25,mean=19,sd=9,lower.tail = TRUE) - pnorm(15,mean=19,sd=9,lower.tail = TRUE))
par(mfrow=c(1,2))

pnorm(15:25,mean=19,sd=9,lower.tail = TRUE)
##  [1] 0.3283606 0.3694413 0.4120704 0.4557641 0.5000000 0.5442359 0.5879296
##  [8] 0.6305587 0.6716394 0.7107426 0.7475075
plot(0:100,pnorm(0:100,mean=19,sd=9,lower.tail = TRUE), type="s", col="purple", xlab="percento", ylab = "pravdepodobnost")
abline(v=15, lty=2);abline(v=25, lty=2)

plot(15:25,pnorm(15:25,mean=19,sd=9,lower.tail = TRUE), type="s", col="purple", xlab="percento", ylab = "pravdepodobnost")

b)Za aké najnižšie percento chybných tehiel sa môžeme zaručiť s pravdepodobnosťou 0.95

qnorm(0.95,mean=19,sd=9,lower.tail = TRUE)
## [1] 33.80368
quantiles <- seq(0, 0.95, by = .001)
plot(quantiles,qnorm(quantiles,mean=19,sd=9,lower.tail = TRUE), type="s", col="orange",xlab="pravdepodobnost", ylab = "percento chybných tehál")

1.3

Šachový šampión Gary Kasparov vyhráva v priemere 99 turnajov zo 100. Aká je pravdepodobnosť, že prehrá, ak hrá simultánnu hru s 50 hráčmi, 10krát, 5krát, ani raz? prehrá 10krát

dbinom(10, size = 50, prob = 0.099)
## [1] 0.01435524
plot(0:50,dbinom(0:50, size = 50, prob = 0.099), type="s", col="orange",xlab="pocet hier", ylab = "pravdepodobnost prehry")

prehrá 5krát

dbinom(5, size = 50, prob = 0.099)
## [1] 0.1848729

ani raz neprehrá

dbinom(0, size = 50, prob = 0.099)
## [1] 0.005448031

1.4

Automobilová firma vyrobila za mesiac 200 automobilov, z toho 10 s drobnou chybou interiéru vozidla. Firma chce kúpiť 5 automobilov tejto značky. Aká je pravdepodobnosť, že: kúpime všetky autá bez chyby, najviac tri autá budú chybné? Aká je pravdepodobnosť, že: kúpime všetky autá bez chyby

dhyper(0,190,10,5)
## [1] 9.93828e-08
plot(0:5,dhyper(0:5,190,10,5), type="s", col="purple", xlab = "počet vybraných automobilov", ylab = "pravdepodobnost automobilu bez chyby")

Aká je pravdepodobnosť,že najviac tri autá budú chybné

phyper(3,190,10,5, lower.tail =TRUE, log.p = FALSE)
## [1] 0.02083405
plot(0:5,phyper(0:5,190,10,5, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE), type="s", col="purple", xlab = "počet vybraných automobilov s chybou ", ylab = "pravdepodobnost automobilu bez chyby")

1.5

Do reštaurácie príde v priemere 20 ľudí za hodinu, aká je pravdepodobnosť, že v priebehu 15 minút príde jeden človek, že v priebehu 5 minút nikto nepríde, v priebehu 10 minút príde aspoň 10 ľudí za 15 minút príde jeden človek

dpois(1,sum(40/6),log=FALSE)
## [1] 0.008484225
plot(0:15,dpois(0:15,sum(40/6),log=FALSE), type="s", col="purple", xlab = "počet minút", ylab = "pravdepodobnost")

v priebehu 5 minút nikto nepríde

dpois(0,sum(10/6),log=FALSE)
## [1] 0.1888756
plot(0:5,dpois(0:5,sum(10/6),log=FALSE), type="s", col="red", xlab = "počet minút", ylab = "pravdepodobnost")

v priebehu 10 minút príde aspoň 10 ľudí

ppois(10,sum(20/6), lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0006915215
plot(0:10,ppois(0:10,sum(10/6),log=FALSE), type="s", col="blue", xlab = "počet minút", ylab = "pravdepodobnost")

1.6

Úspešnosť zásahu basketbalistu je 70 %. a) Nájdite rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej X, ktorou je počet úspešných zásahov pri 15 násobnom opakovaní pokusu. Vypočítajte strednú hodnotu a disperziu. b) S akou pravdepodobnosťou sa basketbalista trafí aspoň 11-krát? c) Koľkokrát musí trafiť, aby dosiahol 80 % úspešnosť? d) Nech pri tom istom basketbalistovi je náhodná premenná Y daná súčtom bodov, ktoré získa počas 15 hodov, ak za kôš získa 10 a za minutie koša stratí 5 bodov. Nájdite jej strednú hodnotu.

P<-dbinom(15, size=11, prob=0.7,log = FALSE)
E <-sum(P*(0:15))#stredna hodnota
D<-sum(P*(0:15-E)^2) #disperzia
plot(0:15,dbinom(0:15, size=11, prob=0.7,log = FALSE), type="s", col="red", xlab = "opakovania", ylab = "pravdepodobnost")

pbinom(11, size =15 ,prob = 0.7, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.2968679
plot(0:11,dbinom(0:11, size=11, prob=0.7,log = FALSE), type="s", col="blue", xlab = "opakovania", ylab = "pravdepodobnost")

qbinom(0.8,size = 15, prob = 0.7)
## [1] 12
#quantiles2 <- seq(0, 0.8, by = .0001)

1.7

V sociologickom prieskume určitej populácie sa ukázalo, že počet rokov vzdelania má normálne rozdelenie so strednou hodnotou 13,2 roka a štandardnou odchýlkou 1.5 roka. Ak náhodne vyberieme osobu z tejto skupiny, aká je pravdepodobnosť, že jej vzdelanie má dĺžku v rozpätí od 13 do 14 rokov? Ak náhodne vyberieme osobu z tejto skupiny, aká je pravdepodobnosť, že má aspoň 13 rokov vzdelania? Zamestnávateľ chce stanoviť požiadavku na minimálny počet rokov vzdelania tak, aby ho spĺňalo 5% ľudí. Aká má byť táto hranica?

#pnorm(14, mean = 13.2, sd = 1.5, lower.tail=TRUE)- pnorm(13, mean = 13.2, sd = 1.5, lower.tail=TRUE)
pnorm(13:14, mean = 13.2, sd = 1.5, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.4469649 0.7030986
quantiles3 <- seq(13, 14, by = .0001)
plot(quantiles3,pnorm(quantiles3, mean = 13.2, sd = 1.5, lower.tail=TRUE), type="h", col="orange", xlab = "roky", ylab = "pravdepodobnost")

pnorm(13, mean = 13.2, sd = 1.5, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.5530351
plot(0:13,pnorm(0:13, mean = 13.2, sd = 1.5, lower.tail=TRUE), type="s", col="green", xlab = "roky", ylab = "pravdepodobnost")

qnorm(.5, mean =13.2, sd =1.5, lower.tail=TRUE)
## [1] 13.2

1.8

Čas, po ktorý určitý stroj pracuje, predtým než sa pokazí (čas medzi poruchami) má exponenciálne rozdelenie s parametrom λ=2. Čas sa meria v hodinách. Aká je pravdepodobnosť, že stroj bude nepretržite pracovať aspoň jednu hodinu? Za aký bezporuchový čas sa možno zaručiť s pravdepodobnosťou 0.9? #’bude nepretržite pracovať aspoň jednu hodinu

pexp(1,rate = 2, lower.tail = FALSE, log.p = FALSE)
## [1] 0.1353353
plot(1:24,pexp(1:24,rate = 2, lower.tail = FALSE, log.p = FALSE), type="s", col="red", xlab = "hodiny", ylab = "pravdepodobnost")

Za aký bezporuchový čas sa možno zaručiť s pravdepodobnosťou 0.9

qexp(0.9, rate = 2, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
## [1] 1.151293

1.9

Príbalový leták vakcíny proti chrípke uvádza, že vo vzorke 100 000 ľudí, ktorí sa dajú zaočkovať, majú v priemere 2 ľudia alergické reakcie. Predpokladajme, že sa dalo zaočkovať 350 000 ľudí. Aká je pravdepodobnosť, že nikto nebude mať alergickú reakciu, práve 5 ľudí bude mať alergickú reakciu, aspoň 3 ľudia budú mať alergickú reakciu?

Aká je pravdepodobnosť, že nikto nebude mať alergickú reakciu

lambda <-sum((350000*2)/100000) #priemerny pocet vyskytov v nasom pozorovanom jave
dpois(0, lambda, log = FALSE)
## [1] 0.000911882
plot(0:100,dpois(0:100, lambda, log = FALSE), type="s", col="purple", xlab = "počet ľudí s alergicou reakciou", ylab = "pravdepodobnost")

práve 5 ľudí bude mať alergickú reakciu

dpois(5, lambda,log =  FALSE)
## [1] 0.1277167
plot(0:10,dpois(0:10, lambda, log = FALSE), type="s", col="green", xlab = "počet ľudí s alergicou reakciou", ylab = "pravdepodobnost");abline(v=5, lty=2)

aspoň 3 ľudia budú mať alergickú reakciu

ppois(3, lambda, lower.tail = FALSE, log.p = FALSE)
## [1] 0.9182346
plot(3:50,dpois(3:50, lambda, log = FALSE), type="s", col="red", xlab = "počet ľudí s alergicou reakciou", ylab = "pravdepodobnost")