Pertanyaan Soal 1

PT. Bekrey memproduksi dua jenis roti tawar dengan menggunakan dua jenis bahan mentah, yaitu terigu dan gula. Roti jenis I membutuhkan 3 ons terigu dan 2 ons gula untuk setiap roti, sedang roti jenis II membutuhkan 2 ons terigu dan 2 ons gula untuk setiap roti. Setiap hari perusahaan hanya mampu menyediakan 400 kg terigu dan 300 kg gula. Keuntungan yang diperoleh perusahaan untuk setiap roti masing-masing adalah Rp. 800,- dan Rp 600,-. Berapa jumlah roti jenis I dan II yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan maksimal ? Kerjakan dengan cara grafik.

Diketahui Soal 1

Objective Function:
Z= 800x + 600y

Constraint:
3x + 2y <= 4000
2x + 2y <= 3000

Jawaban dengan Metode Simplex melalui Linear Programming di R

library(lpSolve)
objective.function <- c(800,600)
constraints <- matrix(c(3,2,2,2),ncol=2,byrow = TRUE)
constraints.direction <-c("<=","<=")
rhs <- c(4000,3000)
result <- lp("max",objective.function,constraints, constraints.direction,rhs)
result$solution
## [1] 1000  500
result$objval
## [1] 1100000

Keuntungan Maksimal yang didapat adalah: Rp.1100000,-
dari produksi 1000 roti 1 dan 500 roti 2

Jawaban dengan Metode Graphics melalui Linear Programming di R

Constraint:
3x + 2y <= 4000
3x + 2(0) = 4000
3x = 4000 x = 4000/3 = 1333.33 Intercept Coordinates x (1333.33,0)

3x + 2y <=4000
3(0)+2y = 4000
y = 4000/2 =2000 Intercept Coordinates y (0,2000)

2x + 2y <= 3000 2x + 2(0) = 3000 x= 3000/2 = 1500 Intercept Coordinates x (1500,0)

2x + 2y <= 3000 2(0) + 2y = 3000 y= 1500 Intercept coordinates y (0,1500)

library(ggplot2)
plot_df <- as.data.frame(matrix(nrow=4,ncol=3))
colnames(plot_df) <- c("x","y","type")
plot_df$x <- c(1333.3,0,1500,0)
plot_df$y <- c(0,2000,0,1500)
plot_df$type <- c("line constraint","line constraint", "line constraint 2", "line constraint 2")
ggplot(plot_df) + geom_path(mapping = aes(x=x,y=y,color=type))

3 Titik untuk mencari Nilai terOptimal adalah titik:
- (0,1500)
- (1333.3,0) dan
- (1000,500)

Memasukkan ke persamaan Objective Function Z= 800x + 600y

  • Titik 1: 0 + 900000 = 9000
  • Titik 2: 1200000 + 0 = 1066664
  • Titik 3: 800000 + 300000 = 1100000

Sehingga yang paling Optimal adalah titik ke 3 Rp 1100000 dari produksi 1000 roti 1 dan 500 roti 2

Pertanyaan Soal 2

Sebuah perusahaan kimia memproduksi dan menjual 2 jenis larutan CSO1 (kalsium nitrat) dan CSO2 (kalsium karbonat) . Kedua jenis larutan ini diproses melalui 2 departemen yaitu Blanding (departemen1) dan Purification (departemen 2). Untuk memproduksi 1 galon CSO 1 di proses selama 2 jam di depart. Blanding dan 1 jam di depart Purification. Untuk memproduksi 1 galon CSO2 harus diproses melalui Departemen Blanding 1 jam kemudian departemen departemen Purification selama 2 jam. Pabrik beroperasi dalam 40 jam/minggu. Departemen 1 dengan mesin blanding dipekerjakan 5 orang karyawan full time serta 2 orang part time yang bekerja 15 jam/minggu. Departemen 2 dengan mesin purification dipekerjakan 6 orang karyawan full time serta 1 orang part time yang bekerja 10 jam/minggu. Perusahaan kimia tersebut hampir tidak mengalami kesulitan dalam penyediaan bahan baku . CSO1 dapat dijual pada jumlah berapapun. CSO2 terbatas sampai 120 galon. manajer keuangan memperkirakan bahwa profit margin dari CSO1 sebesar $ 0,3/galon , CSO2 sebesar $ 0,5 / galon. Pertanyaan: berapa kedua produk larutan CSO1 dan CSO2 harus diproduksi agar laba perusahaan dapat dimaksimumkan dengan metode grafik dan simplex?

Diketahui Soal 2

Objective Function:
Z= 0.3x + 0.5y

Constraint:
2x + y <= 90 jam
x + 2y <= 65 jam

objective.function2 <- c(0.3,0.5)
constraints2 <- matrix(c(2,1,1,2),ncol=2,nrow=2,byrow = "true")
constraints.direction2 <-c("<=","<=","<=","<=")
rhs2 <- c(90,65)
result2 <- lp("max",objective.function2,constraints2, constraints.direction2,rhs2)
## Warning in rbind(const.mat, const.dir.num, const.rhs): number of columns of
## result is not a multiple of vector length (arg 2)
result2$solution
## [1] 38.33333 13.33333
result2$objval
## [1] 18.16667

Keuntungan Maksimal yang didapat adalah:
Z= 0.3x + 0.5y
Z= 38.333(0.3) + 13.333 (0.5)
z = 18.166 Keuntungan yang di dapat $ 18

Pembulatan z = 0.3x + 0.5 y
z= 38(0.3) + 13(0.5)
z= 11.5 + 6.5 = 18

Keuntungan yang didapat dengan pembulatan $18 Dengan Produksi CSO1 sebanyak 38 galon dan CSO2 13 galon

Jawaban dengan Metode Graphics melalui Linear Programming di R

Constraint 2x + y <= 90
2x + 0 = 90
x = 45
coordinate intercepts (45,0)

0 + y = 90
coordinate intercepts (0,90)

x + 2y <= 65
x + 0 = 65
coordinate intercepts (65,0)

x + 2y <= 65
0 + 2y = 65
y = 32.5 coordinate intercepts (32.5,0)

library(ggplot2)
plot_df_3 <- as.data.frame(matrix(nrow=4,ncol=3))
colnames(plot_df) <- c("x","y","type")
plot_df_3$x <- c(45,0,65,0)
plot_df_3$y <- c(0,90,0,32.5)
plot_df_3$type <- c("line constraint","line constraint", "line constraint 2", "line constraint 2")
ggplot(plot_df_3) + geom_path(mapping = aes(x=x,y=y,color=type))

3 Titik untuk mencari Nilai terOptimal adalah titik:
- (45,0)
- (0,32.5) dan
- (38.333,13.333)

Memasukkan ke persamaan Objective Function Z= 0.3x + 0.5y

  • Titik 1: 0.3 (45) + 0 = 15
  • Titik 2: 0 + 0.5 (32.5) = 16.25
  • Titik 3: 0.3 (38.333) + 0.5 (13.333) = 18 (Pembulatan)

Sehingga yang paling Optimal adalah titik ke 3 $ 18
Dengan Produksi CSO1 sebanyak 38 galon dan CSO2 13 galon

Pertanyaan Soal 3

Sebuah perusahaan computer memproduksi 2 jenis komputer, yaitu Alfa dan Beta. waktu yang diperlukan untuk memproduksi satu unit Alfa adalah 5 jam untuk memproses, 4 jam untuk merakit dan 3 jam untuk membungkus. Sedangkan waktu yang digunakan untuk memproduksi satu unit Beta adalah 4 jam untuk memproses, 6 jam untuk merakit , dan 6 jam untuk membungkus. Jika waktu yang disediakan (kapasitas maksimum waktu) adalah 50 jam memproses, 45 jam merakit, dan 48 jam membungkus. Kontribusi laba untuk Alfa sebesar $ 27 per unit dan Beta sebesar $ 24 per unit. Buatlah perencanaan kombinasi kedua produk jenis komputer yang paling optimal agar keuntungan yang diperoleh perusahaan dapat maksimal ? (gunakan metode grafik atau simplek yang saudara kuasai) !

Diketahui Soal 3

Objective Function:
Z = 27x + 24 y

Constraint:
5x + 4y <=50
4x + 6y <=45
3x + 6y <=48

Jawaban dengan Metode Simplex melalui Linear Programming di R

objective.function3 <- c(27,24)
constraints3 <- matrix(c(5,4,4,6,3,6),ncol=2,nrow=3,byrow = "true")
constraints.direction3 <-c("<=","<=","<=")
rhs3 <- c(50,45,48)
result3 <- lp("max",objective.function3,constraints3, constraints.direction3,rhs3)
result3$solution
## [1] 8.571429 1.785714
result3$objval
## [1] 274.2857

Keuntungan Maksimal yang didapat adalah: $274,28
Produksi 8,5 komputer alfa 1 dan 1,78 komputer Beta
Pembulatan ke atas: 8 Alfa, 2 Beta ($264)
Pembulatan ke bawah: 9 alfa, 1 Beta ($267)

Jawaban dengan Metode Graphics melalui Linear Programming di R

Constraint:
5x + 4y <=50
5x + 0 = 50 x = 10 intercept coordinates (10,0)

0 + 4y = 50 y = 12.5 intercept coordinates (0,12.5)

4x + 6y <=45
4x + 0 = 45 x = 45/4 = 11.25 intercept coordinates (11.25,0)

0 +6y = 45 y = 45/6 = 7.5 intercept coordinates (0, 7.5)

3x + 6y <=48
3x + 0 = 48 x = 48/3 = 16 intercept coordinates (16, 0)

0 + 6y = 48 y = 48/6 = 13 intercept coordinates (0,13)

library(ggplot2)
plot_df2 <- as.data.frame(matrix(nrow=6,ncol=3))
colnames(plot_df2) <- c("x","y","type")
plot_df2$x <- c(10,0,11.25,0,16,0)
plot_df2$y <- c(0,12.5,0,7.5,0,13)
plot_df2$type <- c("line constraint","line constraint", "line constraint 2", "line constraint 2","line constraint 3", "line constraint 3" )
ggplot(plot_df2) + geom_path(mapping = aes(x=x,y=y,color=type))

3 Titik untuk mencari Nilai terOptimal adalah titik:
- (0,7.5)
- (10,0) dan
- (8.5,1.8)

Memasukkan ke persamaan Objective Function Z = 27x + 24 y

  • Titik 1: 0 + 7.5(24) = 180
  • Titik 2: 10(27) + 0 = 270
  • Titik 3: 8.5(27) + 1.8(24) = 229.5 + 43.2 = 272.7

Sehingga yang paling Optimal adalah titik ke 3 yaitu 272.7 Produksi 8,5 komputer alfa 1 dan 1,8 komputer Beta
Pembulatan ke atas: 8 Alfa, 2 Beta ($264)
Pembulatan ke bawah: 9 alfa, 1 Beta ($267)