Análisis de correspondencias

24/9/2020

Análisis de correspondencias

Es una técnica que trabaja con información organizada en tablas de contingencia.
Es una herramienta útil para el análisis de datos categóricos.
Trabaja con frecuencias absolutas y con frecuencias relativas.
Busca la mejor representación de datos organizados en filas y columnas.
Puede trabajar con tablas bidimensionales (Correspondencias simples) o con tablas con 3 o más entradas (Correspondencias múltiples).

Análisis de correspondencias simples

Obtiene dimensiones que explican la asociación entre filas (i) y columnas (j).
La asociación se explica a partir de una Chi-cuadrado (\(\chi ^2\)).
El número máximo de dimensiones es igual al número de categorias de la variable con menos categorias.
Describe la próximidad entre perfiles fila y perfiles columna.
La matriz de datos debe contar con entradas no negativas.
Se cuenta con una matriz de frecuencias absolutas y una matriz de frecuencias relativas.

Valores en la tabla de contingencia

Frecuencias absolutas

Individuos fila:

\(n_i= \sum_{j=1}^cn_{ij}\)

para \(j = 1, ..., n\)

Individuos columna:

\(n_j= \sum_{i=1}^fn_{ij}\)

para \(i = 1, ..., n\)

Total individuos:

\(N = \sum_{i=1}^f\sum_{j=1}^cn_{ij}\)

N\(=\sum_{j=1}^nn_{.j}=\sum_{i=1}^cn_{i.}\)

Ftecuencias relativas

Frecuencia relativa por celda: \(fr_{ij}=\frac{n_{ij}}{N}\)
Frecuencia relativa fila: \(fr_{i.}=\sum_{j=1}^cfr_{ij}=\frac{n_{i.}}{N}\)
Frecuencia relativa columna: \(fr_{.j}=\sum_{i=1}^ffr_{ij}=\frac{n_{.j}}{N}\)
Frecuencia rel condicional fila: \(fr_{j \mid i}=\frac{n_{ij}}{n_{i.}}=\frac{fr_{ij}}{fr_{i.}}\)
Frecuencia reñ condicional columna: \(fr_{i\mid j}=\frac{n_{ij}}{n_{.j}}=\frac{fr_{ij}}{fr_{.j}}\)

Aplicación - Introducción

Como parte de la Encuesta de Salud Bienestar y Envejecimiento - SABE realizada en Colombia en el año 2015 se recogio información sobre el área de residencia, el sexo, el estrato, si saben leer, si saben escribir, si trabajan, si logran usar sin ayuda la nevera, la lavadora y el horno microondas, y si presentaban deterioro cognitivo a una muestra probabilistica de 23542 adultos mayores del país, el objetivo del estudio era conocer el la relación que existia entre las diferentes variables recolectadas y el deterioro cognitivo.

summary(detcog[,-c(4,5)])

##      Area                Estrato          Sexo       Sabe_leer  Sabe_escribir
##  Urbano:17081   Estrato 1    :10240   Hombre:10053   Si:18470   Si:18211     
##  Rural : 6461   Estrato 2    : 8981   Mujer :13489   No: 5072   No: 5331     
##                 Estrato 3    : 3588                                          
##                 Estrato 4    :  568                                          
##                 Estrato 5 y 6:  165                                          
##  Sin_ayuda_nevera Sin_ayuda_lavadora Sin_ayuda_microondas Deterioro 
##  No: 3311         No:12063           No:18585             Si: 6111  
##  Si:20231         Si:11479           Si: 4957             No:17431  
##                                                                     
##                                                                     
##

Aplicación - Tablas de frecuencias absolutas

Dada la información recolectada se desea conocer la relación entre el deterioro cognitivo y si los adultos mayores usan la nevera sin ayuda, y entre el estrato y el deterior, para lo cual se construyen a continuación las tablas de frecuencias.

t1 <- table(detcog$Sin_ayuda_nevera,detcog$Deterioro);addmargins(t1)

##      
##          Si    No   Sum
##   No   1660  1651  3311
##   Si   4451 15780 20231
##   Sum  6111 17431 23542

t2 <- table(detcog$Estrato,detcog$Deterioro);addmargins(t2)

##                
##                    Si    No   Sum
##   Estrato 1      3223  7017 10240
##   Estrato 2      2119  6862  8981
##   Estrato 3       669  2919  3588
##   Estrato 4        84   484   568
##   Estrato 5 y 6    16   149   165
##   Sum            6111 17431 23542

Aplicación - Tablas de frecuencias relativas

A continuación se presentan las tablas de frecuencias relativas para el caso anterior.

addmargins(prop.table(t1*100))

##      
##               Si         No        Sum
##   No  0.07051228 0.07012998 0.14064226
##   Si  0.18906635 0.67029139 0.85935774
##   Sum 0.25957863 0.74042137 1.00000000

addmargins(prop.table(t2*100))

##                
##                           Si           No          Sum
##   Estrato 1     0.1369042562 0.2980630363 0.4349672925
##   Estrato 2     0.0900093450 0.2914790587 0.3814884037
##   Estrato 3     0.0284172967 0.1239911647 0.1524084615
##   Estrato 4     0.0035680911 0.0205590009 0.0241270920
##   Estrato 5 y 6 0.0006796364 0.0063291139 0.0070087503
##   Sum           0.2595786254 0.7404213746 1.0000000000

Aplicación - Perfiles fila

A continuación se obtienen las frecuencias relativas condicionadas por fila

addmargins(tcf1 <- prop.table(t1,1))

##      
##              Si        No       Sum
##   No  0.5013591 0.4986409 1.0000000
##   Si  0.2200089 0.7799911 1.0000000
##   Sum 0.7213680 1.2786320 2.0000000

addmargins(tcf2 <- prop.table(t2,1))

##                
##                        Si        No       Sum
##   Estrato 1     0.3147461 0.6852539 1.0000000
##   Estrato 2     0.2359425 0.7640575 1.0000000
##   Estrato 3     0.1864548 0.8135452 1.0000000
##   Estrato 4     0.1478873 0.8521127 1.0000000
##   Estrato 5 y 6 0.0969697 0.9030303 1.0000000
##   Sum           0.9820005 4.0179995 5.0000000

Perfil Columna

A continuación se obtienen las frecuencias relativas condicionadas por columna.

addmargins(tc1 <- prop.table(t1,2))

##      
##               Si         No        Sum
##   No  0.27164130 0.09471631 0.36635761
##   Si  0.72835870 0.90528369 1.63364239
##   Sum 1.00000000 1.00000000 2.00000000

addmargins(tc2 <- prop.table(t2,2))

##                
##                          Si          No         Sum
##   Estrato 1     0.527409589 0.402558660 0.929968249
##   Estrato 2     0.346751759 0.393666456 0.740418215
##   Estrato 3     0.109474718 0.167460272 0.276934990
##   Estrato 4     0.013745704 0.027766623 0.041512327
##   Estrato 5 y 6 0.002618229 0.008547989 0.011166219
##   Sum           1.000000000 1.000000000 2.000000000