GET00139 - Atividade Prática 5 - 2020.1

Exercícios

Para todos os exercícios a seguir não se esqueça de:

• Verificar sempre se as entradas passadas pelo usuário são viáveis para os cálculos das funções.
• Inventar várias entradas para as funções implementadas a fim de verificar se elas estão funcionando corretamente.
• Sempre que possível chamar as funções já implementadas dentro de uma nova função. Assim você simplifica bastante seu código.

1. Implemente uma função que recebe como entrada um vetor (array de números) v e um escalar a e retorna o vetor (array de números) definido pelo produto av.

2. Implemente uma função que recebe como entrada dois vetores (arrays de números) v e u e retorna outro vetor (array de números) definido pela soma entre eles.

3. No caderno escreva um pseudo-código para o algoritmo que recebe como entrada dois vetores (arrays de números) v e u e retorna outro vetor (array de números) definido pela subtração do primeiro pelo segundo. Em seguida, no computador, implemente o pseudo-código elaborado.

4. Implemente uma função que recebe como entrada dois vetores (arrays de números) v e u e retorna o produto interno entre eles.

5. Implemente uma função que recebe como entrada dois vetores (arrays de números) e retorna TRUE caso eles forem ortogonais e FALSE caso contrário. Dica: dá para saber se dois vetores são ortogonais a partir do produto interno entre eles.

6. Implemente uma função que recebe como entrada uma matriz A e um escalar r e retorna a matriz definida pelo produto de r com A.

7. Implemente uma função que recebe como entrada duas matrizes A e B e retorna outra matriz definida pela soma entre elas.

8. No caderno escreva um pseudo-código para o algoritmo que recebe como entrada duas matrizes A e B e retorna outra matriz definida pela subtração da primeira pela segunda. Agora no computador implemente o pseudo-código elaborado.

9. Implemente uma função que recebe como entrada uma matriz A e retorna a sua transposta.

10. No caderno escreva um pseudo-código para o algoritmo que recebe como entrada uma matriz A e retorna TRUE se essa matriz for simétrica e FALSE caso contrário. Lembre-se: uma matriz simétrica é uma matriz quadrada tal que \(A_{i,j} = A_{j,i}\). Em seguida implemente o pseudo-código elaborado.

11. Implemente uma função que recebe como entrada uma matriz A e um vetor (array de números) v e retorna o vetor (array de números) definido pelo produto Av.

12. Implemente uma função que recebe como entrada duas matrizes A e B e retorna a matriz definida pelo produto entre A e B. Atenção: o produto de matrizes não é uma operação comutativa, ou seja, \(AB \neq BA\). Nesse exercício vamos definir que a matriz passada como primeiro argumento de entrada A será a matriz que fica do lado esquerdo do produto.

Para o próximo exercício considere \(\alpha = 4\), \(\beta = -3\), \(v_1 = (2, -3, -1, 5, 0, -2)\), \(v_2 = (3, 4, -1, 0, 1, 1)\), \(v_3 = (1, 2, 3, 4, 5)\), \(v_4 = (0,1,1)\), \[M_1 = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \quad , \quad M_2 = \left( \begin{array}{rrr} 0 & -5 & 3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 0\\ \end{array} \right) , \quad M_3 = \left( \begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -2 & 10 \\ 3 & -1\\ \end{array} \right) \] \[ M_4 = \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \quad M_5 = \left( \begin{array}{rrrr} 3 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 3 & 2\\ 0 & 3 & -5 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\]

13. Usando as funções que você implementou nos exercícios anteriores faça as contas que se pede. Tente fazer cada item usando apenas uma linha de comando no R.
    1. \(\alpha v_3\)
    2. \(v_1 + v_2\)
    3. \(v_3 - v_1\)
    4. \(<v_1,v_2>\)
    5. \(<\alpha v_1,v_2 - v_1>\)
    6. \(<v_1 + v_2, v_1 - v_2>\)
    7. Os vetores \(v_1\) e \(v_2\) acima são perpendiculares (ortogonais)?
    8. \(\beta M_1\)
    9. \(M_1^T\)
    10. Verifique se as matrizes \(M_1\), \(M_4\) e \(M_5\) são simétricas.
    11. \(M_1 v_4\)
    12. \(M_2 v_4 + v_4\)
    13. \(M_1 M_2\)
    14. \(M_2 M_1\)
    15. \(M_3^TM_2\)
    16. \((M_1 M_3) + M_4\)
    17. \(M_1 M_2 M_3\)
    18. \(M_1 M_2 M_3 - M_4\)