U1A13

Silvia Flores

29/9/2020

setwd("~/probabilidadyestadistica")

Regresión lineal simple parte 2

  • Para este ejercicio se utilizará la serie de datos “trees” que son medidas de árboles de “black cherry”

Black cherry tree

  • Importar datos
library(dplyr)
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
head(trees)
##   Girth Height Volume
## 1   8.3     70   10.3
## 2   8.6     65   10.3
## 3   8.8     63   10.2
## 4  10.5     72   16.4
## 5  10.7     81   18.8
## 6  10.8     83   19.7

Conociendo los datos

glimpse(trees)
## Rows: 31
## Columns: 3
## $ Girth  <dbl> 8.3, 8.6, 8.8, 10.5, 10.7, 10.8, 11.0, 11.0, 11.1, 11.2, 11....
## $ Height <dbl> 70, 65, 63, 72, 81, 83, 66, 75, 80, 75, 79, 76, 76, 69, 75, ...
## $ Volume <dbl> 10.3, 10.3, 10.2, 16.4, 18.8, 19.7, 15.6, 18.2, 22.6, 19.9, ...
#De que manera se comportan los datos

Resumen estadístico

summary(trees) 
##      Girth           Height       Volume     
##  Min.   : 8.30   Min.   :63   Min.   :10.20  
##  1st Qu.:11.05   1st Qu.:72   1st Qu.:19.40  
##  Median :12.90   Median :76   Median :24.20  
##  Mean   :13.25   Mean   :76   Mean   :30.17  
##  3rd Qu.:15.25   3rd Qu.:80   3rd Qu.:37.30  
##  Max.   :20.60   Max.   :87   Max.   :77.00
#Resumen de los tres datos

Matriz de diagramas de dispersión

pairs(trees)

#Vemos que el volumen esta siendo influenciado por el diametro

Matriz de diagramas de coeficientes de correlación

cor(trees) #Para ver que tan relacionados están
##            Girth    Height    Volume
## Girth  1.0000000 0.5192801 0.9671194
## Height 0.5192801 1.0000000 0.5982497
## Volume 0.9671194 0.5982497 1.0000000

Prueba de Correlación de pearson

cor.test(x = trees$Girth, y = trees$Volume, method = "pearson", digits=3)
## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  trees$Girth and trees$Volume
## t = 20.478, df = 29, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.9322519 0.9841887
## sample estimates:
##       cor 
## 0.9671194
#Si el valor de p si es muy grande significa que no tiene sentido lo que estamos haciendo
library(GGally)
## Loading required package: ggplot2
## Registered S3 method overwritten by 'GGally':
##   method from   
##   +.gg   ggplot2
ggpairs(trees, lower = list(continuous = "smooth"), diag = list(continuous = "bar"), axisLabels = "none")
## Warning in check_and_set_ggpairs_defaults("diag", diag, continuous =
## "densityDiag", : Changing diag$continuous from 'bar' to 'barDiag'
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

De lo analizado hasta aquí, podemos concluir que:

  1. La variable “girth” está relacionada con la variable “volume”, por lo cual la usaremos como respuesta en este modelo

  2. El coeficiente de correlación de pearson es muy alto (0.9671194) y el valor de P es significativo (p-value < 2.2e-16), esto indica una correlación intensa.

  3. SI tiene sentido generar un modelo de regresión lineal simple, dado que tiene una correkación y significancia importantes.

Modelo de regresión lineal simple

modelo.lineal <- lm(Volume ~ Girth, data= trees)
summary(modelo.lineal)
## 
## Call:
## lm(formula = Volume ~ Girth, data = trees)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -8.065 -3.107  0.152  3.495  9.587 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -36.9435     3.3651  -10.98 7.62e-12 ***
## Girth         5.0659     0.2474   20.48  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.252 on 29 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9353, Adjusted R-squared:  0.9331 
## F-statistic: 419.4 on 1 and 29 DF,  p-value: < 2.2e-16

Ecuación de la recta de mínimos cuadrados

\[y = 36.9435 +5.0659x \]

Intervalos de confianza

confint(modelo.lineal)
##                  2.5 %     97.5 %
## (Intercept) -43.825953 -30.060965
## Girth         4.559914   5.571799

Representación grafica del modelo

#Si los intervalos de confianza son muy grandes no son confiables
library(ggplot2)
ggplot(data = trees, mapping = aes(x = Girth, y = Volume)) +
geom_point(color = "firebrick", size = 2) +
geom_smooth(method = "lm", se = TRUE, color = "black") +
labs(title = "Volumen ~ Diámetro", x = "Diámetro", y = "Volumen") +
theme_bw() + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) 
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'

Verificar condiciones para aceptar o no el modelo

  • Para evaluar las condiciones que permiten decir que el modelo es válido, se hará un análisis de residuos
#Para los valores que sobran 
par(mfrow =c(1,2))
plot(modelo.lineal)

#que proporcion existe entre los valores que sobran y los que si se ajustan

Contraste de hipótesis (normalidad de los residuos)

Según el método de prueba de Shapiro-wilk

shapiro.test(modelo.lineal$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo.lineal$residuals
## W = 0.97889, p-value = 0.7811
#Vimos que los residuales no son suficientemente malos como para que el modelo se considere malo

Investigación

Prueba de correlación pearson

Prueba de correlación Pearson

El coeficiente de correlación de Pearson se utilza para estudiar la relación (o correlación) entre dos variables aleatorias cuantitativas (escala mínima de intervalo). Se debe de tener.

El coeficiente de correlación de Pearson comprende valores entre el -1 y el +1. Así, dependiendo de su valor, tendrá un significado u otro. Si el coeficiente de correlación de Pearson es igual a 1 o a -1, podemos considerar que la correlación que existe entre las variables estudiadas es perfecta.

Si el coeficiente es mayor que 0, la correlación es positiva (“A más, más, y a menos menos). En cambio, si es menor que 0 (negativo), la correlación es negativa (“A más, menos, y a menos, más). Finalmente, si el coeficiente es igual a 0, sólo podemos afirmar que no hay relación lineal entre las variables, pero puede haber algún otro tipo de relación.

Prueba de Shapiro-Wilk

Prueba estadística que nos permite estimar en qué medida una muestra proviene de una distribución normal.

El test de Shapiro-Wilks plantea la hipótesis nula que una muestra proviene de una distribución normal. Eligimos un nivel de significanza, por ejemplo 0,05, y tenemos una hipótesis alternativa que sostiene que la distribución no es normal.

Tenemos:

\(H_0\): La distribución es normal \(H_1\): La distribución no es normal

o más formalmente aún:

\(H_0: X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) \(H_1: X \nsim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)

Ahora el test Shapiro-Wilks intenta rechazar la hipotesis nula a nuestro nivel de significanza. Para realizar el test usamos la función shapiro.test en R:

Smirnov Kolmogrov

Smirnov Kolmogrov

La prueba de Kolmogórov-Smirnov es una propia perteneciente a la estadística, concretamente a la estadística inferencial. La estadística inferencial pretende extraer información sobre las poblaciones.

Se trata de una prueba de bondad de ajuste, es decir, sirve para verificar si las puntuaciones que hemos obtenido de la muestra siguen o no una distribución normal. Es decir, permite medir el grado de concordancia existente entre la distribución de un conjunto de datos y una distribución teórica específica. Su objetivo es señalar si los datos provienen de una población que tiene la distribución teórica especificada, es decir, lo que hace es contrastar si las observaciones podrían razonablemente proceder de la distribución especificada.

Residuals

En el contexto de la regresión lineal, llamamos residuos a las diferencias entre los valores de la variable dependiente observados y los valores que predecimos a partir de nuestra recta de regresión.

El estudio de residuos es una herramienta formidable en el estudio de las regresiones lineales. Nos sirve para saber si se están cumpliendo las premisas de linealidad de las relaciones, homocedasticidad y normalidad de los residuos.

Conclusión

Se puede concluir que las variables diametro (girth) y Volumen (Volume) están relacionadas, ya que entre mayor sea la circuenferencia del árbol, mayor será el volumen. Se realizaron una serie de pruebas para comparar los datos con los que se pudo observar que la correlación entre estas dos variaables era muy alta.

Bibliografia