Função Distância para o Custo Mínimo Esperado

De acordo com o artigo 1, versão beta, a seguinte fórmula é válida para Distância Esperada:

\[E|X_k-Y_k|=k\bigg(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\bigg)+2k\bigg(\frac{I_x(k,k+1)}{\lambda_2}-\frac{I_x(k+1,k)}{\lambda_1}\bigg),\]

em que \(I_x(a,b)\) é a função beta incompleta regularizada e \(x=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)\).

E<-function(k,l1,l2){
  
  x<-l1/(l1+l2) 
  
  res<-k*(1/l1-1/l2)+2*k*((1/l2)*pbeta(x,k,k+1)-(1/l1)*pbeta(x,k+1,k))
  
  return(res)
}

O Custo Mínimo Esperado é definido pela soma finita da Distância Esperada: \[C_{opt}:=\sum_{k=1}^{n}E|X_k-Y_k|\]

Função que plota o Gráfico do Custo Mínimo Esperado com os novos limitantes

Considere dois processos de Poisson com taxas \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\), com \(\lambda_1\geq \lambda_2\), e respectivos tempos de chegadas \(X_1,X_2,\cdots\) e \(Y_1,Y_2,\cdots\). Então,

\[\sum_{k=1}^{n}E\big[|X_k-Y_k\big]\in \big[\;l_n\;,\;s_n\;\big],\] em que \[l_n=\frac{n(n+1)}{2}\bigg(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\bigg)+\frac{2}{\lambda_2}\times S(n,\lambda_1,\lambda_2);\]

\[s_n=\frac{n(n+1)}{2}\bigg(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\bigg)+\bigg(\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_1}\bigg) \times S(n,\lambda_1,\lambda_2),\] sendo \[S(n,\lambda_1,\lambda_2)=\sum_{k=1}^{n}\frac{(xx^{'})^k}{B(k+1,k)} \;\; ; \;\; x=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)\;\; \mbox{e}\;\; x^{'}=1-x.\]

Considere dois processos de Poisson com taxas \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\), e respectivos tempos de chegadas \(X_1,X_2,\cdots\) e \(Y_1,Y_2,\cdots\). Se \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda\), então

\[\sum_{k=1}^{n}E\big[|X_k-Y_k|\big]= C_{opt}(\lambda,n),\]

onde \[ C_{opt}(\lambda,n)=\frac{2n}{3\lambda}\binom{n+\frac{1}{2}}{n}.\]

O código abaixo foi implementado para construção do gráfico. Os parâmetros são o tamanho da amostra (\(n\)) e as taxas dos primeiro e segundo processos (\(\lambda_1\), \(\lambda_2\)).

Graf_Int.Custo<-function(n,l1,l2){
    L<-length(n)
    x<-l1/(l1+l2)
    y<-1-x
    custo<-LI<-LS<-numeric(L)
 
   for (i in 1:L) {
        
     LI[i]<-sum((1:n[i])*(1/l1-1/l2)+(2/l2)*(x*y)^(1:n[i])/beta(1:n[i]+1,1:n[i]))
        
     LS[i]<-sum((1:n[i])*(1/l2-1/l1)+(1/l2+1/l1)*((x*y)^(1:n[i]))/beta(1:n[i]+1,1:n[i]))
        
        custo[i]<-sum(E(1:n[i],l1,l2))
     }
    plot(n,custo,type="l",main="Custo Mínimo Esperado"
                    ,ylab=expression(C(n,lambda[1],lambda[2])))
    
    lines(n,LI,col="red") ; lines(n,LS,col="blue")
}

Plote do Gráfico

par(mfrow=c(2,2)) ; v<-seq(10,100,1)

Graf_Int.Custo(v,0.95,0.90)
legend("topleft", expression(lambda[1]~"= 0.95, "~lambda[2]~" = 0.90"))

Graf_Int.Custo(v,0.95,0.92)
legend("topleft", expression(lambda[1]~"= 0.95, "~lambda[2]~" = 0.92"))

Graf_Int.Custo(v,0.95,0.94)
legend("topleft", expression(lambda[1]~"= 0.95, "~lambda[2]~" = 0.94"))

Graf_Int.Custo(v,0.95,0.95)
legend("topleft", expression(lambda[1]~"= 0.95, "~lambda[2]~" = 0.95"))