Distribuciones de probabilidad

El paquete stats de R (que se instala por defecto al instalar R, y se carga en memoria siempre que iniciamos sesión) implementa numerosas funciones para la realización de cálculos asociados a distintas distribuciones de probabilidad. Entre las utilizadas más comunmente podemos citar:

Distribución	Nombre en R
Binomial	binom
Poisson	pois
Geométrica	geom
Hipergeométrica	hyper
Binomial Negativa	nbinom
Uniforme	unif
Normal	norm
t Student	t
F Fisher	F
Chi-Cuadrado	chisq
Exponencial	exp
Gamma	gamma
Weibull	weibull

Para cada distribución, R dispone de cuatro funciones. Se puede acceder a cada una de ellas simplemente precediendo el nombre de la distribución que figura en la tabla anterior por la letra que se indica a continuación:

d: función de densidad o de probabilidad.

p: función de distribución.

q: función para el cálculo de cuantiles.

r: función para simular datos con dicha distribución.

Así, por ejemplo, para la distribución normal, la función de densidad se obtiene como dnorm(), la función de distribución como pnorm(), los cuantiles se calculan mediante qnorm() y se pueden generar valores aleatorios con distribución normal mediante rnorm(). Puede consultarse la ayuda, help(dnorm) para conocer la sintaxis específica de estas funciones.

Ejemplo 1: distribución binomial

Si \(X\) sigue una distribución binomial \(B(n,p)\), entonces:

• \(P(X=k)\) = dbinom(k,n,p)

• \(P(X\leq k)\) = pbinom(k,n,p)

• \(q_a=\min\{x:P(X \leq x)\geq a\}\) =qbinom(a,n,p)

• rbinom(m,n,p) genera \(m\) valores aleatorios con esta distribución.

Por ejemplo, si \(X \sim B(10,0.6)\) tenemos:

• \(P(X=8)\)

dbinom(8,10,0.6)

## [1] 0.1209324

• \(P(X \leq 8)\)

pbinom(8,10,0.6)

## [1] 0.9536426

• \(q_{0.95}=\min \{x:P(X \leq x) \geq 0.95\}\)

qbinom(0.95,10,0.6)

## [1] 8

Podemos obtener simultáneamente varios cuantiles:

qbinom(c(0.05,0.95),10,0.6)

## [1] 3 8

• Simulamos 20 valores de esta distribución:

rbinom(20,10,0.6)

##  [1] 6 5 7 5 6 4 4 5 5 8 6 8 4 7 6 7 4 4 6 6

Podemos representar la función de probabilidad de la distribución binomial:

plot(dbinom(0:10,10,0.6),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(10,0.6)")

También podemos representar su función de distribución acumulada:

plot(stepfun(0:10,pbinom(0:11,10,0.6)),xlab="k",ylab="F(k)",main="Función de distribución B(10,0.6)")

Ejemplo 2: distribución normal

Si \(X\) sigue una distribución normal \(N(\mu,\sigma)\), entonces:

• \(f(x)\) =dnorm(x,mu,sigma)

• \(P(X\leq k)\) =pnorm(x,mu,sigma)

• \(q_a=\min \{x:P(X\leq x)\geq a\}\) =qnorm(a,mu,sigma)

• rnorm(n,mu,sigma) genera \(n\) valores aleatorios \(N(\mu,\sigma)\)

Por ejemplo, si \(X\sim N(170,12)\). Entonces:

• Calculamos \(f(173)\)

dnorm(173,170,12)

## [1] 0.03222234

Podemos calcular los valores de la función de densidad sobre una secuencia de valores de \(x\):

x=seq(165,175,by=0.5)
dnorm(x,170,12)

##  [1] 0.03048103 0.03098792 0.03144860 0.03186077 0.03222234 0.03253150
##  [7] 0.03278664 0.03298647 0.03312996 0.03321634 0.03324519 0.03321634
## [13] 0.03312996 0.03298647 0.03278664 0.03253150 0.03222234 0.03186077
## [19] 0.03144860 0.03098792 0.03048103

• La representación gráfica de la función de densidad se obtiene como:

curve(dnorm(x,170,12),xlim=c(130,210),col="blue",lwd=2,
      xlab="x",ylab="f(x)",main="Función de Densidad N(170,12)")

• También podemos representar la función de distribución acumulada:

curve(pnorm(x,170,12),xlim=c(130,210),col="blue",lwd=2,
      xlab="x",ylab="F(x)",main="Función de Distribución N(170,12)")

• Calculamos la probabilidad \(P(X\leq 180)\)

pnorm(180,170,12)

## [1] 0.7976716

• \(P(X > 168)\)

1-pnorm(168,170,12)

## [1] 0.5661838

o también

pnorm(168,170,12, lower.tail=FALSE)

## [1] 0.5661838

• \(P(150\leq X \leq 168)\)

pnorm(168,170,12)-pnorm(150,170,12)

## [1] 0.3860258

• \(z_{0.95}=\min \{x:P(X\leq x)\geq 0.95\}\)

qnorm(0.95,170,12)

## [1] 189.7382

• Si no se especifican media y varianza, R entiende que trabajamos con la distribución normal estándar. La siguiente instrucción nos proporciona los cuantiles 0.025 y 0.975 de la \(N(0,1)\):

qnorm(c(0.025,0.975))

## [1] -1.959964  1.959964

• Simulamos 10 valores de esta distribución:

rnorm(10,170,12)

##  [1] 157.3321 161.6392 159.2494 149.4788 191.8352 160.4870 150.8372 164.8297
##  [9] 175.7572 153.9785