Cenni di idraulica delle correnti a pelo libero

Appunti dei corsi

Costruzioni Idrauliche M

Protezione Idraulica del Territorio M

a.a. 2020-2021

Presa una generica sezione trasversale di una corrente (hp. gradualmente variata) di sezione \( A(h) \) e fissata una certa portata \( Q \), si può definire energia speficia la quantità

\[ E=h+\alpha\frac{V^2}{2g} \]

sostituendo \( Q=VA \), si ottiene

\[ E=h+\alpha\frac{Q^2}{2gA^2} \]

• per \( h\rightarrow 0 \), con \( Q=cost. \), diventa preponderante il termine \( \frac{V^2}{2gA^2} \), quindi \( E\rightarrow \infty \)
• per \( h\rightarrow \infty \), il termine \( \frac{V^2}{2gA^2} \) diventa trascurabile, quindi \( E\rightarrow h \)

La funziona \( E(h) \) presenta necessariamente un punto di minimo.

Il punto di minimo, nel quale \( \frac{dE}{dh}=0 \) è detto stato critico e l'altezza \( h=k \) è detta altezza critica

L'altezza critica \( k \) separa due regioni distinte nel grafico \( E - h \):

• \( h < k \): correnti veloci, nelle quali è predominante il termine cinetico di \( E \)
• \( h > k \): correnti lente, nella quali è maggiore l'energia potenziale, data dal pelo libero \( h \)

\[ \frac{dE}{dh}=0 \]

sostituendo l'espressione di \( E \) si ottiene

\[ \frac{d}{dh}\Big[ h+\alpha\frac{Q^2}{2gA^2} \Big]=\frac{d}{dh}[h]+\alpha\frac{Q^2}{2g}\frac{d}{dh}\Big[\frac{1}{A(h)^2}\Big]=\dots \]

\[ =1+\alpha\frac{Q^2}{2g}\frac{-2}{A^3}\frac{dA}{dh}=1-\alpha\frac{Q^2B}{gA^3}=0 \]

essendo , \( \frac{dA}{dh}=B \). Infine, \[ \frac{A^3}{B}=\alpha\frac{Q^2}{g} \]

Il termine \( \frac{Q^2B}{gA^3}=Fr^2 \) è noto come numero di Froude, numero adimensionale legato allo stato perturbativo della corrente

• Se \( Fr^2 < 1 \): allora \( \frac{dE}{dh} > 0 \), corrente lenta
• Se \( Fr^2 > 1 \): allora \( \frac{dE}{dh} < 0 \), corrente veloce

dalla precendete si ricava che, in generale

\[ Fr = \frac{V}{\sqrt{gh_m}}=\frac{V}{V_c} \] dove \( h_m=\frac{A}{B} \) rappresenta l'altezza media della sezione. Nel caso di sezione rettangolare allo stato critico \( \frac{A}{B}=k \) e \( V_c=\sqrt{gk} \).

Dalla condizione di stato critico è possibile ricavare \( k \):

• sez. qualsiasi \( \frac{A^3}{B}=\alpha\frac{Q^2}{g} \) dai cui ricavo \( k \) numericamente
• sez. rettangolare

\[ \frac{(Bk)^3}{B}=\alpha\frac{Q^2}{g}\rightarrow k = \sqrt[3]{\alpha\frac{Q^2}{gB^2}} \]

ponendo \( q=Q/B \), detta anche portata specifica, si ottiene

\[ k = \sqrt[3]{\alpha\frac{q^2}{g}} \]

L'energia minimia in corrispondenza dello stato critico vale (ponendo \( \alpha \simeq 1 \))

\[ E_{min}=k+\frac{V_c^2}{2g} \]

Se la sezione è rettangolare allora \( V_c=\sqrt{gk} \), si ottiene

\[ E_{min} = k+\frac{k}{2}= \frac{3}{2}k \]

Se nell'equazione dell'energia specifica fissiamo \( E \) e lasciamo variare la \( Q \), è possibile esplicitare la portata in funzione del tirante \( h \), si ottiene

\[ Q(h)=A\sqrt{\frac{2g}{\alpha}(E-h)} \]

nella quale \( E=cost. \)

Si vede che, per \( h=0 \) e \( h=E \), si ha \( Q=0 \). Anche in questo caso, essendo \( Q \geq 0 \) sempre, si avrà una condizione di stato critico in corrispondenza della portata massima.

\[ \frac{dQ}{dh}=0 \]

sostituendo l'eq. di \( Q \) nella precedente e svolgendo i calcoli, si ottiene

\[ E - h = \frac{A}{2B} \]

che, nel caso di sez. rettangolare, allo stato critico (\( h=k \)) si ha

\[ E= k + \frac{k}{2}=\frac{3}{2}k \]

per cui si ritrova la condizione di energia minima ricavata a \( Q=cost. \)

Fino ad ora le considerazioni fatte sono valide per qualsiasi corrente gradualmente variata, non essendo stata, infatti, introdotta nessuna ipotesi sul tipo di moto. Pertanto, fissata una certa portata \( Q \), il valore dell'altezza critica \( k \) viene determinato solo in base alla geometria della sezione (\( \frac{A^3}{B}=\frac{Q^2}{g} \)).

Introducendo ora l'ipotesi di moto uniforme, è possibile determinare univocamente il tirante \( h_0 \) in relazione alla portata \( Q \), noti la pendenza \( i \), la scabrezza \( k_s \) e la forma della sezione.

In relazione alle quantità \( k \) e \( h_0 \) si possono verificare 3 condizioni distinte:

• \( h_0 < k \): alveo a forte pendenza, la corrente di moto uniforme è veloce
• \( h_0 > k \): alveo a debole pendenza, la corrente di moto uniforme è lenta
• \( h_0 = k \): alveo a pendenza critica (condizione instabile)

La pendenza critica dipende dalla portata per mezzo del raggio idraulico: un stesso alveo può essere in condizioni di debole pendenza per portate basse e forte pendenza per portata elevato. \[ sez. rett. \rightarrow\quad i_c=\frac{g}{k_sR^{1/3}} \]

Per stabilire se siamo in presenza di alveo a debole/forte pendenza, in moto uniforme, bisogna:

1. Calcolare l'altezza di moto unforme \( h_0 \)
2. Calcolare l'altezza critica \( k \)
3. Verificare se \( h_0 < k \) o \( h_0 > k \)

Dalle equazioni di DSV, introducendo l'ipotesi di moto permanente (\( \frac{\partial}{\partial t}\dots = 0 \)) si ottengono le equazioni

1. \( Q = cost. \), eq. di continuità
2. \( \frac{\partial h}{\partial x}+ \frac{V}{g}\frac{\partial V}{\partial x}= i - J \) eq. della quantità di moto

dalla seconda, ricordando che \( V=\frac{Q}{A} \), si ottiene

\[ \frac{dh}{dx}+\frac{d}{dx}\Big[\frac{Q^2}{2gA^2} \Big] = \frac{dh}{dx} + \frac{Q^2}{2g}\Big[\frac{-2}{A^3}\frac{dA}{dx} \Big]= i - J \]

\[ \frac{dh}{dx}- \frac{Q^2}{gA^3}\frac{dA}{dx} = i - J \]

in un alveo qualsiasi, la sez. del corso d'acqua può cambiare per effetto congiunto del tirante \( h \) e della posizione nello spazio \( x \) (perché cambia la forma). Se consideriamo quindi \( A=f(x,h) \) il suo differenziale totale si scrive come

\[ dA = \frac{\partial A}{\partial x}dx + \frac{\partial A}{\partial h}dh \] da cui \[ \frac{dA}{dx}=\frac{\partial A}{\partial h}\frac{dh}{dx}+\frac{\partial A}{\partial x} \]

sostituendo \( \frac{dA}{dx} \) nell'eq. del moto si ottiene \[ \frac{dh}{dx} - \frac{Q^2}{gA^3}\Big[ B\frac{dh}{dx}+\frac{\partial A}{\partial x} \Big] = i - J \]

ed infine

\[ \frac{dh}{dx}\Big(1 -\frac{Q^2}{gA^3} \Big) -\frac{Q^2}{gA^3}\frac{\partial A}{\partial x} = i - J \]

nota come equazione differenziale del profilo del pelo libero di una corrente gradualmente variata in moto permanente

Nel caso di alveo prismatico, le forma della sezione non varia lungo il percorso della corrente, quindi \( \frac{\partial A}{\partial x} = 0 \). Si ottiene

\[ \frac{dh}{dx}\Big(1 -\frac{Q^2}{gA^3} \Big) = i - J \]

ricordando la definizione del numero di Froude, si ottiene

\[ \frac{dh}{dx} = \frac{i - J}{1 -Fr^2} \]

\[ \frac{dh}{dx} = \frac{i - J}{1 -Fr^2} \]

Casi

• \( h \rightarrow h_0 \), allora \( J \rightarrow i \), \( \frac{dh}{dx} \rightarrow 0 \), il profilo tende al moto uniforme asintoticamente
• \( h \rightarrow k \), allora \( Fr \rightarrow 1 \), \( \frac{dh}{dx} \rightarrow \infty \), il profilo tende ad un asintoto verticale
• \( h \rightarrow 0 \), allora \( \frac{i - J}{1 -Fr^2} \sim \frac{1/h^{10/3}}{1/h^3} \rightarrow \infty \), \( \frac{dh}{dx} \rightarrow 0 \), il profilo tende ad un asintoto verticale

distinguiamo 3 zone:

1. \( h > h_0 > k \) corrente lenta

   • numeratore: \( i - J > 0 \)
   • denominatore: \( 1 - Fr^2 > 0 \), perché \( Fr < 1 \)

   \( \frac{dh}{dx} > 0 \) corrente ritardata verso valle

2. \( h_0 > h > k \) corrente lenta

   • numeratore: \( i - J < 0 \), perché diminuisce il raggio idraulico
     
   • denominatore: \( 1 - Fr^2 > 0 \), perché \( Fr < 1 \)

   \( \frac{dh}{dx} <0 \) corrente accelerata verso valle

\[ \frac{dh}{dx} = \frac{i - J}{1 -Fr^2} \]

3.. \( h_0 > k > h \) corrente veloce

• numeratore: \( i - J < 0 \), perché diminuisce il raggio idraulico
  

• denominatore: \( 1 - Fr^2 < 0 \), perché \( Fr > 1 \)

  \( \frac{dh}{dx} >0 \) corrente ritardata verso valle