Soit \(T\) une variable aléatoire suivant une loi normale standard, i.e. \(T \sim N(0,1)\)

1. On note \(\Phi\) la fonction de répartition de \(T\). Montrer que pour tout t dans \(\mathbb{R}\) on a :

\[\Phi(-t) = 1 - \Phi(t), \quad \text{et} \quad P(|T|>t) = 2\times(1 - \Phi(t))\]

La densité de \(T\) est donnée par

\[f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}, \quad t \in \mathbb{R}\]




On a \[P(T \le t) = \Phi(t) = \int_{-\infty}^t f_T(x)dx \]




Fonction de répartition de la \(N(0,1)\): \(P(T \le t) = \Phi(t) = \int_{-\infty}^t \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx\)




La densité de \(T \sim N(0,1)\) est symétrique par rapport à 0


\[P(T<-t) = P(T>t) = 1-P(T<t)\]

\[\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)\]

Et on prouve facilement aussi que

\[P(|T|>t) = 2\times(1 - \Phi(t)), \quad (\text{la somme des 2 parties rouges)}\]

Il facile de voir que \[\Phi(0) = P(T\le 0)=1/2\]




2. Représentations graphiques des réponses


\(P(0<T<0.8)=\) 0.2881



\(P(T>-0.5)=\) 0.6915



\(P(|T|>1.5)=2(1-\Phi(1.5))\) = 0.1336