Un sismologue mesure le nombre de jours qui s’écoulent entre deux séismes de magnitude supérieure à 8. On suppose que cette durée est une v.a. \(X\) dont la densité est :

\[f_X(x) = ae^{-ax}\mathbb{1}_{[x\ge0]}(x), \quad a>0\] On reconnait la loi exponentielle de paramètre \(a\), c’est à dire \(X \sim Exp(a)\)

Dans la question 2, on montre que \(a=\frac{1}{459}\)

Représentation graphiques la densité de \(X \sim Exp(1/459)\)

Il est claire que \(f_X\) est une densité de probabilité:

\(f_X(x) \ge0\)
\(f_X\) est continue sauf en 0
On a prouvé en cours que l’aire de la partie rouge est égale à 1

Fonction de densité de loi \(X \sim Exp(a)\) avec différentes valeurs de \(a\)

2. Le sismologue observe qu’il s’écoule en moyenne 459 jours entre deux séismes. Donner la valeur de a. Calculer la probabilité pour que le temps entre deux séismes consécutifs soit compris entre 400 et 600 jours.

On a montrer en cours que:

\[ F_X(x)= P(X \le x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1- e^{-x/459} & \mbox{si } x \ge 0 \\ 0 & \mbox{sinon} \end{array} \right. \]

Graphique de la fonction de répartition de \(X \sim Exp(1/459)\)

probabilité X soit compris entre 400 et 600 jours: \(P(400<X<600) = 0.1478\)

3. Calculer la probabilité que la durée entre deux séismes consécutifs soit supérieure à 200 jours.

Probabilité X soit supérieure à 200 jours: \(P(X>200) = 0.6468\)

4. Soit \(U\) une variable de loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. On pose \(Y=\frac{−1}{a}\ln(U)\). Calculer la fonction de répartition \(F_Y\) de \(Y\) et en déduire que \(X\) et \(Y\) ont même loi. Nommer cette loi.

En cours, on a prouver que \(Y \sim Exp(a)\)

Pour \(a=1/459\), on va vérifier le résultat à l’aide d’une simulation

on va simuler 50000 uniforme \(U\) sur [0, 1]
pour chaque simulation on va calculer \(Y=-459\ln(U)\)
on va tracer l’histogramme de la serie \(Y\) et le comparer à la loi \(Exp(1/459)\)

Les 200 premières simulations

Histogramme de la serie \(Y\) et comparaison avec la densité de loi \(Exp(1/459)\)

Moyenne et variance de Y

Les valeurs théoriques sont \(E(X) = 459\) et \(Var(X) = 459^2 = 210681\)

Exercice 6

2. Le sismologue observe qu’il s’écoule en moyenne 459 jours entre deux séismes. Donner la valeur de a. Calculer la probabilité pour que le temps entre deux séismes consécutifs soit compris entre 400 et 600 jours.

3. Calculer la probabilité que la durée entre deux séismes consécutifs soit supérieure à 200 jours.

4. Soit \(U\) une variable de loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. On pose \(Y=\frac{−1}{a}\ln(U)\). Calculer la fonction de répartition \(F_Y\) de \(Y\) et en déduire que \(X\) et \(Y\) ont même loi. Nommer cette loi.