Cenni di idraulica delle correnti a pelo libero

Appunti dei corsi

Costruzioni Idrauliche M

Protezione Idraulica del Territorio M

a.a. 2020-2021

Si tratta delle correnti idriche che percorrono i corsi d'acqua naturali (fiumi, torrenti) o i canali artificiali (di bonifica, di irrigazione, fognature).

• corrente: complesso di traiettorie aventi sensibilimente la stessa direzione;
• corrente a pelo libero: corrente avente la parte superiore a contatto con un gas a pressione costante, tipicamente si tratta di aria a pressione atmosferica;
• corrente lineare o gradualmente variata: corrente caratterizzata da una trascurabile curvatura delle singole traiettorie, tali da poter essere considerte rettilinee e parallele

1. le sezioni perpendicolari alle traiettorie sono piane

2. la distribuzione delle pressioni è idrostatica nella generica sezione trasversale

   \( h=z + \frac{p}{\gamma}=cost. \)

3. la pendenza dell'alveo è molto piccola, tale che le sezioni trasversali si possano considerare perpendicolari alle traiettorie. La linea dei carichi piezometrici coincide con il pelo libero ed è unica.

Dalla linea piezometrica \( h \) (pelo libero), aggiungendo l'altezza cinetica \( \alpha\frac{V^2}{2g} \) ottenitamo la linea dei carichi totali

\[ H=z+h+\alpha\frac{V^2}{2g} \]

\( H \): [L] energia (o carico) totale associata al fluido per unità di peso

\( V \): [m³ /s] velocità media della sezione

\( g \): [m/s² ] accelerazione di gravità (\( \simeq \) 9.81 m/s² )

\( \alpha \): coefficiente di ragguaglio o di Coriolis (dipende dalla distribuzione delle velocità della corrente in una determinata sez. trasversale), nelle applicazioni pratiche è lecito porlo pari a 1 (moto turbolento).

\( J \): [-] cadente del carico totale (o perdita di carico). Sempre decrescente nella direzione del moto.

Presa una generica sezione verticale, trasversale alla direzione del moto si definiscono le seguenti grandezze:

• \( A \): area bagnata [L² ]
• \( P \): perimetro bagnato [L]
• \( R=\frac{A}{P} \): raggio idraulico [L]

Se la sezione è rettangolare larghissima \( B >> h \) allora \[ R=\frac{A}{P}= \frac{Bh}{B+2h}\simeq h \]

Si applica l'equzione di Bernoulli per i fludi reali

\[ \frac{\partial H}{\partial x}+\frac{1}{g}\frac{\partial V}{\partial t}=-J \]

dove \( H \) è il carico totale e \( J \) la perdita di carico per unità di lunghezza. Si ipotizza che il moto sia monodimensionale e diretto secondo l'ascissa curvilinea \( x \).

Sostituendo l'espressione di \( H \) nella precedente si ottiene \[ \frac{\partial}{\partial x}\big[ z + \frac{p}{\gamma}+\alpha\frac{V^2}{2g} \big] + \frac{1}{g}\frac{\partial V}{\partial t}=-J \]

si osserva che \( z+\frac{p}{\gamma} = z_0 + h \) e sostituendo si ha:

\[ \frac{\partial z_0}{\partial x} + \frac{\partial h}{\partial x}+\alpha\frac{V}{g}\frac{\partial V}{\partial x} + \frac{1}{g}\frac{\partial V}{\partial t}=-J \]

da cui infine si ottiene:

\[ \frac{\partial h}{\partial x}+\frac{V}{g}\frac{\partial V}{\partial x} + \frac{1}{g}\frac{\partial V}{\partial t}=i-J \]

dove \( i \) è la pendenza al fondo e \( \alpha \simeq 1 \), nota anche come equazione del moto di De Saint Venant per le correnti a pelo libero.

L'eq. di De Saint Venant esprime la quantità di moto di una corrente. La seconda equazione necessaria alla soluzione del problema del moto è l'equazione di continuità

\[ \frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial A}{\partial t} = 0 \]

combinando queste due equazioni con le condizioni al contorno e iniziali il problema del moto risulta completamente definito.

Si possono verificare 3 diverse condizioni di moto:

Moto uniforme

Le grandezze non dipendono né dal tempo né dallo spazio \( \frac{\partial }{\partial x} \dots=\frac{\partial }{\partial t}\dots = 0 \)

Moto permanente

Le grandezze variano solamente nello spazio \( \frac{\partial }{\partial t}\dots = 0 \)

Moto vario

le grandezze variano sia nel tempo che nello spazio, vale l'eq. di DSV completa.

Applicando le ipotesi del moto uniforme l'eq. di DSV si riduce a

\[ i=J \]

ovvero, le linee del carico piezometrico (pelo libero) e del carico totale si dispongono parallele al fondo, mentre le altre grandezze \( Q, V, A \) rimarranno costanti nello spazio e nel tempo.

Per determinare il legame tra le grandezze idrodinamiche e la perdita di carico \( J \) si fa ricorso al legame costitutivo dato dalla formula di Chezy

\[ J=\frac{V^2}{C^2 R} \]

dalla precedente si ricava, sostituendo \( V=\frac{Q}{A} \)

\[ Q = AC\sqrt{Ri} \]

dove \( C \) è un coefficiente che esprime il grado di scabrezza della parete della sezione a contatto con l'acqua. \( C \) è un parametro che può essere espresso per mezzo di formulazioni empiriche, come ad es. quella di Gauckler-Strickler:

\[ C=k_sR^{1/6} \]

sostituita nella precedente, l'eq. del moto uniforme diventa:

\[ Q=k_sAR^{2/3}i^{1/2} \]

L'eq. del moto uniforme è una funzione potenza del tipo \( Q = ah^b \), dove \( b \) varia nell'intervallo \( [\frac{3}{2},\frac{5}{3}] \), nota come “scala di deflusso”

In particolare, per la sezione rettangolare larghissima \( R\simeq h \), l'eq. del moto uniforme risulta invertibile

\[ Q = k_sBi^{1/2}h^{5/3} \]

dalla quale è possibile ricavare \( h \) noto \( Q \).

Si ha quindi, con questa ulteriore ipotesi che l'atezza di moto uniforme vale \[ h_{unif}=\Big[\frac{Q}{k_sBi^{1/2}}\Big]^{3/5} \]