SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

1- Introdução

Até agora, especificamos a localização de um ponto no plano por meio de suas coordenadas relativas a dois eixos perpendiculares.

Definição Sejam os eixos \(Ox\) e \(Oy\), perpendiculares em \(O\) (origem do sistema). Dado um ponto \(P\) do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares) descrevemos sua localização no plano escrevendo \(P=(a,b)\) onde \(a\) é a projeção de \(P\) no eixo \(x\) e \(b\) a projeção de \(P\) no eixo \(y\).

Representação de uma região

Porém, às vezes, um ponto em movimento tem uma afinidade especial com algum ponto fixo, tal como um planeta em uma órbita sob a atração central do Sol. Nesses casos, a trajetória da partícula fica mais bem descrita por sua direção angular e sua distância de um ponto fixo.

Como representar a região abaixo?

2- COORDENADAS POLARES

No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo (radianos) em relação a um ponto fixo e a um semi-eixo fixo.

A marcação dos pontos no sistema de coordenadas polares é facilitada pelo uso de papel de coordenadas polares, o qual consiste em uma série de circunferências concêntricas e de retas concorrentes, como mostr a figura abaixo:

Vamos verificar os pontos abaixo plotados em um sistema de coordenadas polares:

  • (6, π/4);

  • (5, 2π/3);

  • (3, 5π/4);

  • (4, 11π/6); .

ATENÇÃO: As coordenadas polares de um ponto não são únicas. Por exemplo, as coordenadas polares \((1,7π/4)\), \((1, −π/4)\) e \((1, 15π/4)\) representam todas o mesmo ponto.

Em geral, se um ponto \(P\) tiver coordenadas polares \((r,\theta)\), então \((r, θ + 2nπ)\) e \((r, θ − 2nπ)\) também são coordenadas polares de \(P\) com qualquer \(n\) inteiro não negativo. Assim, todo ponto tem uma infinidade de coordenadas polares. ▪Podemos estender o significado para o caso em que \(r\) é negativo:

Exemplo 1: Marque os pontos cujas coordenadas polares são:

3-RELAÇÕES ENTRE COORDENADAS POLARES E RETANGULARES

Exemplo 2 Encontre as coordenadas retangulares do ponto \(P\) cujas coordenadas polares são \((6,2π/3)\)

SOLUÇÃO:
Exemplo 3 Encontre as coordenadas polares do ponto \(P\) cujas coordenadas retangulares são \((-2,2\sqrt{3})\).

ATIVIDADE PARA CONTABILIZAR PRESENÇA 29/09/2020
    1. As coordenadas retangulares \((x,y)\) podem ser recuperadas das coordenadas polares \((r, θ)\) por meio de quais equações?
    1. As coordenadas polares \((r, θ)\) podem ser recuperadas das coordenadas retangulares \((x, y)\) por meio de quais equações?
    1. Obtenha as coordenadas retangulares dos pontos cujas coordenadas polares são dadas.
  1. \((4, π/3)\) b) \((2, −π/6)\) c) \((6, −2π/3)\) d) \((4, 5π/4)\)
    1. Em cada parte, encontre coordenadas polares que satisfaçam as condições dadas para o ponto cujas coordenadas retangulares são:
  1. \(r ≥ 0\) e \(0 ≤ θ < 2π\) b) \(r ≤ 0\) e \(0 ≤ θ < 2π\)