logo

Bakgrunnur

Táknum greind smit á degi \(t\) með \(c_t\). Látum jafnframt \(T_g\) vera slembistærð með þéttleika \(g(t)\) sem lýsir tímanum á milli smita í sömu smitkeðju. \(g(t)\) kallast kynslóðadreifing veirunnar (e. generation distribution). Dreifingin er óþekkt en hana má nálga með dreifingu \(g^*\) á tímanum milli \(\textbf{greindra}\) smita í sömu smitkeðju. \(g^*\) var metin útfrá íslenskum rakningargögnum sem \[g^*(t) \sim Gamma(1.54,0.28)\] látum nú \(g_t\) vera strjála framsetningu á \(g^*(t)\), þ.e. \(g_t=\frac{\int_{t-0.5}^{t+0.5}g^*(\tau)d\tau}{\int_{0.5}^{\infty}g^*(\tau)d\tau}\). Strjálu framsetningima, \(g_t\), má túlka sem nálgun á líkunum á því að smitaður einstaklingur smiti útfrá sér \(t\)-ta daginn eftir að hann smitast. Aðferðin sem við notum til að meta smitstuðulinn heitir EpiEstim (Cori o.fl., 2013). Í EpiEstim aðferðinni er væntigildi daglegra greindra smita ritað sem \[E[c_t]=R_t\sum_{\tau=0}^{t-1}c_{\tau}g_{t-\tau}\] þar sem \(R_t\) er smitstuðullinn á tíma \(t\). Það er að segja, væntur fjöldi smita í dag er földun smita fortíðar við nálgun á kynslóðardreifingunni margfölduð með smitstuðlinum. Við útvíkkum EpiEstim aðferðina lítillega til þess að taka tillit til fjölda smita sem greinast í sóttkví og á landamærunum. Skilgreinum \(R_s\) og \(R_l\) sem smitstuðul þeirra sem greinast í sóttkví og á landamærunum og gerum ráð fyrir að þeir séu fastir yfir allt tímabilið. Látum því næst \(p_{t,s}\),\(p_{t,l}\) og \(p_{t,u}\) vera hlutfall greindra smita í sóttkví, á landamærunum og utan sóttkvíar á degi \(t\). Þá ritum við væntigildi daglegra smita sem \[E[c_t]=R_{t,u}\sum_{\tau=0}^{t-1}p_{\tau,u}c_{\tau}g_{t-\tau} + R_s\sum_{\tau=0}^{t-1}p_{\tau,s}c_{\tau}g_{t-\tau} + R_l\sum_{\tau=0}^{t-1}p_{\tau,l}c_{\tau}g_{t-\tau}\] Þar sem \(R_{t,u}\) er tímaháður smitstuðull þeirra sem greinast utan sóttkvíar. Til einföldunar er hér gert ráð fyrir að smit á landamærum smiti ekkert útfrá sér (enda fara þau beint í einangrun við komuna til landsins), þ.e. að \(R_l=0\). Þá fæst: \[E[c_t]=R_{t,u}\sum_{\tau=0}^{t-1}p_{\tau,u}c_{\tau}g_{t-\tau} + R_s\sum_{\tau=0}^{t-1}p_{\tau,s}c_{\tau}g_{t-\tau}\]

Tölfræðilíkan

Stillum næst upp stigskiptu Bayesísku líkani til þess að fá mat á \(R_{t,u}\), fyrir öll \(t\) og \(R_s\). Látum dagleg greind smit fylgja neikvæðri tvíkostadreifingu \[c_t \sim NegBin\left(\mu_c,\mu_c+\frac{\mu_c^2}{\psi^2}\right)\] þar sem \[\mu_c=E[c_t]=R_{t,u}\sum_{\tau=0}^{t-1}p_{\tau,u}c_{\tau}g_{t-\tau} + R_s\sum_{\tau=0}^{t-1}p_{\tau,s}c_{\tau}g_{t-\tau}\] og \(\psi \sim \mathcal{N}^+(0,1)\). Gert er ráð fyrir að logrinn á \(R_{t,u}\) fylgi slembigangi af annarri gráðu, þ.e. \[\log(R_{t,u}) \sim \mathcal{N}(2\log(R_{t-1,u})+\log(R_{t-2,u}),\sigma^2_R)\] með eftirfarandi fyrirframdreifingum \[\log(R_{1,u}) \sim \mathcal{N}(0,1),\quad \log(R_{2,u}) \sim \mathcal{N}(0,1),\quad \sigma_R \sim \mathcal{N}^+(0,1)\] Að lokum er fyrirframdreifingin á smitstuðli þeirra sem eru í sóttkví \[\log(R_s) \sim \mathcal{N}(0,1)\]

Heimildir

Anne Cori, Neil M. Ferguson, Christophe Fraser, Simon Cauchemez.(2013). A New Framework and Software to Estimate Time-Varying Reproduction Numbers During Epidemics, American Journal of Epidemiology, 178(9), 1505-1512. Sótt 25. september af https://doi.org/10.1093/aje/kwt133