Análise de Dados com o Software R:
Métodos Estatísticos, Computacionais e Econométricos

Prof. Adriano Azevedo Filho (azevedofilho@usp.br)

Modelo Média-Variância e Otimização de Carteiras de Investimento

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Conteúdo do Módulo

 1 - Introdução

 2 - Modelo média-variância na otimização de carteiras de investimento
 
 3 - Caso geral de otimização envolvendo 2 investimentos
 
 4 - Caso geral de otimização envolvendo m investimentos
 
 5 - Modelo média-variância:  exemplos numéricos
 
 6 - Referências adicionais sobre o assunto

1 - Introdução

Este módulo mostra uma aplicação das propriedades da esperança e da variância na solução um problema clássico em finanças e economia: otimização de carteiras ou portfólios de investimento.

Para um bom aproveitamento do material deste módulo é recomendável uma boa familiarização com o conteúdo do módulo anterior, que deve ser usado como referência quando necessário.

2 - Modelo média-variância na otimização carteiras de investimento

2.1 Histórico, definições e premissas do modelo

O modelo média-variância foi concebido durante a década de 1950 por Harry Markowitz e aprimorado por discípulos como William Sharpe durante a década de 1960.

Pelas contribuições, Markowitz e Sharpe receberam o prêmio Nobel de Economia em 1990.

Esse modelo, e suas variantes, representam o principal paradigma existente no entendimento e otimização de carteiras de investimento ou porfólios de investimento, de grande impacto na prática da administração financeira e na economia de finanças.

Risco = Variância?: Na área de finanças é comum se igualar risco com variância ou desvio-padrão, mas isso deve ser entendido com muito cuidado. A noção de risco é certamente mais complexa, podendo ser caracterizada de várias formas. A variância é apenas uma forma (imperfeita mas prática) de se caracterizar risco.

Definições e premissas do modelo

Faremos a seguir uma introdução às definições e premissas do modelo de uma forma relativamente intuitiva, tentando evitar uma formalisação excessiva.

Carteira de investimentos: conjunto de investimentos realizados por um determinado investidor ou empresa (ex. 1000 ações da petrobras + 200 kg de ouro + 2 apartamentos de aluguel)
Retorno da carteira de investimento: variação percentual do valor dos ativos na carteira de investimento num dado horizonte de tempo (ex: uma carteira que valia $ 100 no período 0 e 110 no período 1 teve um retorno de 10% nesse período)
Magnitude do retorno: é caracterizado pela esperança matemática do retorno na carteira de investimentos, que representa a percepção/entendimento do investidor para o período futuro.
Risco do retorno: é caracterizado pela variância do retorno na carteira de investimentos, que representa a percepção/entendimento do investidor para o período futuro.
Preferências: os investidores têm suas preferências com relação a investimentos fundamentadas na magnitude do retorno e no risco do retorno, caracterizados por suas percepções quanto à esperança matemática e variância téorica de seus retornos.

Se $R_1$ e $R_2$ são v.a.s que representam o retorno de 2 diferentes carteiras de investimento, representadas por $I_1$ e $I_2$:

a notação $I_1 \succ I_2$ indica que $I_1$ é estritamente preferida à $I_2$
a notação $I_1 \succeq I_2$ indica que $I_1$ é preferida ou equivalente à $I_2$
a notação $I_1 \simeq I_2$ indica que a carteira $I_1$ é equivalente à carteira $I_2$.
Operacionalização das preferências: Se $R_1$ e $R_2$ são v.a.s que representam o retorno de 2 diferentes carteiras de investimento alternativas, representadas por $I_1$ e $I_2$ temos:
$I_1\succeq I_2$ se $E(R_1)\ge E(R_2)$ e $V(R_1)\le V(R_2)$

Alguns exemplos

Considere que $I_1$ e $I_2$ são carteiras de investimento com retornos definidos pelas v.a.s $R_1$ e $R_2$, em que

$E(R_i)=\mu_i$ e $V(R_i)=\sigma_i^2$ para $i=1,\,2$.

Se $\mu_1=10$, $\mu_2=12$, $\sigma_1^2=4$ e $\sigma_2^2=2$ temos

$I_2\succ I_1$

Se $\mu_1=10$, $\mu_2=12$, $\sigma_1^2=4$ e $\sigma_2^2=4$ temos

$I_2\succ I_1$

Se $\mu_1=10$, $\mu_2=10$, $\sigma_1^2=1$ e $\sigma_2^2=2$ temos

$I_1\succ I_2$

Se $\mu_1=10$, $\mu_2=12$, $\sigma_1^2=4$ e $\sigma_2^2=2$ temos

$I_1 \succeq ou \preceq \ I_2$?: Nesse último caso, não há como estabelecer diretamente as preferências sem um exame mais cuidadoso (da própria função utilidade no contexto econômico). O investimento tem um retorno de maior magnitude mas envolve mais risco medido pela variância. O resultado dependerá da aversão ao risco do investidor. Mas isso não será um impeditivo para operacionalização do modelo.

2.2 Análise de carteira com 2 investimentos

Suponha que temos dois investimentos $I_1$ e $I_2$ e podemos alocar frações $\theta$ e $1-\theta$ do nosso capital $k$ em cada um dos 2 investimentos, com $\theta\in [0,1]$.
Os retornos de cada um dos investimentos são representados por $R_1$ e $R_2$, com $E(R_i)=\mu_i$ e $V(R_i)=\sigma_i^2$ para $i=1,\,2$, e $\rho$ é o coeficiente de correlação entre esses retornos.
Se $R$ representa o retorno numa alocação de capital com $\theta$ em $I_1$ e $1-\theta$ em $I_2$ temos
$k\,(1+R)= \theta k\,(1+R_1)+ (1-\theta)\,(1+R_2)$
$R=\theta R_1+(1-\theta)\,R_2$ ou $R(\theta)=\theta R_1+(1-\theta)\,R_2$

Nessa última expressão, estamos deixando claro que $R$, o retorno global, é uma função do valor definido para $\theta$, que pode ser definido pelo investidor (é uma variável de decisão).

Nessa expressão fica também claro que se $\theta=1$ o investidor colocará todo o seu capital no investimento $I_1$ e se $\theta=0$ colocará todo ele no investimento $I_2$.

Qual é o melhor valor para $\theta$? A má notícia é que pode não existir uma resposta definitiva a essa questão. A boa notícia é que pelo menos poderemos descartar muitos valores de $\theta$ que são claramente indesejáveis, sob a ótica do modelo média-variância e, em alguns casos, até mesmo obter respostas definitivas.

2.3 Caso mais simples (2 investimentos): $R_1$ e $R_2$ independentes com $\mu_1=\mu_2=\mu$ e $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ (iguais)

Um primeiro exame descuidado dessa situação pode levar a conclusão de que os 2 investimentos são idênticos e que tanto faz escolhermos $\theta=0$, $\theta=1$ ou qualquer outro valor. Cuidado: esse não é um entendimento correto.

Calculando $E[R(\theta)]$ e $V[R(\theta)]$:

$E[R(\theta)]=E[\theta R_1+(1-\theta)\,R_2]$
$E[R(\theta)]=\theta\,E[R_1]+(1-\theta)\,E[R_2]$

mas nesse caso simples temos $\mu_1=\mu_2=\mu$, portanto

$E[R(\theta)]=\theta\,\mu+(1-\theta)\,\mu=\mu$

qualquer que seja o valor de $\theta$ temos $E[R(\theta)]=\mu$.

Para a variância temos:

$V[R(\theta)]=V[\theta R_1+(1-\theta)\,R_2]$
$V[R(\theta)]=\theta^2\,V[R_1]+(1-\theta)^2\, V[R_2]$ (pela propriedade da variância e pela independência)

Como as variâncias são iguais temos que $V[R_1]=V[R_2]=\sigma^2$ e

$V[R(\theta)]=[\theta^2 + (1-\theta)^2]\, \sigma^2$

Se entendemos a variância como risco, faz sentido encontrarmos o valor de $\theta^*$ que minimiza esse risco que será definido por

$\theta^*= \DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}\argmin_{\theta\,\in\, [0,\; 1]}\; [\theta^2 + (1-\theta)^2]\, \sigma^2$

Para tanto podemos usar as condições de primeira ordem dadas por:

$\displaystyle \frac{d\,V[R(\theta)] }{d\, \theta}\;\displaystyle \bigg|_{\theta=\theta^*}= [2 \theta^* + 2 (1-\theta^*)(-1)]\, \sigma^2=0$

Dividindo os 2 lados da última expressão por $2 \sigma^2$ chegamos a

$\theta^* - (1-\theta^*)= 0$ ou $\theta^*=1/2$

Nota: como $\displaystyle \frac{d^2\,V[R(\theta)] }{d\, \theta^2}\;\;= 4\sigma^2 >0$ sabemos que de fato temos um mínimo global (a função é estritamente convexa).

Deveríamos, nesse caso, alocar metade do nosso capital $k$ em cada um dos investimentos $I_1$ e $I_2$ obtendo a a variância mínima dada por:

$V[R(\theta^*)]=[(1/2)^2 + (1/2)^2]\, \sigma^2=1/2\, \sigma^2$

Ou seja, na condição ideal em que $\theta^*=1/2$ teríamos:

$E[R(\theta^*)]= \mu$ e $V[R(\theta^*)]=1/2\; \sigma^2$, uma situação que tem a mesma magnitude de retorno e metade da variância (entendida como risco).

2.4 Problemas sugeridos para estudo

A variância ou o desvio padrão do retorno de um investimento ex-ante (antes de se saber exatamente qual será esse retorno, no momento do investimento) é a única e melhor forma de se medir o risco associado a esse investimento. Falso ou Verdadeiro?
Um investidor tem dois investimentos, $I_1$ e $I_2$, com retornos caracterizados pelas v.a.s $R_1$ e $R_2$, independentes, com $E(R_1)=E(R_2)=\mu$ (mesma magnitude de retorno), e $V(R_1)=\sigma^2$ e $V(R_2)=c\,\sigma^2$ onde $c$ é um número entre 2 e 10 (a variância de $R_2$ é maior que a de $R_1$). (a) Calcule a alocação ótima de capital $\theta$ e $1-\theta$ em $I_1$ e $I_2$, segundo o modelo média-variância. O resultado será uma função de $c$. (b) Obtenha a variância do retorno nessa carteira de investimentos ótima, e observe que essa variância será menor que $\sigma^2$.
Um investidor tem dois investimentos, $I_1$ e $I_2$, com retornos caracterizados pelas v.a.s $R_1$ e $R_2$, com $E(R_1)=E(R_2)=\mu$ (mesma magnitude de retorno), $V(R_1)=V(R_2)=\sigma^2$ (mesma variância) e coeficiente de correlação $\rho$. (a) Calcule a alocação ótima de capital $\theta$ e $1-\theta$ em $I_1$ e $I_2$, segundo o modelo média-variância. (b) Obtenha a variância do retorno na carteira de investimentos ótima em função de $\rho$. (c ) Faça um gráfico para visualizar esse efeito. (d) Qual é a pior e a melhor situação em termos de $\rho$?

3 - Caso geral de otimização envolvendo 2 investimentos

No tópico anterior, examinamos o comportamento de 2 investimentos com retornos independentes, de mesma esperança e mesma variância. Neste tópico examinaremos o caso geral.

3.1 Premissas do caso geral envolvendo $I_1$ e $I_2$ (2 investimentos)

$R_1$ e $R_2$: retornos incertos associados a $I_1$ e $I_2$
$E(R_i)=\mu_i$ e $V(R_i)=\sigma_i^2$, $i=1,\, 2$
coeficiente de correlação entre $R_1$ e $R_2$: $\rho$
$\theta$ e $1-\theta$: proporção do capital $k$ em $I_1$ e $I_2$

E finalmente temos o retorno global $R$ definido por

$R=\theta R_1 + (1-\theta) R_2$

Usando as propriedades da esperança matemática e da variância temos

$E[R(\theta)]=E[\theta R_1+(1-\theta)\,R_2]$
$E[R(\theta)]=\theta E[R_1]+(1-\theta)\,E[R_2]$
$E[R(\theta)]=\theta \mu_1+(1-\theta)\,\mu_2$

e para a variância:

$V[R(\theta)]=V[\theta R_1+(1-\theta)\,R_2]$
$V[R(\theta)]=\theta^2 \sigma_1^2+(1-\theta)^2 \sigma_2^2 + 2 \theta (1-\theta) \rho \sigma_1 \sigma_2$

Para visualizar melhor a natureza do efeito de $\theta$ sobre $E[R(\theta)]$ e $V[R(\theta)]$ vamos examinar graficamente uma situação específica, em que $\mu_1=10$, $\mu_2=12$, $\sigma_1=1$, $\sigma_2=2$ e $\rho=-0{,}4$

m1<-10  ## esperança de R1
m2<-12  ## esperança de R2
s1<-1   ## desvio-padrão de R1
s2<-2   ## desvio-padrão de R2
r<- -0.5 ## coeficiente de correlação
theta <-seq(0,1,0.05) ## vários valores para theta a proporção do capital em I1
E<-theta*m1+(1-theta)*m2
V<-theta^2*s1^2+(1-theta)^2*s2^2+2*theta*(1-theta)*r*s1*s2
plot(V,E,type="l",xlab="V(R) - risco ", ylab="E(R) - retorno ",xlim=c(0,4))
title(main="Fronteira Eficiente (2 investimentos)")

O gráfico mostra a evolução da $E(R(\theta))$ e $V(R(\theta))$. O valor de $\theta$ varia de 0 a 1, iniciando no topo superior direito da curva, com $\theta=0$ e terminando com $\theta=1$. Todo o segmento em preto corresponde à chamada fronteira eficiente, ou seja, pontos que dominam ou são superiores a outros pontos do gráfico. Para qualquer ponto no segmento ineficiente (em vermelho) podemos encontrar um valor de $\theta$ que leva a um investimento de maior magnitude do retorno com o mesmo risco, que será certamente melhor dentro da estrutura de preferências estabelecida.

3.2 Efeito do coeficiente de correlação

O próximo gráfico mostra, dentro das mesmas premissas anteriores, o efeito de se alterar o valor de $\rho$ no formato da curva. A situação ideal é a que $\rho$ atinge o valor minimo possível (-1), mas isso dependeria da natureza dos investimentos, pois o valor de $\rho$ não está sob o controle do investidor, somente $\theta$ está.

for(r in c(-0.9,-0.5,0,0.5,0.9)){
  V<-theta^2*s1^2+(1-theta)^2*s2^2+2*theta*(1-theta)*r*s1*s2
  lines(V,E,type="l")
  text(V[13]-0.1,10.7,as.character(r),col="red",pos=4)
}
text(-0.3,10.7,expression(rho),col="red",cex=1.4)

3.3 Problemas sugeridos para estudo

Um investidor tem dois investimentos, $I_1$ e $I_2$, com retornos caracterizados pelas v.a.s $R_1$ e $R_2$, com $E(R_1)=0{,}15$ e $E(R_2)=0{,}10$, $\sigma_1=0{,}04$, $\sigma_2=0{,}02$ e coeficiente de correlação $\rho$ (use $\rho=-0,5$, $\rho=0$ e $\rho=0,5$). As variáveis $\theta$ e $1-\theta$ representam as proporções de capital em $I_1$ e $I_2$. Com relação a essa situação (e para cada $\rho$): (a) faça um gráfico da fronteira eficiente das possibilidades de investimento em $I_1$ e $I_2$. (b) Calcule exatamente quanto será o desvio padrão do retorno quando temos $\theta=0{,}5$ (a carteira tem iguais proporções de capital em cada investimento) (c ) Qual será o valor da magnitude do retorno da carteira de mínima variância possível em cada caso? (Nota: observe que nesse caso o valor da magnitude da carteira e da variância são diretamente especificados por $\theta$, dado que temos apenas 2 investimentos.)

4 - Caso geral de otimização envolvendo $m$ investimentos

Na situação anterior, envolvendo somente 2 investimentos, foi fácil derivar a fronteira eficiente dado que $E[R(\theta)]$ e $V[R(\theta)]$ eram definidos por apenas 1 parâmetro, $\theta$, que definia as proporções de capital empregado nos investimento $I_1$ e $I_2$.

Consideraremos agora o caso de $m$ investimentos, algo que exigirá um pouco mais de esforço para a análise e derivação da fronteira eficiente, assim como identificação das carteiras de investimento que caracterizam essa fronteira. A caracterização desta situação mais geral exigirá a notação matricial.

4.1 Notação utilizada

Considere uma situação com $m$ investimentos $I_1, I_2, \ldots, I_m$ com
$\def\X{{\mathbf X}} \def\x{{\mathbf x}} \def\vecR{{\vec{R}}} \def\vectheta{{\vec{\theta}}} \def\vecmu{{\vec{\mu}}} \def\bfa{{\boldsymbol{a}}} \def\bfS{{\boldsymbol{\Sigma}}} \def\bfV{{\mathbf{V}}} \def\var{{\rm Var}} \def\cov{{\rm Cov}} \def\CV{{\rm cv}} \def\E{{\rm E}} \def\B{{\rm b}} \vecR=\left(\begin{array}{c} R_1\\ R_2\\ \vdots\\ R_m\\ \end{array} \right)$ $\vecmu=\left(\begin{array}{c} \mu_1\\ \mu_2\\ \vdots\\ \mu_m\\ \end{array} \right)$ $\vectheta=\left(\begin{array}{c} \theta_1\\ \theta_2\\ \vdots\\ \theta_m\\ \end{array} \right)$ e $\bfV=\left(\begin{array}{cccc} \sigma_{11}&\sigma_{12}&\ldots&\sigma_{1m}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}&\ldots&\sigma_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \sigma_{m1}&\sigma_{m2}&\ldots&\sigma_{mm}\\ \end{array}\right)$
$\vecR$ é um vetor com as v.a.s que indicam os retornos dos $m$ investimentos, $\vecmu$ é um vetor com as esperanças dos retornos, ou $E[\vecR]$, $\vectheta$ é um vetor com as proporções do capital $k$ em cada investimento e $\bfV$ representa a matriz de covariância, com $\sigma_{ij}=\mbox{cov}(R_i,R_j)$.

Uma dada carteira de investimentos será definida pelo investidor por $\vectheta$, as proporções de seu capital alocado em cada um dos $m$ investimentos. O retorno (incerto) dessa carteira será dado por:

$R(\vectheta)=\theta_1\, R_1+\theta_2\,R_2+\ldots+\theta_m\, R_m$
ou na notação matricial: $R(\vectheta)=\vectheta\,^{\small T}\,\vecR$ com $\sum_{i=1}^m \theta_i =1$ e $\theta_i\ge 0$ (dessas restrições pode-se concluir que $\theta_i\in [0,1]$)

Nota: essa restrição nos $\theta_i$ é usual, mas existem outra possibilidades que incluem, por exemplo, a possibilidade de “venda a descoberto do ativo”. Essas possibilidades não serão abordadas aqui.

A esperança e variância teórica dessa carteira serão caracterizados por:

$E[R(\vectheta)]=\vectheta\,^{\small T}\,\vecmu$
$V[R(\vectheta)]=\vectheta\,^{\small T}\,\bfV\,\vectheta$

4.2 Carteira de mínima variância (mínimo risco) para uma magnitude de retorno definida

Para encontrarmos a carteira de mínima variância que nos dê uma magnitude de retorno $\mu_0$, ou seja, $E[R(\vectheta)]=\mu_0$ devemos solucionar o problema de otimização (minimização):

$\vectheta\,^*(\mu_0)=\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min} \displaystyle \argmin_{\vectheta}\; V[R(\vectheta)]$ sujeito a $E[R(\vectheta)]=\mu_0 \;\;\;\sum_{i=1}^m \theta_i =1 \;\;\;\mbox{e}\;\;\;\theta_i\ge 0$, $i=1,\ldots,m$.

A notação $\vectheta\,^*(\mu_0)$ deixa clara a dependência no valor de $\mu_0$ definido.

Ou, substituindo as expressões algébricas para $E[R(\vectheta)]$ e $V[R(\vectheta)]$:

$\vectheta\,^*(\mu_0)=\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min} \displaystyle \argmin_{\vectheta}\; \vectheta\,^{\small T}\,\bfV\,\vectheta$ sujeito a $\vectheta\,^{\small T}\,\vecmu=\mu_0\;\;\;\sum_{i=1}^m \theta_i =1\;\;\;\mbox{e}\;\;\;\theta_i\ge 0$, $i=1,\ldots,m$.

Esse é um problema de otimização que é resolvido por uma técnica denominada programação quadrática com restrições, disponível no R e em outros programas que tenham recursos de otimização de um modo geral. A abordagem que utilizaremos, no próximo tópico, será inicialmente pelo uso do package quadprog do R, para resolver o problema de otimização na programação quadrática. Também indicaremos, no tópico seguinte, como utilizar o package fPortfolio do R, que tem recursos específicos para análise de carteiras de investimento.

4.3 Problemas sugeridos para estudo

Num problema típico de programação quadrática envolvendo o modelo média-variância, considerando $m$ possíveis investimentos, como os explorados nesse tópico, quantas são as restrições impostas para os valores de $\theta_i$, consideradas no problema de minimização de variância? Quantas dessas restrições são definidas por desigualdades? Quantas dessas restrições são definidas por igualdades?
Obtenha a expressão algébrica em $\theta_1$ e $\theta_2$ definida por $\vectheta\,^T \bfV\,\vectheta$, onde temos $\bfV=\left(\begin{array}{rr} 4&-1\\ -1&1\\ \end{array}\right)$ e $\vectheta=\left(\begin{array}{c} \theta_1\\ \theta_2\\ \end{array}\right)$.

5 - Modelo média-variância: exemplos numéricos

5.1 Dados utilizados

Considere o data frame abaixo que contém informações das taxas reais de retorno anuais de ações (a), medido pelo índice SP500, notas do tesouro americano (n), bonds (b) e ouro (g). As taxas já estão líquidas do efeito da inflação e correspondem ao período 1928 a 2010. O ano não consta no data frame. A primeira coluna mostra o número da linha da observação.

rm(list=ls()) 
dinvest<-read.csv2("http://ihbs.com.br/html/dinvest.csv")
anos<-1928:2010
dinvest[anos>=1995,1:4] ## observações de 1995 até 2010

##             a          n          b           g
## 68  0.3466159  0.0298159  0.2094159 -0.02278332
## 69  0.2049752  0.0169752 -0.0189248 -0.02288879
## 70  0.3015760  0.0334760  0.0823760 -0.17246085
## 71  0.2672810  0.0311810  0.1330810 -0.13728613
## 72  0.1820544  0.0182544 -0.1093456 -0.07903135
## 73 -0.1241681  0.0237319  0.1327319 -0.03386810
## 74 -0.1340172  0.0211828  0.0401828 -0.04450474
## 75 -0.2434691 -0.0071691  0.1274309  0.11022175
## 76  0.2648051 -0.0084949 -0.0149949  0.13856605
## 77  0.0748444 -0.0202556  0.0123444  0.08644769
## 78  0.0141434 -0.0040566 -0.0054566  0.05000519
## 79  0.1306935  0.0213935 -0.0058065  0.28280334
## 80  0.0139873  0.0055873  0.0612873  0.10173884
## 81 -0.3667141  0.0149859  0.2000859  0.21994112
## 82  0.2319867 -0.0258133 -0.1384133  0.08328861
## 83  0.1336428 -0.0136572  0.0696428  0.21330145

Suponha que o investidor deseja utilizar em sua análise somente esse período mais recente, e acredita que a média dos retornos e a matriz de covariância observada de 1995 a 2010, são boas estimativas para as esperanças ou magnitudes dos retornos e a matriz de covariância dessas classes de ativos, que será observada no próximo período. Certamente modelos mais elaborados poderiam ser utilizados para melhor estimativa desses premissas, mas isso é um assunto mais avançado. Para facilitar a análise, além da definição da matriz de covariância (V) é apresentada também a matriz de correlação dos retornos.

dinvest<-dinvest[anos>=1995,1:4] ## selecionando observações de 1995 até 2010
m<-apply(dinvest,2,mean) ## encontrando a média das colunas (variáveis do data frame)
m

##           a           n           b           g 
## 0.081139825 0.008571075 0.048477325 0.048343173

V<-cov(dinvest)  ## matriz de covariância (variâncias na diagonal)
V

##               a             n             b             g
## a  0.0429575054  0.0004094567 -0.0070543979 -0.0097120644
## n  0.0004094567  0.0003704263  0.0008674222 -0.0013340206
## b -0.0070543979  0.0008674222  0.0097850534 -0.0004842956
## g -0.0097120644 -0.0013340206 -0.0004842956  0.0169382740

cor(V)           ## matriz de correlação

##            a          n          b          g
## a  1.0000000  0.3150477 -0.7586738 -0.7447639
## n  0.3150477  1.0000000  0.3141085 -0.8583740
## b -0.7586738  0.3141085  1.0000000  0.2157190
## g -0.7447639 -0.8583740  0.2157190  1.0000000

Os dados mostram que as ações (pelo SP500) tiveram um retorno médio maior (em torno de 8,1%) e que há um bom potencial para ganhos de redução de risco pela combinação desses investimentos, em função de correlações negativas entre essas classes de ativos. Por exemplo a correlação entre os retornos do ouro e ações foi próxima de -0,74.

5.2 Comparação de carteiras de investimento

Vamos comparar 2 carteiras de investimento

$\vectheta_1=\left(\begin{array}{c} 0{,}25\\ 0{,}25\\ 0{,}25\\ 0{,}25\\ \end{array} \right)$ $\vectheta_2=\left(\begin{array}{c} 0,4\\ 0,2\\ 0,2\\ 0,2\\ \end{array} \right)$

A primeira, $\vectheta_1$ divide o capital em 4 partes iguais nos investimentos. A segunda, $\vectheta_2$ coloca 40% em ações e 20% em cada uma das outras classes de ativos. Os ativos estão

Encontrando $E[R(\vectheta_1)]$ e $V[R(\vectheta_2)]$:

theta1=c(0.25,0.25,0.25,0.25)
E<-t(theta1)%*%m          ## encontrando E[R(theta1)]
Var<-t(theta1)%*%V%*%theta1  ## V[R(theta1)]
DP<-sqrt(t(theta1)%*%V%*%theta1)
cat("E(R)=",E,"V(R)=",Var,"DP(R)=",DP)

## E(R)= 0.04663285 V(R)= 0.002214716 DP(R)= 0.04706077

Encontrando $E[R(\vectheta_2)]$, $V[R(\vectheta_2)]$ e o desvio padrão associado

theta2=c(0.4,0.2,0.2,0.2) 
E<-t(theta2)%*%m          ## encontrando E[R(theta2)]
Var<-t(theta2)%*%V%*%theta2  ## V[R(theta2)]
DP<-sqrt(t(theta2)%*%V%*%theta2) ## desvio padrão
cat("E(R)=",E,"V(R)=",Var,"DP(R)=",DP)

## E(R)= 0.05353424 V(R)= 0.005263759 DP(R)= 0.07255176

A carteira definida por $\vectheta_2$ tem a magnitude do retorno esperado maior (5,353% em lugar de 4,7% na carteira $\vectheta_2$) a custa de um risco maior (desvio padrão em torno de 7,3% em lugar de 4,3% na carteira $\vectheta_2$.

5.3 Comparação da carteiras com magnitude de retorno fixa e variância mínima

Pergunta importante: qual seria por exemplo a carteira que tem a magnitude do retorno esperado 5,3% mas tem risco mínimo, medido pela variância do retorno?

A resposta a essa pergunta vem pela solução do seguinte problema de otimização:

$\vectheta\,^*(0{,}05353)=\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min} \displaystyle \argmin_{\vectheta}\; \vectheta\,^{\small T}\,\bfV\,\vectheta$ sujeito a $\vectheta\,^{\small T}\,\vecmu=0{,}05353\;\;\;\sum_{i=1}^4 \theta_i =1\;\;\;\mbox{e}\;\;\;\theta_i\in[0,1]$, $i=1,\ldots,m$.

Nesse caso $\vecmu$ e $\bfV$ serão definidos pelo vetor de médias e pela matriz de covariâncias estimadas a partir do conjunto de dados. A solução será dada com apoio do package quadprog que implementa funções para solução de problemas de programação quadrática (instale o package quadprog primeiro e veja as instruções sobre uso do quadprog):

require(quadprog)

## Warning: package 'quadprog' was built under R version 3.1.3

dvec<-c(0,0,0,0)
Amat<-matrix(c(1,1,1,1,m,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1),4,6)
bvec<-c(1,0.05353,0,0,0,0)
Dmat<-V
thetamin<-solve.QP(Dmat,dvec,Amat,meq=2,bvec=bvec)$solution
thetamin  ## solução (note que os valores somam 1)

## [1] 0.23162031 0.06199216 0.41754704 0.28884049

Os resultados desse portfólio “otimizado” seriam:

E<-t(thetamin)%*%m          ## encontrando E[R(thetamin)]
Var<-t(thetamin)%*%V%*%thetamin  ## V[R(thetamin)]
DP<-sqrt(t(thetamin)%*%V%*%thetamin) ## desvio padrão
cat("E(R)=",E,"V(R)=",Var,"DP(R)=",DP)

## E(R)= 0.05353 V(R)= 0.002653206 DP(R)= 0.05150928

Observe que essa carteira otimizada tem o mesmo retorno médio de 5,5353% da carteira de investimento anterior ($\vectheta_2$), mas com um desvio padrão de 5,151% (em lugar de 7,2% na situação da carteira ($\vectheta_2$). Sendo claramente uma melhor carteira pelos critérios considerados.

5.4 Obtenção da fronteira eficiente

Para estimar a localização da fronteira eficiente, e sua composição, numa situação como a que acabou de ser examinada, poderiamos definir uma sequência de valores para a magnitude do retorno e obter, para cada caso, a solução de mínima variância solucionando o problema de otimização definido anteriormente. A seguir, esses valores poderiam ser plotados em um gráfico.

Abaixo está uma possível implementação desses procedimentos com os dados do problema do tópico anterior. Para melhorar a escala, em lugar de apresentar a variância no eixo x, é apresentado o desvio padrão, num gráfico também usual para apresentar a fronteira eficiente.

minm<-0.0086  ## mínimo valor de E(R)
maxm<-0.0811  ## máximo valor de E(R)
mvec<-seq(minm,maxm,0.0001)
Evec<-0
Vvec<-0
require(quadprog)
for(i in 1:length(mvec)){
  dvec<-c(0,0,0,0)
  Amat<-matrix(c(1,1,1,1,m,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1),4,6)
  bvec<-c(1,mvec[i],0,0,0,0)
  Dmat<-V
  thetamin<-solve.QP(Dmat,dvec,Amat,meq=2,bvec=bvec)$solution
  thetamin  ## solução (note que os valores somam 1)
  Evec[i]<-t(thetamin)%*%m          ## encontrando E[R(thetamin)]
  Vvec[i]<-t(thetamin)%*%V%*%thetamin  ## V[R(thetamin)]
}
plot(sqrt(Vvec),Evec,type="l",xlab="DP(R) - risco", ylab="E(R) - retorno",
     xlim=c(0,0.22),ylim=c(0,0.09))
title(main="fronteira eficiente")
sqrt(diag(V))

##          a          n          b          g 
## 0.20726192 0.01924646 0.09891943 0.13014712

##           a           n           b           g 
## 0.081139825 0.008571075 0.048477325 0.048343173

points(sqrt(diag(V)),m,pch=c("a","n","b","g"),col="red")

Todas as carteiras possíveis estarão na região à direita da curva. O pontos à esquerda ou acima da curva, seriam desejáveis, mas não podem ser alcançados pela combinação dos investimentos considerados na análise. As letras indicam a posição de uma carteira de investimentos que contem somente cada um dos ativos considerados (a letra é o identificador do ativo). Uma carteira que contenha somente ouro (g), resultará numa magnitude de retorno de cerca de 4,83% e desvio padrão 0,1301.

É possível observar que há, na fronteira eficiente, uma carteira possível com magnitude do retorno próxima de 7%, mas envolvendo muito menos risco que na situação em que todo o capital está em ações (a). Qual seria essa carteira? Vamos resolver o problema de minimização da variância, como fizemos no tópico anterior, fixando a magnitude do retorno em 0,07:

require(quadprog)
dvec<-c(0,0,0,0)
Amat<-matrix(c(1,1,1,1,m,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1),4,6)
bvec<-c(1,0.07,0,0,0,0)
Dmat<-V
thetamin<-solve.QP(Dmat,dvec,Amat,meq=2,bvec=bvec)$solution
thetamin  ## solução (note que os valores somam 1)

## [1] 0.6597023 0.0000000 0.1550400 0.1852576

E<-t(thetamin)%*%m          ## encontrando E[R(thetamin)]
Var<-t(thetamin)%*%V%*%thetamin  ## V[R(thetamin)]
DP<-sqrt(t(thetamin)%*%V%*%thetamin) ## desvio padrão
cat("E(R)=",E,"V(R)=",Var,"DP(R)=",DP)

## E(R)= 0.07 V(R)= 0.01566716 DP(R)= 0.1251685

Essa carteira otimizada envolveria aproximadamente 66% de ações (a), 0% de notas do tesouro (n), 15,5% de bonds (b) e 18,5% de ouro.

5.5 Package fPortfolio

O R dispõe de vários packages interessantes para análise de carteiras de investimento.
Um dos principais é o fPortfolio. Esse package foi desenvolvido dentro de um projeto/organização chamada (Rmetrics)[https://www.rmetrics.org/], cujo foco principal é o desenvolvimento de ferramentas do R para computações em finanças.

Inicialmente, instale o package fPortfolio no seu computador. A instalação desse package instalará muitos outros packages que são por ele utilizados nas computações nescessárias.

O conjunto de dados (incluido no package) utilizado na exemplificação do uso desse package envolve a variação diária dos retornos de 4 ativos.

require(fPortfolio)
## Carregue os dados (retornos de ativos) e selecione 4 ativos BKE, GG, GYMB, KRON
Data = SMALLCAP.RET ## conjunto de dados que vem no package fPortfolio
Data = Data[, c("BKE", "GG","GYMB", "KRON")]
head(Data) ## mostra as primeiras linhas do arquivo

## GMT
##                    BKE          GG         GYMB        KRON
## 1997-01-31  0.11500000 -0.11764706  0.005464481  0.03125000
## 1997-02-28 -0.09417041  0.06666667  0.070652172 -0.17424242
## 1997-03-31  0.05940594  0.03125000  0.091370560 -0.35779816
## 1997-04-30  0.10280374 -0.12121213  0.030232558  0.22857143
## 1997-05-30  0.44067797  0.03448276 -0.097065464  0.20930232
## 1997-06-30  0.08235294 -0.05000000 -0.039999999  0.05769231

## Calculos para obtenção da fronteira eficiente
Frontier = portfolioFrontier(Data)
## Plotagem da fronteira eficiente no gráfico
frontierPlot(Frontier, pch = 19, xlim = c(0, 0.25), ylim = c(0, 0.035))
grid()
abline(h = 0, col = "grey")
abline(v = 0, col = "grey")
minvariancePoints(Frontier, pch = 19, col = "red")
equalWeightsPoints(Frontier, pch = 15, col = "grey")
singleAssetPoints(Frontier, pch = 19, cex = 1.5, col = topo.colors(6))

## Achando a carteira de variância mínima com magnitude de retorno 0.03
Spec = portfolioSpec()  
setTargetReturn(Spec) = 0.03
Constraints = "LongOnly"
efficientPortfolio(Data, Spec, Constraints)

## 
## Title:
##  MV Efficient Portfolio 
##  Estimator:         covEstimator 
##  Solver:            solveRquadprog 
##  Optimize:          minRisk 
##  Constraints:       LongOnly 
## 
## Portfolio Weights:
##    BKE     GG   GYMB   KRON 
## 0.2559 0.2628 0.0000 0.4813 
## 
## Covariance Risk Budgets:
##    BKE     GG   GYMB   KRON 
## 0.2173 0.1358 0.0000 0.6468 
## 
## Target Returns and Risks:
##   mean    Cov   CVaR    VaR 
## 0.0300 0.1010 0.1490 0.1325 
## 
## Description:
##  Fri Mar 20 20:26:44 2015 by user: Adriano

Esse package é extremamente poderoso mas certamente exige algum esforço para conhecimento de todos os seus recursos.

Uso do package fPortfolio na otimização de carteira otimizada anteriormente (dinvest)

A seguir mostramos a utilização do package fPortfolio em exemplo trabalhado diretamente por métodos de otimização (data frame dinvest). Mostraremos como usar o package na estimativa da fronteira eficiente e obtenção de carteiras que tenham características específicas e algumas opções do sistema.

Os dados do data frame dinvest devem ser transformados para o formato de séries temporais (exigência do package) com ajuda do comando as.timeSeries (package timeSeries, que deve ser instalado), da forma operacionalizada no código a seguir. Note que as médias e matriz de covariância estão sendo computadas internamente pelos comandos (há formas de alterar essas informações):

require(fPortfolio)
require(timeSeries)
anos <- 1928:2010
dinvest <- read.csv2("http://ihbs.com.br/html/dinvest.csv")
dinvest <- dinvest[anos >= 1995, 1:4]
## conversão no tipo de dados "timeSeries"
Data<-as.timeSeries(dinvest)
## calculos para obtenção da fronteira eficiente
Frontier = portfolioFrontier(Data)
## Plotagem da fronteira eficiente no gráfico
frontierPlot(Frontier, col = c("orange", "orange"), pch = 19)
## adicinando informações ao gráfico
## pontos associados a possíveis carteiras
monteCarloPoints(Frontier, mcSteps = 5000, cex = 0.25, pch = 19)
## mostrando o local da carteira que com proporções iguais em cada ativo
equalWeightsPoints(Frontier, pch = 15, col = "red")
## mostrando os pontos relativos a cada ativo individualmente
singleAssetPoints(Frontier, pch = 19, cex = 1.5, col = topo.colors(6))
## fronteiras calculadas com ativos 2 a 2
twoAssetsLines(Frontier, lwd = 2, col = "orange")

Suponha que deseja achar a carteira de mínima variância, com 7% de magnitude de retorno, como fizemos anteriormente no tópico anterior (veja que o resultado é o mesmo)

## definição da magnitude do retorno E(R) a ser fixada
Spec <- portfolioSpec()
setTargetReturn(Spec) = 0.07
## definição do tipo de restrição a ser considerado
Constraints = "LongOnly"  ## sem venda a descoberto (impede valores negativos)
## para extrair as proporções dos ativos na carteira
thetamin <- getWeights(efficientPortfolio(Data, Spec, Constraints))
## calculando os os valores de m e V do data frame
m<-apply(dinvest,2,mean)
V<-cov(dinvest)
## verificando os resultados
E <- t(thetamin) %*% m  ## encontrando E[R(thetamin)]
Var <- t(thetamin) %*% V %*% thetamin  ## V[R(thetamin)]
DP <- sqrt(t(thetamin) %*% V %*% thetamin)  ## desvio padrão
cat("E(R)=", E, "V(R)=", Var, "DP(R)=", DP)

## E(R)= 0.07 V(R)= 0.01566716 DP(R)= 0.1251685

5.6 Problemas sugeridos para estudo

Usando o mesmo conjunto de dados do tutorial (dinvest), no período 1995 a 2010, obtenha $E(R)$ (magnitude do retorno) e $V(R)$ (risco do retorno) de uma carteira definida por $\vectheta=\left(\begin{array}{c} 0{,}30\\ 0{,}10\\ 0{,}30\\ 0{,}30\\ \end{array} \right)$. Essa carteira $\vectheta$ será melhor que as carteiras definidas por $\theta_1$ e $\theta_2$ especificadas no tutorial? Explique.
Use o data frame dinvest com os retornos anuais desde 1970 até 2010. Calcule a média dos retornos e a matriz de covariância. Com essas informações encontre o vetor $\vectheta\,^*$ que define a carteira de mínima variância com $E(R)=0{,}05$. Obtenha a fronteira eficiente. (a) Resolva utilizando o package quadprog; (b) resolva utilizando o package fPortfolio. Nas questões do questionário poderão ser solicitados outros períodos do data frame dinvest (deixe seu código pronto para responder questões envolvendo problemas como esses).

6 - Referências adicionais sobre o assunto

O material apresentado nesse módulo cobriu algumas idéias importantes a respeito do modelo média-variância. Os desdobramentos dessas idéias são volumosos e de grande interesse em economia e finanças. Esses desdobramentos incluem o equilíbrio em mercados financeiros, o CAPM (Capital Asset Pricing Model), o APT (Arbitrage Pricing Theory), métodos econométricos avançados para melhor estimativa das informações utilizadas nos modelos, e muitos outros assuntos.

As referências abaixo são algumas sugestões, de muitas possíveis, podem ajudar no aprofundamento nesses assuntos:

Bradfield, J. Introduction to the Economics of Financial Markets. Oxford University Press, 2007.
LeRoy, S; Werner, J.; Ross, S. Financial Economics. Cambridge University Press, 2000.
Markowitz, H.; Todd, P. ; Sharpe, W. Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Wiley, 2000
Mills, T; Markellor, R. The Econometric Modelling of Financial Time Series. Cambridge University Press, 2008.
Pfaff, B. Financial Risk Modelling and Portfolio Optimization with R. Wiley, 2013

Análise de Dados com o Software R:
Métodos Estatísticos, Computacionais e Econométricos

Prof. Adriano Azevedo Filho (azevedofilho@usp.br)

Modelo Média-Variância e Otimização de Carteiras de Investimento

sumário geral | anterior | próximo

1 - Introdução

2 - Modelo média-variância na otimização carteiras de investimento

2.1 Histórico, definições e premissas do modelo

Definições e premissas do modelo

Alguns exemplos

2.2 Análise de carteira com 2 investimentos

2.3 Caso mais simples (2 investimentos): \(R_1\) e \(R_2\) independentes com \(\mu_1=\mu_2=\mu\) e \(\sigma_1=\sigma_2=\sigma\) (iguais)

2.4 Problemas sugeridos para estudo

3 - Caso geral de otimização envolvendo 2 investimentos

3.1 Premissas do caso geral envolvendo \(I_1\) e \(I_2\) (2 investimentos)

3.2 Efeito do coeficiente de correlação

3.3 Problemas sugeridos para estudo

4 - Caso geral de otimização envolvendo \(m\) investimentos

4.1 Notação utilizada

4.2 Carteira de mínima variância (mínimo risco) para uma magnitude de retorno definida

4.3 Problemas sugeridos para estudo

5 - Modelo média-variância: exemplos numéricos

5.1 Dados utilizados

5.2 Comparação de carteiras de investimento

5.3 Comparação da carteiras com magnitude de retorno fixa e variância mínima

5.4 Obtenção da fronteira eficiente

5.5 Package fPortfolio

Uso do package fPortfolio na otimização de carteira otimizada anteriormente (dinvest)

5.6 Problemas sugeridos para estudo

6 - Referências adicionais sobre o assunto

Análise de Dados com o Software R: Métodos Estatísticos, Computacionais e Econométricos

Prof. Adriano Azevedo Filho (azevedofilho@usp.br)

Modelo Média-Variância e Otimização de Carteiras de Investimento

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1 - Introdução

2 - Modelo média-variância na otimização carteiras de investimento

2.1 Histórico, definições e premissas do modelo

Definições e premissas do modelo

Alguns exemplos

2.2 Análise de carteira com 2 investimentos

2.3 Caso mais simples (2 investimentos): \(R_1\) e \(R_2\) independentes com \(\mu_1=\mu_2=\mu\) e \(\sigma_1=\sigma_2=\sigma\) (iguais)

2.4 Problemas sugeridos para estudo

3 - Caso geral de otimização envolvendo 2 investimentos

3.1 Premissas do caso geral envolvendo \(I_1\) e \(I_2\) (2 investimentos)

3.2 Efeito do coeficiente de correlação

3.3 Problemas sugeridos para estudo

4 - Caso geral de otimização envolvendo \(m\) investimentos

4.1 Notação utilizada

4.2 Carteira de mínima variância (mínimo risco) para uma magnitude de retorno definida

4.3 Problemas sugeridos para estudo

5 - Modelo média-variância: exemplos numéricos

5.1 Dados utilizados

5.2 Comparação de carteiras de investimento

5.3 Comparação da carteiras com magnitude de retorno fixa e variância mínima

5.4 Obtenção da fronteira eficiente

5.5 Package fPortfolio

Uso do package fPortfolio na otimização de carteira otimizada anteriormente (dinvest)

5.6 Problemas sugeridos para estudo

6 - Referências adicionais sobre o assunto

Análise de Dados com o Software R:
Métodos Estatísticos, Computacionais e Econométricos