Regresión lineal simple

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Datos

grasas <- read.table("http://verso.mat.uam.es/~joser.berrendero/datos/EdadPesoGrasas.txt",header = TRUE)
names(grasas)

## [1] "peso"   "edad"   "grasas"

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head(grasas)

##   peso edad grasas
## 1   84   46    354
## 2   73   20    190
## 3   65   52    405
## 4   70   30    263
## 5   76   57    451
## 6   69   25    302

Análisis de correlación

Matriz de diagramas de dispersión

pairs(grasas)

A continuación se hará una cuantificación del grado de relación lineal, por medio de la matriz de coeficientes de correlación

cor(grasas)

##             peso      edad    grasas
## peso   1.0000000 0.2400133 0.2652935
## edad   0.2400133 1.0000000 0.8373534
## grasas 0.2652935 0.8373534 1.0000000

Con esto observamos que a medida que aumenta la edad de una persona, aumenta el contenido de grasa en su cuerpo con un indice de relación de 83% Esto explicado con un coeficiente de correlación de : 0.8373534

Recta de minimos cuadrados

regresion <- lm(grasas ~ edad, data= grasas)
summary(regresion)

## 
## Call:
## lm(formula = grasas ~ edad, data = grasas)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -63.478 -26.816  -3.854  28.315  90.881 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 102.5751    29.6376   3.461  0.00212 ** 
## edad          5.3207     0.7243   7.346 1.79e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 43.46 on 23 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7012, Adjusted R-squared:  0.6882 
## F-statistic: 53.96 on 1 and 23 DF,  p-value: 1.794e-07

Con base a lo estimado en el análisis de regresión lineal, obtenemos la ecuación de la recta de mínimos cuadrados

\[y= 102.5751 + 5.3207x\] ### Gráfica de la recta de mínimos cuadrados

plot(grasas$edad,grasas$grasas,xlab="Edad",ylab="Grasas")
abline(regresion)

Modelación (cálculo) de predicciones

nuevas.edades <- data.frame(edad=seq(30,50))
predict(regresion,nuevas.edades)

##        1        2        3        4        5        6        7        8 
## 262.1954 267.5161 272.8368 278.1575 283.4781 288.7988 294.1195 299.4402 
##        9       10       11       12       13       14       15       16 
## 304.7608 310.0815 315.4022 320.7229 326.0435 331.3642 336.6849 342.0056 
##       17       18       19       20       21 
## 347.3263 352.6469 357.9676 363.2883 368.6090

Inferencia en el modelo de regresión simple

Suponemos ahora que los datos proceden de un modelo de regresión simple, de la forma:

\[y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i, \ \ \ \ i=1,\ldots,n,\] Donde: * Los errores aleatorios $\epsilon_i$ son independientes con distribución normal 0 y varianza $\sigma^2$

Los errores típicos de los estimadores de los parámetros $ _0 y _1 $ se encuentran en la columna std error sería de manera correspondiente: 26.3675 y 0.7243

Cálculo del nivel de confianza

Intervalo de confianza para el 95% de los datos

confint(regresion)

##                 2.5 %     97.5 %
## (Intercept) 41.265155 163.885130
## edad         3.822367   6.818986

Intervalo de confianza para el 90% de los datos

confint(regresion, level = 0.9)

##                   5 %       95 %
## (Intercept) 51.780153 153.370132
## edad         4.079335   6.562018

Representación gráfica de los intervalos de confianza

nuevas.edades <- data.frame(edad=seq(30,50))
#Gráfico de dispersión y recta
plot(grasas$edad,grasas$grasas,xlab="Edad",ylab="Grasas")
abline(regresion)

#Intervalos de confianza de la respuesta media
# ic es una matriz con tres columnas:
#La primera es la predicción, y las otras son los extremos del intervalo
ic <- predict(regresion, nuevas.edades, interval = "confidence")
lines(nuevas.edades$edad, ic[, 2], lty=2)
lines(nuevas.edades$edad, ic[, 3], lty=2)

# Intervalos de predicción

ic <- predict(regresion, nuevas.edades, interval = "prediction")
lines(nuevas.edades$edad, ic[, 2], lty = 2, col = "red")
lines(nuevas.edades$edad, ic[, 3], lty = 2,col = "red")

U1A7

Fernando

21/9/2020