Dans un parc néo-zélandais, un guide propose quotidiennement l’observation de kiwis venant se nourrir à la tombée de la nuit. Soit \(T\) le temps d’attente (en heures) avant l’arrivée des animaux. On suppose que T suit une loi uniforme sur l’intervalle \([0, 0.5]\). On note \(f\) la fonction de densité de \(T\).

1. Donner l’expression analytique de f.

\[f(t) = 2 \times \mathbb{1}_{[0, 0.5]}(t)\] Fonction de densité de \(T \sim U(0, 0.5)\)

2. Calculer la fonction de répartition correspondante notée \(F\). En déduire (a) la probabilité d’attendre plus d’un quart-heure et (b) la probabilité d’attendre plus de cinq minutes mais moins d’un quart d’heure.

On a montrer en cours que:

\[ F_T(t)= P(T \le t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } t< 0 \\ 2t & \mbox{si } 0 \le t \le 0.5 \\ 1 & \mbox{si } t>0.5 \end{array} \right. \]


Fonction de répartition de \(T \sim U(0, 0.5)\)


En cours on calculer les probabilités demandées à l’aide de la fonction de répartition.
Ici on va montrer que ces probabilités ne sont que des aires sous le graphe de \(f\) (la densité de \(T\))


Proba d’attendre plus d’un quart-heure: \(P(T> \frac{1}{4}) = 0.5\)


Attendre plus de cinq minutes mais moins d’un quart d’heure: \(P(1/12\le T \le 1/4) = 1/3\)



5. Certaines nuits, les animaux apparaissent en moins de cinq minutes. En moyenne, combien de nuits le guide doit-il attendre pour observer un tel phénomène ? (Citer la loi discrète pertinente). On précisera l’hypothèse nécessaire au calcul.

Soit \(E_i\) l’événement “La ième nuit, les animaux apparaissent en moins de 5 minutes” avec \(i =1, 2, \dots\).

Alors \(P(E_i) = P(T<1/12) = 1/6\) quelque soit \(i\)

Soit \(X\) la variable aléatoire qui représente le rang de la nuit du “premier succès” (les animaux apparaissent en moins de 5 minutes).

Il est clair que le support de \(X\) est \(X(\Omega) = \{1, 2, \dots\}\). Si on suppose que les évènement \(E_i\) sont indépendant, alors \(X \sim G(1/6)\) (géométrique de paramètre \(p\)).

D’après le cours on sait que \(E(X) = \frac{1}{1/6} = 6\). Il faut donc attendre en moyenne 6 nuits pour observer ce phénomène.

On va maintenant approximer la solution à l’aide d’une simulation


Les 200 premières simulations


Il ne reste plus qu’à calculer la moyenne de \(X\)

On est très proche de la valeur théorique attendu.

Fonction de probabilité de \(X \sim G(1/6)\)