Soit \(X\) une variable aléatoire modélisant le nombre de crues enregistrées annuellement dans une station. On suppose que cette variable suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0.\)

On rappelle que si \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\)

\[P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2, \dots\] \(E(X) = \lambda\). Il y a donc en moyenne \(\lambda\) crus par an
\(Var(X) = \lambda\)

1. Sachant que la probabilité de passer une année sans crue est de 13%, quelle est le nombre moyen decrues par an ?

En cours, on a montré que \(\lambda = -\ln(0.13) \approx 2.04\)


Une représentation graphiques de la fonction de probabilité de \(X \sim \mathcal{P}(2.04)\)


Fonction de probabilité de loi de Poisson avec différent paramètre \(\lambda\)




2. Sous les mêmes hypothèses que la question précédente, quelle est la probabilité d’enregistrer au plus une crue sur une période de trois ans ? (On fera l’hypothèse que les survenue de crue sont indépendantes sur ces 3 années.)

Soit \(X_i\) le nombre de crues enregistrées pendant l’année \(i\), avec \(i=1,2,3\). D’après l’énoncé, les variables \(X_i\) sont indépendantes et suivent la même loi que \(X \sim \mathcal{P}(2.04)\)

Le nombre de crues dans les 3 ans est la variable aléatoire \(S = X_1 + X_2 +X_3\).
On cherche \(P(S \le1)\). En cours on a montrer que \(P(S \le1) \approx 1.56 \%\).

Ici, en va approximer la solution à l’aide d’une simulation


Les 500 premières simulations


Il ne reste plus qu’à calculer la proportion de “Oui”

Ainsi, d’après la simulation, \(P(S \le 1) \approx\) 1.57%.
La probabilité théorique calculer en cours est \(P(X \le 1) \approx 1.56 \%\)

Remarquons que l’on peut montrer que \(S = X_1 + X_2 +X_3 \sim \mathcal{P}(6.12), (3 \times2.04)\) car la somme de Poisson indépendantes est encore Poisson. Le paramètre étant la somme des paramètres.

On on peut donc aussi avoir graphiquement la valeur de \(P(S \le 1)\) (en rouge)