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Distribuciones de probabilidad

Funcione en R

En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones más importantes son:

Distribución Alias
Distribución binomial binom
Distribución de Poisson pois
Distribución normal norm
Distribución exponencial exp
Distribución t de Student t
Distribución chi2 chisq
Distribución F f

\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Funcion} & \text{Sifnificado} \text/{Uso} \text{Observacion}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios segun una distribucion especifica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \]

Distribución Exponencial

curve(dexp(x), from = 0, to = 10)

#repesenta la dencidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribución binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x

##  [1] 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1

#Genera 20 observaciones con distribución B(1,0.5)

Contando éxitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
##  8 12

e.g. Distribución normal

si \(X\) es una variable aletoria, con distribución normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(X\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a. normal estándar Z, es decir, un valor X tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

Para calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):

x <- rnorm(100, mean=10, sd=1)
x

##   [1]  7.505838 10.369244  9.112915  9.962369 10.552453  8.998796 11.966760
##   [8]  9.490687  9.112835  9.199610  9.983512  8.724977  9.866341  8.842552
##  [15] 10.319148 10.826116  9.193775  6.710873  9.720315 10.587497 10.233071
##  [22]  9.882453  9.185486 10.099954  7.854349 11.082063 10.507647  8.954351
##  [29]  9.553384  9.116467  9.874745 10.810268 10.307399 10.403354  9.242789
##  [36] 10.631147 10.795176 10.729755 10.694265  9.126060  9.983553  8.387775
##  [43]  9.313897  9.495350  9.778695 10.110374  9.814453  7.222231 10.666664
##  [50]  9.966898  9.237547  9.539230  9.201620  9.534915  9.220176  9.394532
##  [57]  9.868403 10.299034 10.585231  9.768308 10.061160 10.270616  9.864112
##  [64] 10.495557  9.594437  8.496426 10.592711  8.431482 10.867115  9.864993
##  [71] 10.912938  9.703078 10.414693  8.800959 10.179461 11.057189  9.513820
##  [78] 11.031376 10.621403 10.587126  8.593275 11.436247 10.045787  8.849998
##  [85]  9.079306  7.650293 10.117282 11.567384 10.207390 10.122297  9.871229
##  [92] 10.114029 10.108339 10.281506  9.001106 10.318263  9.344737 11.304727
##  [99]  9.604037 10.027404

Para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 9.80525

Histograma de frecuencias

hist(x)

Gráfico de cajas y bigote

boxplot(x)

Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:

hist(x, freq=FALSE) # Freq=FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), from=7, to=13, add=TRUE)

Ejercicios

Si \(Z\) es una variable con distribución normal estándar, calcula \(\mathbb{P}(−2.34<Z<4.78)\).
Calcula el rango intercuartílico de una población normal estándar.
Genera una muestra de tamaño 10 de una población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media muestral y la poblacional? Repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias.
Genera 1000 números con distribución de Poisson de parámetro λ=1. Representa el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?
Calcula con R los siguentes calores: \(t_{,3,\alpha}\), \(chi^2_{3,\alpha}\), para α=0.05, y α=0.01. Compara los valores obtenidos con los que aparecen en las correspondientes tablas.

Conclusiones

En esta actividad se realizo un desarrollo y conocimiento acerca de las distribuciones de probabilidad donde se lograron conocer las funciones de cada una de estas para poder aplicar en los ejercicios que necesiten este tipo de comandos.