U1A8

Regresión lineal simple y estimación de intervalos de confianza

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Paquetes

library(prettydoc)

Datos

grasas <- read.table("http://verso.mat.uam.es/~joser.berrendero/datos/EdadPesoGrasas.txt",header=TRUE)
names(grasas)

## [1] "peso"   "edad"   "grasas"

Peso corporal

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• Gráfico de correlación o gráfico de pares

head(grasas)

##   peso edad grasas
## 1   84   46    354
## 2   73   20    190
## 3   65   52    405
## 4   70   30    263
## 5   76   57    451
## 6   69   25    302

pairs(grasas)

Modelar

Grado de correlación lineal

• Matriz de coeficientes de correlación

#Cuantificar el grado de colerración lineal
cor(grasas)

##             peso      edad    grasas
## peso   1.0000000 0.2400133 0.2652935
## edad   0.2400133 1.0000000 0.8373534
## grasas 0.2652935 0.8373534 1.0000000

Cálculo y representación de la recta de mínimos cuadrados

regresion <- lm(grasas ~ edad, data=grasas) #lm, lineal model
summary(regresion)

## 
## Call:
## lm(formula = grasas ~ edad, data = grasas)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -63.478 -26.816  -3.854  28.315  90.881 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 102.5751    29.6376   3.461  0.00212 ** 
## edad          5.3207     0.7243   7.346 1.79e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 43.46 on 23 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7012, Adjusted R-squared:  0.6882 
## F-statistic: 53.96 on 1 and 23 DF,  p-value: 1.794e-07

• Entonces, la recta de mínimos cuadrados, sería la siguiente:

\[ y = 102.5751 + 5.3207 x\]

Representación gráfica de la recta

plot(grasas$edad, grasas$grasas, xlab="Edad", ylab="Grasas")
abline(regresion)

Modelación de valores

nuevas.edades <- data.frame(edad=seq(30,50))
predict(regresion, nuevas.edades)

##        1        2        3        4        5        6        7        8 
## 262.1954 267.5161 272.8368 278.1575 283.4781 288.7988 294.1195 299.4402 
##        9       10       11       12       13       14       15       16 
## 304.7608 310.0815 315.4022 320.7229 326.0435 331.3642 336.6849 342.0056 
##       17       18       19       20       21 
## 347.3263 352.6469 357.9676 363.2883 368.6090

Inferencia en el modelo de regresión lineal simple

Suponemos que los datos proceden de un modelo de regresión simple de la forma:

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i, \ \ \ \ i=1,\ldots,n, \]

en donde:

Los errores aleatorios \(\epsilon_i\) son independientes con distribución normal de media 0 y varianza \(\sigma^2\)

Bajo este modelo:

• Los errores típicos de los estimadores de los parámetros \(\beta_0\) y \(\beta_1\) se encuentran en la columna Std Error (error estándar) de la salida anterior. Los valores son: 29.6376 y 0.7243 respectivamente.

• Los intervalos de confianza de los parámetros se obtienen con el comando confint. El parámetro level permite elegir el nivel de confianza (por lo regular es 0.95)

confint(regresion) #level=0.95

##                 2.5 %     97.5 %
## (Intercept) 41.265155 163.885130
## edad         3.822367   6.818986

confint(regresion, level=0.90)

##                   5 %       95 %
## (Intercept) 51.780153 153.370132
## edad         4.079335   6.562018

• ¿Qué tan confiable es este modelo? Comparativa de datos reales vs datos predecidos

• Los intervalos de confianza para la respuesta media y los intervalos de confianza para la respuesta se pueden obtener con el comando predict. Por ejemplo, el código a continuación estima, o calcula, y representa los dos tipos de intervalos (para el rango de edades de 20 a 60 años), los de predicción en rojo.

nuevas.edades <- data.frame(edad=seq(20,60))
#Gráfico de dispersión y recta
plot(grasas$edad, grasas$grasas, xlab="Edad", ylab="Grasas")
abline(regresion)

#Intervalos de confianza de la respuesta media
# ic (intervalo de confianza)
# ic es una matriz con tres columnas
#la primera es la predicción, las otras son los extremos del intervalo
ic <- predict(regresion, nuevas.edades, interval="confidence")

lines(nuevas.edades$edad, ic[,2], lty=2) #limite inferior
lines(nuevas.edades$edad, ic[,3], lty=2) #limite superior

#Intervalos de predicción
ic <- predict(regresion, nuevas.edades, interval="prediction")

lines(nuevas.edades$edad, ic[,2], lty=2, col="red") #limite inferior
lines(nuevas.edades$edad, ic[,3], lty=2, col="red") #limite superior

ANOVA

Análisis de varianza

• La tabla de análisis de varianza se obtiene con el comando ANOVA

anova(regresion)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: grasas
##           Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## edad       1 101933  101933  53.964 1.794e-07 ***
## Residuals 23  43444    1889                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Conclusión

• En este ejercicio de PYE, se llevó a cabo un análisis de la correlación de variables: peso, edad y grasas. Se cuantificó el grado de correlación lineal con una matriz de coeficientes y se elaboró un gráfico de pares, y una recta de mínimos cuadrados que desvelan la relación entre edad y grasas; entre mayor edad, mayor cantidad de grasas en el cuerpo.
• También, se hizo un análisis cuantitativo para calcular el nivel de inferencia del modelo de regresion lineal simple, con intervalos de confianza y predicción mostrados en una gráfica. (Fuera de los intervalos de confianza, el modelo no es tan bueno)