Exercice 3
Selon un sondage effectué auprès de 2000 sportifs aux Mondiaux d’Athlétisme de 2011 (et garantissant l’anonymat des réponses), 30% des athlètes reconnaissent avoir utilisé un produit dopant interdit au cours des 12 derniers mois. On suppose pour simplifier que la proportion de dopés est la même toutes disciplines confondues (la réalité est bien sûr différente) et que les athlètes se dopent indépendamment les uns des autres (hypothèse qui risque fort de ne pas être vérifiée non plus dans la réalité).
1. Une équipe de relais 4×100m comporte 4 membres. Calculer la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux soit dopé
En cours nous avons résolu le problème mathématiquement. Ici on va résoudre le problème à l’aide de simulation. On aura donc une approximation du résultat.
Soit \(X\) le nombre de d’athlètes dopés parmi les 4. On a montrer en cours que \(X \sim \mathcal{B}in(4,0.30)\).
\(X = X_1+X_2 +X_3 + X_4\) où les \(X_i\) sont des variables indépendantes et \(X_i \sim \mathcal{B}er(0.30), i =1, \dots, 4\)
On cherche à estimer \(P(X>0)\)
- on va simulé 10000 (relais 4×100m) binomial de paramètre \((n=4, p=0.30)\)
- On va compter combien de relais ont au moins un dopé (\(X>0\))
- On va calculer le pourcentage relais avec ont au moins un dopé \(\approx P(X>0)\)
Les 200 premières simulations
Il ne reste plus qu’à calculer la proportion de “Oui”
Ainsi, d’après la simulation, \(P(X >0) \approx\) 0.7683.
La probabilité théorique caluler en cours est \(P(X >0) = 1-0.70^4 \approx 0.76\)
On peut aussi comparer la fonction de probabilité théorique d’une \(\mathcal{B}in(4, 0.3)\) avec la distribution observé dans la simulation
La simulation s’ajuste bien à une variable aléatoire de loi \(\mathcal{B}in(4, 0.3)\).
2. Trente athlètes ont pris part au décathlon. On note \(X\) le nombre de décathloniens dopés. Donner en la justifiant la loi de \(X\) et préciser les valeurs de \(E(X)\) et \(Var(X)\). Calculer la probabilité qu’au moins 6 décathloniens soient dopés.
\(X \sim \mathcal{B}in(30,0.3), \quad E(X) = 30 \times0.3=9, \quad Var(X) = 30 \times0.3 \times0.7=6.3\)
On cherche \(P(X\ge6)\). On va approximer la solution à l’aide d’une simulation
- on va simulé 10000 (groupes de 30 athlètes) binomials de paramètre \((n=30, p=0.30)\)
- On va compter combien de groupes ont au moins 6 dopés (\(X\ge6\))
- On va calculer le pourcentage groupes avec ont au moins 6 dopé \(\approx P(X \ge6)\)
Les 200 premières simulations
Il ne reste plus qu’à calculer la proportion de “Oui”
Ainsi, d’après la simulation, \(P(X \ge 6) \approx\) 0.9236.
La probabilité théorique calculer en cours est \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5) \approx1-0.0766 = 0.9234\)
On peut aussi comparer la fonction de probabilité théorique (barres grises) d’une \(\mathcal{B}in(30, 0.3)\) avec la distribution observé (barres bleues) dans la simulation
La simulation s’ajuste bien à une variable aléatoire de loi \(\mathcal{B}in(30, 0.3)\).