Exercice 1
1. Donner la loi de \(X\)
\(P(X=i) = \frac{i}{21}, \quad i=1, \dots, 6\)
On rentre les valeurs et la probabilité d’obtenir chaque valeur
Fonction de probabilité de la loi de \(X\)
2. Rappeler les définitions de \(E(X)\), \(Var(X)\), \(\sigma(X)\) et donner leur valeur
\(E(X) = \sum_{i=1}^6iP(X=i) = \sum_{i=1}^6\frac{i^2}{21}\)
\(Var(X) = E([X-E(X)]^2) = \sum_{i=1}^6[i-E(X)]^2P(X=i) \overset{\mathrm{à \, prouver}}{=} E(X^2) - [E(X)]^2\)
\(E(X^2) = \sum_{i=1}^6i^2P(X=i) = \sum_{i=1}^6\frac{i^3}{21}\)
On créer la variable produits qui est simplement \(i\times P(X=i)\) pour \(i = 1,\dots,6\)
Puis on fait la somme des valeurs de la variable produits
On créer la variable produits2 qui est simplement \(i^2\times P(X=i)\) pour \(i = 1,\dots,6\)
Puis on fait la somme des valeurs de la variable produits2 et on la soustrait au carrée de la moyenne (espérance). On obtient ainsi la variance
3. Représentation graphique de la fonction de répartition de la variable \(X\).
La fonction de répartition de \(X\) est donnée par
\[ F_X(x)= P(X \le x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } x< 1 \\ 1/21 & \mbox{si } 1 \le x < 2 \\ 3/21 & \mbox{si } 2 \le x < 3 \\ 6/21 & \mbox{si } 3 \le x < 4 \\ 10/21 & \mbox{si } 4 \le x < 5 \\ 15/21 & \mbox{si } 5 \le x < 6 \\ 1 & \mbox{si } x \ge 6 \end{array} \right. \]
Fonction de répartition de la loi de \(X\)
On se place maintenant dans la situation où deux joueurs lancent un dé équilibré, chacun leur tour. On note \(Z_1\) (respectivement \(Z_2\)) le résultat du joueur 1 (resp. du joueur 2), en faisant l’hypothèse que les deux lancers sont indépendants. On note \(A\) la moyenne des deux résultats et \(B\) leur maximum, soit
\[A = \frac{Z_1+Z_2}{2}, \quad B=\max(Z_1,Z_2)\]
6. Calculer l’espérance et la variance de A.
Pour cette question, on va estimer la valeur de \(E(A)\) à l’aide de simulation.
- On lance aléatoirement deux dés, chacun 10000 fois
- A chaque fois on va calculer la moyenne des deux dés. On aura ainsi 10000 moyennes (A)
- A chaque fois on va aussi calculer le maximum des deux dés. On aura ainsi 10000 maximums (B)
Les 200 premières simulations
Il semblerait que \(A \le B\). Essayez de le prouver mathématiquement.
A’laide du logiciel on va maintenant calculer la moyenne et la variance de la colonne A
Les valeurs théoriques sont \(E(A) = 3.5\) et \(Var(A) = 35/24 \approx 1.46\)
7. Quelle est la loi de B ? Calculer son espérance et sa variance.
Pour estimer la loi de \(B\) on va utiliser les 10000 observations de \(B\) qui ont été simulé.
On va simplement calculer la proportion des valeurs \(1, 2, \dots, 6\) que l’on observe.
On peut ainsi les comparer probabilité théorique calculer en cours.
A’laide du logiciel on va maintenant calculer la moyenne et la variance de la colonne B
Les valeurs théoriques sont \(E(B) = 161/36 \approx 4.47\) et \(Var(B) = \frac{2555}{1296} \approx 1.97\)