Berikut ini adalah Tugas Praktikum Mata Kuliah STA511 Analisis Statistika, dilakukan dengan menggunakan R

TUGAS 1 : Simulasi Membangkitkan Populasi yang mengikuti Sebaran Normal

Rincian dari Tugas Pertama adalah :

  1. Kita membangkitkan populasi yang mengikuti sebaran normal.
  2. Lalu dari populasi yang dibangkitkan diambil sampel secara SRS dengan ukuran contoh 5, 10, 30 dan 50.
  3. Pada setiap sampel yang terambil hitung statistiknya
  4. Ulangi langkah 2-3 sebanyak 100 kali.
  5. Sajikan bentuk sebaran dari statistik tersebut, lalu hitung nilai harapannya…. dalam hal ini rata-ratanya.

Berikut adalah langkah-langkah dari tugas tersebut :

1. Membangkitkan Populasi yang mengikuti Sebaran Normal

Berikut dibangkitkan 100.000 data yang menyebar Normal dengan µ = 20 dan σ = 10

set.seed(10)
pop.norm<-rnorm(n=100000, mean=20, sd=10)

Kita coba buat Histogram untuk Data Populasi yang mengikuti Sebaran Normal ini. Sambil dilihat Parameter µ hasil pembangkitan data melalui abline berwarna biru.

hist(pop.norm, main = "Normal Distribution")
abline(v=mean(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")

2. Mengambil Sampel secara Simple Random Sampling dengan ukuran contoh 5, 10, 30, dan 50.

a5<-sample(pop.norm,5)
a5
## [1] 26.09295 21.79513 18.21624 24.33444 26.43295
a10<-sample(pop.norm,10)
a10
##  [1] 19.546165 24.300160 16.116502 20.633273 11.229815 12.524779  5.125385
##  [8]  5.614363 17.141121 21.782881
a30<-sample(pop.norm,30)
a30
##  [1] 27.2349428 11.1968141 26.1356128 28.3296258 17.1892475 21.2050829
##  [7] 14.4986559 27.1029744 17.9024666  6.3553360 23.7626733 21.6080914
## [13] 26.4076320 16.9506497  7.7974210 18.8328184 15.5378009 16.4269126
## [19] 23.9691164 24.0227273 24.0107810 24.7155046 33.0909393 29.3032064
## [25] 34.2161973 31.5275896 -0.5276123  3.2805527 19.9305860 21.6444539
a50<-sample(pop.norm,50)
a50
##  [1] 23.3860274 16.0344464 -6.4486402  0.7829101  3.9206523 10.8057643
##  [7] 34.1027255  6.0631359 18.8144850 43.8352701 22.8044177 16.4103551
## [13] 11.0512012 21.4562212  2.5458203  7.8525311  7.4046664 18.2228756
## [19] 14.0492098 30.3047094 14.6225054 33.3905894 36.9275145 30.9902603
## [25] 13.7009512 22.8583891 25.9796760 24.6901855 22.4761447 31.3554727
## [31] 30.3375569 14.3569827 20.9132727 15.6027205 26.3005136 23.6994136
## [37] 29.3239958  2.0789686 12.0609506 30.8163901 16.8389887 23.6444187
## [43]  5.2194102 12.2357535 12.6526404 15.1582001  9.9724821 32.4360618
## [49] 13.2964614 23.3105910

3. Menghitung Statistik dari sampel yang diambil.

Di sini saya menggunakan mean untuk mendapatkan Statistik (Penduga Parameter) untuk µ. Saya juga menggunakan sd untuk mendapatkan statistik (Penduga Parameter) untuk σ.

#Summary
mean(a5)
## [1] 23.37434
mean(a10)
## [1] 15.40144
mean(a30)
## [1] 20.45529
mean(a50)
## [1] 18.61292
sd(a5)
## [1] 3.419343
sd(a10)
## [1] 6.625376
sd(a30)
## [1] 8.56645
sd(a50)
## [1] 10.60543

4. Ulangi Langkah 2 dan 3 sebanyak 100 kali. 5. Bentuk Plot dari Statistik.

Di sini, sengaja saya gabungkan langkah 4 dan langkah 5, supaya dari hasil iterasi langsung muncul plot dan langsung muncul Statistik yang dimaksud. Statistik dari Distribusi Normal yang dibangkitkan adalah Nilai Tengah Populasi = 20 dan Simpangan Baku Populasi = 10. Jadi, yang dihitung dan di buat plot adalah :

  1. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 5,
  2. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 10,
  3. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 30,
  4. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 50,
  5. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 5,
  6. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 10,
  7. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 30,
  8. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 50,
1. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 5,
iterasi<-100
n<-5
means.a5<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.norm, n)
  means.a5[i]<-mean(d)
}
hist(means.a5)
abline(v=mean(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=mean(means.a5), lty=2, lwd=3, col="red")

mean(means.a5)
## [1] 20.44094
mean(pop.norm)
## [1] 19.94042
2. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 10,
iterasi<-100
n<-10
means.a10<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.norm, n)
  means.a10[i]<-mean(d)
}
hist(means.a10)
abline(v=mean(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=mean(means.a10), lty=2, lwd=3, col="red")

mean(means.a10)
## [1] 19.97808
3. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 30,
iterasi<-100
n<-30
means.a30<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.norm, n)
  means.a30[i]<-mean(d)
}
hist(means.a30)
abline(v=mean(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=mean(means.a30), lty=2, lwd=3, col="red")

mean(means.a30)
## [1] 19.7393
4. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 50,
iterasi<-100
n<-50
means.a50<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.norm, n)
  means.a50[i]<-mean(d)
}
hist(means.a50)
abline(v=mean(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=mean(means.a50), lty=2, lwd=3, col="red")

mean(means.a50)
## [1] 19.6908
5. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 5,
iterasi<-100
n<-5
sd.a5<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.norm, n)
  sd.a5[i]<-sd(d)
}
hist(sd.a5)
abline(v=sd(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=mean(sd.a5), lty=2, lwd=3, col="red")

mean(sd.a5)
## [1] 9.55423
6. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 10,
iterasi<-100
n<-10
sd.a10<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.norm, n)
  sd.a10[i]<-sd(d)
}
hist(sd.a10)
abline(v=sd(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=mean(sd.a10), lty=2, lwd=3, col="red")

mean(sd.a10)
## [1] 9.666373
7. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 30,
iterasi<-100
n<-30
sd.a30<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.norm, n)
  sd.a30[i]<-sd(d)
}
hist(sd.a30)
abline(v=sd(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=mean(sd.a30), lty=2, lwd=3, col="red")

mean(sd.a30)
## [1] 10.10682
8. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 50,
iterasi<-100
n<-50
sd.a50<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.norm, n)
  sd.a50[i]<-sd(d)
}
hist(sd.a50)
abline(v=sd(pop.norm), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=mean(sd.a50), lty=2, lwd=3, col="red")

mean(sd.a50)
## [1] 10.08211

TEMUAN TUGAS PERTAMA

Pada Penarikan Sampel dengan n kecil, sebagaimana dilakukan di Langkah 2 dan 3, tampak bahwa Rata-Rata Contoh (x-bar) dan Simpangan Baku Contoh (S) jauh dari Parameter (µ = 20 dan σ = 10). Sementara pada Penarikan sampel dengan n besar, tampak bahwa Rata-Rata Contoh dan Simpangan Baku Contoh mendekati dari Parameter (µ = 20 dan σ = 10).

Ketika dilakukan pengulangan 100 kali (pada langkah 4), dan dihitung statistiknya dan diplotkan (pada langkah 5), nilai harapan dari (rata-rata) X bar mendekati Parameter (µ = 20) untuk n sampel yang diambil, bahkan untuk n kecil. Begitu juga dengan nilai harapan (rata-rata) mendekati Parameter (σ = 10).

TUGAS 2 : Simulasi Membangkitkan Populasi yang mengikuti Sebaran Tidak Simetrik

Rincian dari Tugas Pertama adalah :

  1. Kita membangkitkan populasi yang mengikuti sebaran tidak Simetrik.
  2. Lalu dari populasi yang dibangkitkan diambil sampel secara SRS dengan ukuran contoh 5, 10, 30 dan 50.
  3. Pada setiap sampel yang terambil hitung statistiknya
  4. Ulangi langkah 2-3 sebanyak 100 kali.
  5. Sajikan bentuk sebaran dari statistik tersebut, lalu hitung nilai harapannya…. dalam hal ini rata-ratanya.

Berikut adalah langkah-langkah dari tugas tersebut :

1. Membangkitkan Populasi yang mengikuti Sebaran Tidak Simetrik

Dalam membangkitkan Sebaran tidak simetrik ini, dibangkitkan 100.000 data yang menyebar Gamma dengan α = 20 dan β = 10. Catatan Nilai Harapan X-bar = αβ dan nilai harapan dari SD = sqrt(αβ^2)

set.seed(10)
pop.gamma<-rgamma(n=1000, shape=20, rate=1/10)
mean(pop.gamma)
## [1] 200.1846
sd(pop.gamma)
## [1] 46.11012

Kita coba buat Histogram untuk Data Populasi yang mengikuti Sebaran Gamma ini.

hist(pop.gamma, main = "Gamma DIstribution")

2. Mengambil Sampel secara Simple Random Sampling dengan ukuran contoh 5, 10, 30, dan 50.

a5<-sample(pop.gamma,5)
a5
## [1] 189.5103 226.8340 196.5374 155.6604 246.6994
a10<-sample(pop.gamma,10)
a10
##  [1] 244.7739 176.5049 234.7436 233.7698 240.7181 236.8120 192.0048 265.1960
##  [9] 174.3228 167.1230
a30<-sample(pop.gamma,30)
a30
##  [1] 163.6587 285.5009 255.7427 247.9898 239.4413 243.1681 258.1313 249.5809
##  [9] 284.3814 188.9377 299.4920 190.6877 197.3839 240.9066 220.5158 174.4822
## [17] 188.1858 256.4690 190.2374 191.4583 160.7293 172.1952 195.0557 206.7801
## [25] 227.4286 267.2579 249.5644 208.8642 155.4370 200.8531
a50<-sample(pop.gamma,50)
a50
##  [1] 137.40099 140.35138 197.74251 192.03613 163.81463 294.42826 145.50074
##  [8] 158.22624 159.35894 216.91288 243.62539 224.94318 180.43609  88.78499
## [15] 191.15942 183.90194 203.61937 251.65667 161.26764 148.00895 145.22343
## [22] 178.17681 261.94461 244.38717 196.53736 247.98978 231.22529 203.94876
## [29] 192.95473 189.17765 178.64301 194.75059 223.97963 157.80649 165.62245
## [36] 166.01233 240.34419 119.97281 212.59270 128.65340 184.41096 203.48201
## [43] 190.34590 206.78008 170.18445 191.05155 195.58552 253.60003 255.79755
## [50] 136.09317

3. Menghitung Statistik dari sampel yang diambil.

Di sini saya menggunakan mean untuk mendapatkan Statistik (Penduga Parameter) untuk yaitu αβ = 20.10 = 200 Saya juga menggunakan sd untuk mendapatkan statistik (Penduga Parameter) untuk Simpangan Baku Populasi yaitu sqrt(αβ^2) = sqrt (20.10^2)=sqrt(2000)=44.72

#Sumamry
mean(a5)
## [1] 203.0483
mean(a10)
## [1] 216.5969
mean(a30)
## [1] 220.3506
mean(a50)
## [1] 191.009
sd(a5)
## [1] 35.15135
sd(a10)
## [1] 35.30411
sd(a30)
## [1] 40.05767
sd(a50)
## [1] 41.78365

4. Ulangi Langkah 2 dan 3 sebanyak 100 kali. 5. Bentuk Plot dari Statistik.

Di sini, sengaja saya gabungkan langkah 4 dan langkah 5, supaya dari hasil iterasi langsung muncul plot dan langsung muncul Statistik yang dimaksud. Statistik dari Distribusi Gamma yang dibangkitkan adalah α = 20 dan β = 10. Jadi, yang dihitung dan di buat plot adalah :

  1. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 5,
  2. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 10,
  3. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 30,
  4. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 50,
  5. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 5,
  6. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 10,
  7. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 30,
  8. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 50,
1. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 5,
iterasi<-100
n<-5
means.a5<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.gamma, n)
  means.a5[i]<-mean(d)
}
hist(means.a5)
abline(v=mean(pop.gamma), lty=2, lwd=3, col="blue")

mean(means.a5)
## [1] 200.1239
2. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 10,
iterasi<-100
n<-10
means.a10<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.gamma, n)
  means.a10[i]<-mean(d)
}
hist(means.a10)
abline(v=mean(pop.gamma), lty=2, lwd=3, col="blue")

mean(means.a10)
## [1] 199.9828
3. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 30,
iterasi<-100
n<-30
means.a30<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.gamma, n)
  means.a30[i]<-mean(d)
}
hist(means.a30)
abline(v=mean(pop.gamma), lty=2, lwd=3, col="blue")

mean(means.a30)
## [1] 200.267
4. Nilai Rata-Rata dari Nilai Rata-Rata dari 100 data untuk Sampel n = 50,
iterasi<-100
n<-50
means.a50<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.gamma, n)
  means.a50[i]<-mean(d)
}
hist(means.a50)
abline(v=mean(pop.gamma), lty=2, lwd=3, col="blue")

mean(means.a50)
## [1] 199.3155
5. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 5,
iterasi<-100
n<-5
sd.a5<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.gamma, n)
  sd.a5[i]<-sd(d)
}
hist(sd.a5)
abline(v=sd(pop.gamma), lty=2, lwd=3, col="blue")

mean(sd.a5)
## [1] 43.17627
6. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 10,
iterasi<-100
n<-10
sd.a10<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.gamma, n)
  sd.a10[i]<-sd(d)
}
hist(sd.a10)
abline(v=sd(pop.gamma), lty=2, lwd=3, col="blue")

mean(sd.a10)
## [1] 45.91706
7. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 30,
iterasi<-100
n<-20
sd.a20<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.gamma, n)
  sd.a20[i]<-sd(d)
}
hist(sd.a10)
abline(v=sd(pop.gamma), lty=2, lwd=3, col="blue")

mean(sd.a20)
## [1] 44.89891
8. Nilai Rata-Rata dari Simpangan Baku Contoh dari 100 data untuk Sampel n = 50,
iterasi<-100
n<-50
sd.a50<-rep(NA, iterasi)

for (i in 1:iterasi){
  d<-sample(pop.gamma, n)
  sd.a50[i]<-sd(d)
}
hist(sd.a50)
abline(v=sd(pop.gamma), lty=2, lwd=3, col="blue")

mean(sd.a50)
## [1] 45.96457

TEMUAN TUGAS KEDUA

Pada Penarikan Sampel dengan n kecil, sebagaimana dilakukan di Langkah 2 dan 3, tampak bahwa Rata-Rata Contoh (x-bar) dan Simpangan Baku Contoh (S) jauh dari Parameter (αβ = 200 dan sqrt(αβ^2) = 44,72). Sementara pada Penarikan sampel dengan n besar, tampak bahwa Rata-Rata Contoh dan Simpangan Baku Contoh mendekati dari Parameter (αβ = 200 dan sqrt(αβ^2) = 44,72).

Ketika dilakukan pengulangan 100 kali (pada langkah 4), dan dihitung statistiknya dan diplotkan (pada langkah 5), nilai harapan dari (rata-rata) X bar mendekati Parameter (αβ = 200) untuk n sampel yang diambil, bahkan untuk n kecil. Begitu juga dengan nilai harapan (rata-rata) mendekati Parameter (sqrt(αβ^2) = 44,7).

Selain itu, dari Histogram, tampak sebaran aSimetrik Gamma, pada pengulangan mengikut Sebaran Normal.