Sucesiones de números reales.
Sucesiones
18/9/2020
Las sucesiones son una herramienta utilizada en todas, o en casi todas, las áreas de las matemáticas. Una sucesión es una lista, en nuestro caso, una lista de números reales.
Las sucesiones no necesariamente son de números reales; en general una sucesión es una lista de cosas.
Una sucesión puede ser finita o infinita, por ejemplo:
La sucesión finita \(\{1, 0.5, -1, 2, 2, 1,-1,6\}\) tiene ocho elementos, así que podemos etiquetarlos respecto a su posición de esta manera: \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\}\).
De manera que \(x_1\) corresponde al primer elemento de la sucesión, es decir, \(x_1=1\), luego \(x_2=0.5\) y así sucesivamente hasta llegar a \(x_8=6\). Estamos etiquetando a los elementos respecto a su posición en la sucesión.
Podemos ponerle un nombre a la sucesión para que podamos mandarla a llamar cuando la necesitemos:
\(\{x_n\}_{n=1}^{8}=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\}=\{x_1,\dots,x_n\}\)
Reemplazamos a los elementos de la sucesión con … para no escribirlos a todos uno por uno, esto es útil cuando se trabaja con sucesiones de muchos elementos ya que nos ahorra escritura.
Ahora veremos un ejemeplo de una sucesión infinita:
\(\{x_n\}=\{1, -1, 1,-1,1,-1,1\dots\}\) Es una sucesión infinita tal que sus valores se alternan entre \(1\) y \(-1\). La podemos escribir así:
\(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}=\{(-1)^{n+1}\}\).
También podemos crear una sucesión infinita cuyos elementos son el mismo valor:
\(\{1,1,1,1,1,1,1,1,\dots\}\) Esta sucesión es infinita y todos sus elementos tienen el mismo valor.
Hasta ahora hemos visto como son las sucesiones finitas e infinitas. Algo muy importante que podemos notar es que los valores de una sucesión pueden repetirse y no necesariamente hay un orden sus elementos.
En la primer sucesión que construímos podemos ver esto con más detalle, \(\{1, 0.5, -1, 2, 2, 1,-1,6\}\). Primero resaltemos que los valores \(1,2\) y \(-1\) se repiten en la sucesión, luego resaltemos que el primer elemento es mayor que el segundo, el segundo es mayor que el tercero pero el tercero es menor que el cuarto, esto significa que no necesariamente hay orden entre los elementos de la sucesión.
Sin embargo las sucesiones cuyos elementos van creciendo o decreciendo son válidas, de hecho estas se llaman sucesiones crecientes y decrecientes.
Para definir una sucesión de manera general escribimos: sea \(\{x_n\}\) una sucesión (hay quienes ocupan \((x_n)\) u otro tipo de notación).
Decimos que la sucesión \(\{x_n\}\) es creciente si \(x_n<x_{n+1}\) para cada \(n\).
Decimos que la sucesión \(\{x_n\}\) es decreciente si \(x_n>x_{n+1}\) para cada \(n\).
Decimos que la sucesión \(\{x_n\}\) es monótona si es creciente o decreciente.
La sucesión \(\{y_n\}=\{\frac{2}{n^2}\}\) es una sucesión decreciente ya que: \(\frac{2}{n^2}>\frac{2}{(n+1)^2}\), o en otras palabras, \(y_n > y_{n+1}\).
La sucesión \(\{z_n\}=\{n^2\}\) es una sucesión creciente ya que: \(n^2<(n+1)^2\), en otras palabras, \(z_n<z_{n+1}\).
Ya vimos que los elementos de una sucesión se pueden repetir y pueden estar ordenados de alguna manera, o no. Ahora veremos el conjunto de valores de una sucesión.
La sucesión \(\{1, 0.5, -1, 2, 2, 1,-1,6\}\) tiene ocho elementos y algunos de ellos tienen el mismo valor. El conjunto de valores de esta sucesión es: \(\{1,0.5,-1,2,6\}\), es decir, el conjunto de elementos de la sucesión sin repetir. Por lo tanto la sucesión tiene ocho elementos y cinco valores.
La sucesión \(\{x_n\}=\{(-1)^{n+1}\}\) es una sucesión infinita con dos valores, \(1\) y \(-1\). Entonces el conjunto de valores de esta sucesión es: \(\{1,-1\}\).
Tenemos mucha libertad a la hora de crear sucesiones, por ejemplo las siguientes sucesiones son un poco más complejas:
\[ \{x_n\}= \begin{cases} \frac{n}{2} & \quad \text{si } n \text{ es par}\\ 5 & \quad \text{si } n \text{ es impar}\\ \end{cases} \]
\[ \{y_n\}= \begin{cases} \frac{n}{2} & \quad \text{si } n \text{ es par}\\ \frac{-(n+1)}{2} & \quad \text{si } n \text{ es impar}\\ \end{cases} \]
Incluso podemos escribir a la sucesión que ya teníamos de esta forma:
\[ \{w_n\}= \begin{cases} -1 & \quad \text{si } n \text{ es par}\\ 1 & \quad \text{si } n \text{ es impar}\\ \end{cases} \]
Formalmente, una sucesión en los números reales es una función que va del conjunto de los números naturales al conjunto de los números reales, \(x:\mathcal{N}\to\mathcal{R}\). De manera que los elementos de la sucesión son de la forma \(x(n)\), es decir, la imagen de \(n\), un número natural, bajo la función \(x\).
Este proceso se ve reflejado en nuestro primer ejemplo. Tomamos el conjunto de número naturales: \(N=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) y aplicamos la función \(x:N\to \{1, 0.5, -1, 2, 2, 1,-1,6\}\) de tal manera que \(x(n)=x_n\) y \(x_n\) el n-ésimo elemento de la sucesión \(\{1, 0.5, -1, 2, 2, 1,-1,6\}\).
Podemos realizar operacines en sucesiones. Podemos multiplicar, sumar, restar, etc. Sean \(\{x_n\}\) y \(\{y_n\}\) dos sucesiones.
Suma: \(\{x_n\}+\{y_n\}=\{x_n + y_n\}\)
Resta: \(\{x_n\}-\{y_n\}=\{x_n - y_n\}\)
Multiplicación: \(\{x_n\}*\{y_n\}=\{x_n * y_n\}\)
División: \(\frac{\{x_n\}}{\{y_n\}}=\{\frac{x_n}{y_n}\}\) si \(y_n\neq 0\) para toda \(n\).
Hay sucesiones que se acercan mucho a un punto, tanto como quieren, en estos casos se dice que la sucesión es convergente.
\(\{1,1/2,1/3,1/4,\dots\}\) hay que notar que el valor \(0\) no está dentro de los elementos de la sucesión, sin embargo los valores se acercan tanto como quieren al \(0\).
\(\{y_n\}=\{\frac{1}{n^2}\}\) los elementos de esta sucesión también se acercan tanto como quieren al \(0\). ¿Creen que los valores de esta sucesión se acerquen más rápido al \(0\) que la sucesión del ejemplo 1?
La sucesión \(\{z_n\}=\{(-1)^{n+1}\}\) es una sucesión que solo toma dos valores, no se acerca a ningún punto tanto como quiere sus elementos nunca podrán estar a una distancia menor que \(|1-(-1)|=2\).
La sucesión \(\{w_n\}=\{n\}\) es una sucesión creciente que jamás se acerca a ningún valor y sus valores incrementan sin detenerse.