Standort Nürnberg
Berufsbegleitender Studiengang zum Bachelor of Science (B. Sc.)
2. Semester
Hausarbeit im Modul Datenerhebung & Statistik
Mathematik ist auch eine Sprache - Arbeit am Datensatz “student” zur Untersuchung einseitiger Begabung
Thomas Lenk
Dozent: Prof. Dr. habil. Sebastian Sauer
Matrikelnummer: 531299
Abgabedatum 17.09.2020
Gliederung
- Hinführung zum Thema
- Forschungsfrage
- Das Hypothesenpaar
- Alpha
- Datenvorverarbeitung
- Deskriptive Statistik
- Inferenz
- Diskussion
1. Hinführung zum Thema
Während der Vorbereitung auf die Klausur dieses Moduls kam es unter den Studierenden vermehrt zu Annahmen, dass man selbst eher der “Mathe-” oder doch der “Sprachentyp” sei. Man sich also lieber in verbalen Darstellungen vergnügt oder eben in denen der Mathematik. Interessant wäre es also nun zu sehen, ob diese Typentrennungen durch Daten gestützt werden. Sind Stärken auf der mathematischen Seite quasi Prädiktor für Versagen auf der anderen? Vielleicht stehen mathematische und sprachliche Leistungen in keinem Zusammenhang. Vielleicht ist aber alles eine faule Bauernregel - man darf durchaus auf beiden Gebieten gut sein.
2. Forschungsfrage
Ist die durchschnittliche Mathematikbegabung ein signifikanter, linearer Prädiktor der durchschnittlichen Höhe der Sprachbegabung als Kriterium?
3. Das Hypothesenpaar
\(H_0:\beta_1=0\), wobei \(\beta_1\) den Koeffizienten des Regressionsmodells der durchschnittlichen Portugiesisch-Noten als Funktion der durchschnittlichen Mathematiknoten darstellt. Die Steigung der Regressionsgeraden als Modell von Portugiesischnoten nach Mathematiknoten ist 0. Es gibt keinen Zusammenhang.
\(H_A: \beta_1≠0\), Die Steigung der Regressionsgeraden als Modell von Portugiesischnoten nach Mathematiknoten ist ungleich 0. Es gibt einen Zusammenhang.4. Alpha setzen
Das Signifikanzniveau setzen wir vor Beginn der Untersuchung auf den üblichen Wert von 5%.
5. Datenvorverarbeitung
Wir laden unsere benötigten Pakete
library(broom)
library(mosaic)
library(cowplot)
library(lsr)
library(caret)
library(modelr)
library(gridExtra)
library(sjmisc)
library(knitr)und binden die Datensätze ein
temp <- tempfile()
download.file("https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/00320/student.zip",temp)
MatheKurs <- read.csv2(unz(temp, "student-mat.csv"))
PortugiesischKurs <- read.csv2(unz(temp, "student-por.csv"))
remove(temp)Sogleich die Prüfung, ob die relevanten Variablen vollständig sind.
Missing<- merge_df(PortugiesischKurs,MatheKurs)
inspect(Missing$G1,G2,G3)$missing## [1] 0Nichts fehlt. Weiter zum Feinschliff:
Da die Datensätze der beiden Schulen nach Kursen geteilt wurden, werden wir als ersten Schritt beide Datensätze wieder zusammenlegen.
Uns interessieren dabei nur Schüler, die beide Kurse besuchen.
Schueler=merge(MatheKurs,PortugiesischKurs,by=c("school","sex","age","address","famsize","Pstatus","Medu","Fedu","Mjob","Fjob","reason","nursery","internet","guardian","guardian","traveltime","studytime","failures","schoolsup","famsup","activities","higher","romantic","famrel","freetime","goout","Dalc","Walc","health","absences"))
print(nrow(Schueler))## [1] 85Wichtig ist, die Variable paid außen vor zu lassen, da sie nach Definition eine kursspezifische Variable darstellt und keine schülerspezifische:
(…)extra paid classes within the course subject (Math or Portuguese) (binary: yes or no)(…)
Es befinden sich also 85 Schüler sowohl in den Kursen Mathematik als auch Portugiesisch, welche nun die Grundlage für den Leistungsvergleich darstellen werden.
Gegeben sind uns 3 Perioden, G1-G3. Wir untersuchen aber den Einfluss der durchschnittlichen Noten. Erstellen wir diese…SchuelerBeiderKurse<-Schueler %>%
mutate(Matheschnitt=rowMeans(cbind(G1.x,G2.x,G3.x))) %>%
mutate(Portuschnitt=rowMeans(cbind(G1.y,G2.y,G3.y)))…und schauen uns deren Verteilung beziehungsweise interessante Maße einmal genauer an.
6. Datenanalyse
Den Modus bestimmen wir ‘on-the-fly’, da zum Zeitpunkt der Erstellung keine kompatible “eingebackene”- oder paketeigene Funktion für die Darstellung des Modus im R 4.0.2 verfügbar war.
Visualisierung relevanter Maße
ModusMa<-count(SchuelerBeiderKurse, Matheschnitt) %>% arrange(-n) %>% top_n(1)
ModusPo<-count(SchuelerBeiderKurse, Portuschnitt) %>% arrange(-n) %>% top_n(1)
mh<-gf_dhistogram( ~ Matheschnitt, data = SchuelerBeiderKurse, binwidth = 2, xlab = "Durchschnittsnote Mathematik") %>%
gf_dens(~Matheschnitt, data = SchuelerBeiderKurse,color = "#8b0000") %>%
gf_vline(color = "#ffff74", size = 1, xintercept = ~mean(Matheschnitt, data=SchuelerBeiderKurse)) %>%
gf_vline(color = "#00008b", size = 1, xintercept = ~Matheschnitt, data = ModusMa)
ph<-gf_dhistogram( ~ Portuschnitt, data = SchuelerBeiderKurse, binwidth = 2, xlab = "Durchschnittsnote Portugiesisch")%>%
gf_dens(~Portuschnitt, data = SchuelerBeiderKurse,color = "#8b0000") %>%
gf_vline(color = "#ffff74", size = 3, xintercept = ~mean(Portuschnitt, data=SchuelerBeiderKurse)) %>%
gf_vline(color = "#00008b", size = 1, xintercept = ~Portuschnitt, data = ModusPo)
av<-gf_violin(Matheschnitt ~ 1, data = SchuelerBeiderKurse, fill = "#00008b",alpha = 0.3, ylab= "Durchschnittsnote Mathematik") %>%
gf_boxplot(Matheschnitt ~ 1, data = SchuelerBeiderKurse) %>%
gf_point(mean(Matheschnitt)~1, data = SchuelerBeiderKurse, color = "#ffff74", size = 6) %>%
gf_point(Matheschnitt~1, data = ModusMa, color = "#ff0000")
bv<-gf_violin(Portuschnitt ~ 1, data = SchuelerBeiderKurse, fill = "#00008b",alpha = 0.3, ylab= "Durchschnittsnote Portugiesisch") %>%
gf_boxplot(Portuschnitt ~ 1, data = SchuelerBeiderKurse) %>%
gf_point(mean(Portuschnitt)~1, data = SchuelerBeiderKurse, color = "#ffff74", size = 6) %>%
gf_point(Portuschnitt~1, data = ModusPo, color = "#ff0000")
grid.arrange(mh, ph, av, bv, nrow = 2)
Die Verteilung der Mathematiknoten nimmt eine multimodale Form an. Zwei Gipfel um den Mittelwert(gelb) stellen zur Linken die “gerade so”-Bestehenden, zur Rechten die überdurchschnittlich Begabten, dar. Weiter links, ein wesentlich kleinerer Gipfel, die durchfallenden Schüler. Der Modus (blau) und damit die häufigste Merkmalsausprägung liegt ebenfalls dazwischen; nur leicht über der “kritischen 10”. Die Verteilung der Portugiesischnoten nähert sich einer unimodalen Form an. Die Mehrheit der Beobachtungen siedelt sich hier im mittleren bis oberen Wertebereich an und gipfelt dicht am Mittelwert beziehungsweise Modus.
Als konkrete Werte
Mathe_summary <- SchuelerBeiderKurse %>%
summarise(Mittelwert = mean(Matheschnitt),
MAD = aad(Matheschnitt),
Varianz = var(Matheschnitt),
sd = sd(Matheschnitt),
Q_1 = favstats(Matheschnitt)$Q1,
Median= median(Matheschnitt),
Q_3 = favstats(Matheschnitt)$Q3,
IQR = iqr(Matheschnitt),
Modus= ModusMa$Matheschnitt,
min = favstats(Matheschnitt)$min,
max = favstats(Matheschnitt)$max,
Range = favstats(Matheschnitt)$max-favstats(Matheschnitt)$min)
Portu_summary <- SchuelerBeiderKurse %>%
summarise(Mittelwert = mean(Portuschnitt),
MAD = aad(Portuschnitt),
Varianz = var(Portuschnitt),
sd = sd(Portuschnitt),
Q_1 = favstats(Portuschnitt)$Q1,
Median= median(Portuschnitt),
Q_3 = favstats(Portuschnitt)$Q3,
IQR = iqr(Portuschnitt),
Modus= ModusPo$Portuschnitt,
min = favstats(Portuschnitt)$min,
max = favstats(Portuschnitt)$max,
Range = favstats(Matheschnitt)$max-favstats(Matheschnitt)$min)
Zusammenfassung<-merge_df(Mathe_summary,Portu_summary)
rownames(Zusammenfassung)[rownames(Zusammenfassung) == "1"] = "Mathematik"
rownames(Zusammenfassung)[rownames(Zusammenfassung) == "2"] = "Portugiesisch"
kable(Zusammenfassung)| Mittelwert | MAD | Varianz | sd | Q_1 | Median | Q_3 | IQR | Modus | min | max | Range | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mathematik | 12.10588 | 2.854717 | 12.058761 | 3.472573 | 10 | 12.00000 | 14.66667 | 4.666667 | 11.66667 | 3.666667 | 18.66667 | 15 |
| Portugiesisch | 12.92941 | 2.046228 | 6.804482 | 2.608540 | 11 | 12.66667 | 14.66667 | 3.666667 | 13.00000 | 4.333333 | 18.00000 | 15 |
Die Lagemaße, welche Werte also repräsentativ sind, zeigen, dass, bis auf den gleichen Q_3-Wert, im Fach Portugiesich typischerweise mit höheren Wertungen abgeschlossen wird. Bezogen auf die Streuungsmaße, d.h. wie unterschiedlich bzw. ähnlich die Werte sind: Die Daten streuen in der Mathematik mehr. Sowohl mittlerer absoluter Abstand, Varianz, Standardabweichung als auch Interquartilsabstand zeigen, dass es typisch für einzelne Mathematikbewertungen ist weiter auseinander zu liegen bzw. extremer streuen. So liegt z.B. das Q1 gerade am Schnitt, um den Kurs zu bestehen. 25% der Studenten liegen hier noch darunter. In Portugiesisch liegt Q1 um einen ganzen Punkt darüber. Dazu liegt es dichter am Q2 und hat letztlich auch den geringeren IQR, streut dichter.
Über die Spannweite 0-20 aller möglichen Wertungen, liegen beide Fächer dennoch nah beieinander. Portugiesisch scheint aber sicherer zu absolvieren.Stimmt das?
SchuelerBeiderKurse<-SchuelerBeiderKurse %>%
mutate(Kursergebnis_Mathe = case_when(Matheschnitt < 9.5 ~ "Durchgefallen",
Matheschnitt >= 9.5 ~ "Bestanden",)) %>%
mutate(Kursergebnis_Portugiesisch = case_when(Portuschnitt < 9.5 ~ "Durchgefallen",
Portuschnitt >= 9.5 ~ "Bestanden"))
bm<-gf_bar(~ nrow(SchuelerBeiderKurse), data = SchuelerBeiderKurse, fill = ~Kursergebnis_Mathe, xlab = "Absolventen")
bp<-gf_bar(~ nrow(SchuelerBeiderKurse), data = SchuelerBeiderKurse, fill = ~Kursergebnis_Portugiesisch, xlab = "Absolventen")
plot_grid(bm, bp)
SchuelerBeiderKurse %>%
select(Kursergebnis_Mathe, Kursergebnis_Portugiesisch) %>%
table()## Kursergebnis_Portugiesisch
## Kursergebnis_Mathe Bestanden Durchgefallen
## Bestanden 68 0
## Durchgefallen 14 3 tally( ~Kursergebnis_Mathe & Kursergebnis_Portugiesisch,format = "percent", data = SchuelerBeiderKurse)## Kursergebnis_Portugiesisch
## Kursergebnis_Mathe Bestanden Durchgefallen
## Bestanden 80.000000 0.000000
## Durchgefallen 16.470588 3.529412Unsere Vermutung spiegelt sich in beiden Balken wieder. Beinahe niemand fällt im sprachwissenschaftlichen Kurs durch (vorausgesetzt wird hier ein “aufrundungsgeneigter” Dozent).
68 Absolventen haben nach ihrem Notendurchschnitt in Mathematik bestanden, 17 nicht. 82 Absolventen schafften es entsprechend in Portugiesisch, 3 sind duchgefallen. Das entspricht einer Erfolgsquote von ≈80% in Mathematik und ≈96% in Portugiesisch. Die Zahlen lassen auf ein insgesamt positives Sentiment der Schüler gegenüber einem breiten Wissenspektrum schließen und “klammern”, zumindest bisher, den gesuchten Zusammenhang nicht aus.Einer fliegt über das Kuckucksnest
Nachdem wir uns die Verhältnisse verdeutlicht haben, gehen wir nocheinmal auf den Ausreißer des Boxplot ein
Portu_IQR <- iqr(~ Portuschnitt, data = SchuelerBeiderKurse)
Portu_Q1 <- quantile(~Portuschnitt, p = .25, data = SchuelerBeiderKurse)
untere_Grenze <- Portu_Q1 - 1.5 * Portu_IQR
SchuelerBeiderKurse %>%
filter(Portuschnitt < untere_Grenze) %>%
summarise(Mathe= Matheschnitt,
Portugiesisch= Portuschnitt)Wir werden diesen Schüler nicht entfernen. Zum einen kann nicht ohne weiteres festgestellt werden, ob es sich um “schlechte Daten” handelt, zum anderen widerspricht er dem gesuchten Zusammenhang nicht. Er ist also kein Bernoulli der Mathematik und gleichzeitig nicht sprachbegabt. Der “ausreißende” Schüler hat in beiden Dimensionen noch ausreichend Potential.
Test auf Normalverteilung
Ein kurzer Test auf eine Normalverteilung zeigt, dass nur in der Mathematikwertung die Nullverteilung nicht ausgeschlossen werden kann.
shapiro.test(SchuelerBeiderKurse$Matheschnitt)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: SchuelerBeiderKurse$Matheschnitt
## W = 0.97725, p-value = 0.138Da der p-Wert größer als 5% ist, wird die Nullhypothese, dass eine Normalverteilung vorliegt, nicht verworfen.
shapiro.test(SchuelerBeiderKurse$Portuschnitt)##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: SchuelerBeiderKurse$Portuschnitt
## W = 0.96622, p-value = 0.02509Der p-Wert ist im Fall des Portugiesischunterrichts kleiner als 5, also wird die Nullhypothese verworfen.
Modell
SBKmodel<-lm(Portuschnitt~Matheschnitt, data = SchuelerBeiderKurse)
summary(SBKmodel)##
## Call:
## lm(formula = Portuschnitt ~ Matheschnitt, data = SchuelerBeiderKurse)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.8780 -1.2929 -0.0383 0.8858 4.3766
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 6.16138 0.69325 8.888 1.10e-13 ***
## Matheschnitt 0.55907 0.05507 10.152 3.28e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.753 on 83 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5539, Adjusted R-squared: 0.5485
## F-statistic: 103.1 on 1 and 83 DF, p-value: 3.284e-16Wir sehen, dass mit jedem Zuwachs eines Punktes im Fach “Mathematik” auch die Portugiesischnote um ≈0,56 verbessert (Steigung “Matheschnitt”). Im Modell haben Schüler selbst bei einer “0”-Punkte-Bewertung im Fach Mathematik, noch eine Wertung von ≈6,16 im Fach Portugiesisch (Intercept).
Der traditionelle Weg würde uns schon jetzt zeigen, dass eine solche Steigung unter Annahme einer H0-Verteilung quasi null entspricht2 * pt(10.152, df = 83, lower.tail = FALSE)## [1] 3.28237e-16Wir gehen aber den simulationsbasierten Weg im letzten Abschnitt der Arbeit.
Hervorzuheben ist hier, dass das Bestimmtheitsmaß R² von ≈0,55 nicht nur zeigt, dass unser Modell einen um 55% kleineren Vorhersagefehler erbringt als ein reines Nullmodell, sondern auch ein Indiz für eine stark positive Korrelation der erbrachten Leistungen in den Kursen Mathematik und Portugiesisch andeutet, da sich der Korrelationskoeffizient aus der Quadratwurzel von R² ergibt.Test:
Toleranzwert = 1e-15
abs((cor(Matheschnitt~Portuschnitt,data = SchuelerBeiderKurse)) %>% #Der Korrelationskoeffizient sollte sich mit
-(sqrt(summary(SBKmodel)$r.squared)))<=Toleranzwert #der Quadratwurzel des R² quasi aufheben## [1] TRUEsqrt(summary(SBKmodel)$r.squared)## [1] 0.7442518Mit \(r≈0,74\) eine stark positive Korrelation
Wie uns der Datasaurus gelehrt hat, sollten diese Daten aber visualisiert werden, um das Bestimmtheitsmaß zu stützen:
gf_point(Portuschnitt~Matheschnitt, data = SchuelerBeiderKurse, alpha = 0.2, size = 2.5) %>%
gf_lm(alpha = 0.5)
Wir sehen, dass sich die zuvor angenommene positive Korrelation in dem Graphen widerspiegelt.
Prüfung der Annahmen der linearen Regression
Da der letzte Plot bereits die Linearität des Zusammenhangs zwischen Prädiktor und Kriterium visualisiert hat, prüfen wir gleich die weiteren Prämissen eines linearen Modells:
SchuelerBeiderKurse %>%
add_residuals(SBKmodel) %>%
ggplot +
aes(x = resid) +
geom_histogram(binwidth = .8, center=1) -> residh
qplot(sample = .stdresid, data = SBKmodel) +
geom_abline(color = "green") +
labs(x = "theoretical", y= "sample")-> residq
SchuelerBeiderKurse %>%
add_predictions(SBKmodel) %>%
add_residuals(SBKmodel) %>%
ggplot() +
aes(y = resid, x = pred) +
geom_jitter(alpha = .2, width = .005) +
geom_boxplot(aes(group = pred), alpha = .7) -> predbox
gf_point(resid(SBKmodel) ~ fitted(SBKmodel),ylab = "resid", xlab = "fitted") -> scatter
grid.arrange(residh, residq, predbox, scatter, nrow = 1)
(2) Die Residuen sind laut Histogram annähernd normalverteilt. Auch zeigt Quantil-Quantil-Diagramm, dass bis auf die “Enden” der Regressionsgeraden die Residuenpunkte eng angelegt sind - im Sinne der Normalverteilung.
(3) Das Residuenplot lässt zumindest keine eindeutigen Muster einer beipsielsweise exponentiellen oder sinusoidalen Funktion zu erkennen, jedoch liegt keine gleichmäßige Varianz vor und somit die Annahme der Homoskedastizität gewissermaßen verletzt. Bei geringen und hohen Vorhersagewerten, welche zugleich die seltener vertretenen sind, werden die Residuen vergleichsweise groß dargestellt, können also nicht so genau geschätzt werden.
(4) Extreme Ausreißer sind nur in geringem Maße vertreten
(5) Die Unabhängigkeit der Residuen scheint gegeben, da keine serienartigen Muster innerhalb des Residuenplots erkennbar sind, jedoch ist die Unabhängigkeit der Beobachtungen in Gruppen bzw. Klassen immer mit einem Augenzwinkern verbunden. Zumindest spricht in unserem Fall nichts gegen diese Unabhängigkeit.
Modellgüte
Ein Maß der Modellgüt haben wir bereits betrachtet; das R². Hierbei haben wir erkannt, dass unser Modell einen ≈55% kleineren Verhersagefehler, im Verhältnis zu einem Nullmodel, wiedergibt.
Zusätzlich betrachten wir, mit einem recht guten Ergebnis, den MSE, Mittelwert der Quadratfehler, oder auch die quadrierte Differenz der Vorhersage- & Beobachtungspunkte.
mean(SBKmodel$residuals^2) ## [1] 2.999695Deutlicher wird, dass das Ergebnis “recht gut” ist, wenn wir aus diesem Ergebnis noch die Wurzel ziehen, den RSME erhalten und so wieder in unseren “Noteneinheiten” sehen, dass eine mittlere Abweichung von ≈1,73 Notenpunkten vorliegt.
sqrt(mean(SBKmodel$residuals^2))## [1] 1.731963Bevor das Modell in die SBI geht, überprüfen wir nocheinmal, ob es einzelne Einflusspunkte gibt, die die Koeffizienten im Regressionsmodell zu stark beeinflussen.
any(cooks.distance(SBKmodel) > 1) ## [1] FALSEWir finden keine Einflusspunkte, die schwer genug sind. Also weiter.
7. Inferenz
Zuerst erstellen wir eine Bootstrap-Verteilung, um die uns unbekannte Verteilung zu schätzen.
set.seed(1337)
BootSBK <- do(10000) *lm(Portuschnitt~Matheschnitt, data = mosaic::resample(SchuelerBeiderKurse))“Empmodel” wird hierbei im 2. Schritt der Wert unserer empirischen Beobachtung zugewiesen. Um darzustellen, wie sich die Bootstrapverteilung unseres Steigungskoeffizienten verteilt, erstellen wir ein Histogramm.
Empmodel<-coef(lm(Portuschnitt~Matheschnitt, data = SchuelerBeiderKurse))[2]
ModelQ1<-quantile( ~ Matheschnitt, probs = c(0.025, 0.975), data = BootSBK)[1]
ModelQ2<-quantile( ~ Matheschnitt, probs = c(0.025, 0.975), data = BootSBK)[2]
gf_histogram( ~ Matheschnitt, data = BootSBK) %>%
gf_vline(xintercept = ~Empmodel) %>%
gf_vline(color = c("blue"), xintercept = ~ c(ModelQ1, ModelQ2), data = NA)
confint(BootSBK)sd( ~ Matheschnitt, data = BootSBK)## [1] 0.06731947Wir können erkennen, dass das 95%-Konfidenzintervall der Steigung nicht die Null oder gar negative Werte beinhaltet, sondern sich von ≈ 0,43 bis ≈ 0,69 erstreckt. Mit einer Sicherheit von 95% wird eine erneute Resampling-Stichprobe wieder einen Wert in diesem Intervall ausgeben und den wahren Wert der Population überdecken. Dieser Schätzkorridor hat einen Standardfehler von 0.06731947. Unsere Erwartungswerte liegen also zwischen dem “Estimate” unseres Koeffizienten “Matheschnitt” von 0.6080122 ± 2*0.06731947.
Das entsprechende Konfidenzintervall unseres Achsenabschnitts verläuft zwischen ≈ 4,39 und ≈ 7,79, das unseres R² zwischen ≈ 0,41 und ≈ 0,69.
set.seed(1337)
SBKnull <- do(10000) *lm(Portuschnitt ~ shuffle(Matheschnitt), data = SchuelerBeiderKurse)Wir untersuchen nun, ob man auch hier unseren empirischen Wert finden kann.
gf_histogram( ~ Matheschnitt, data = SBKnull) %>%
gf_vline(xintercept = ~Empmodel, color = "blue")
Die beobachtete Steigung ist visuell beinahe nicht in der Verteilung vertreten, die von Zusammenhangslosigkeit ausgeht. Genauer zeigt das der Standardfehler:
sdnull<-sd( ~ Matheschnitt, data = SBKnull)
(Empmodel-0)/sdnull## Matheschnitt
## 6.849185Der beobachtete Wert der Stichprobe liegt vom angenommenen Wert 0 ca. 6,85 sd Einheiten entfernt, ist also extrem selten. Zur Verdeutlichung:
xpnorm(Empmodel, mean = mean(~Matheschnitt, data=SBKnull), sd = sdnull)
## Matheschnitt
## 1SBKnull <- SBKnull %>%
mutate(effektnull = abs(Matheschnitt))
prop( ~ (effektnull >= Empmodel), data = SBKnull)## prop_TRUE
## 0Sowohl die grafische als auch die Anteilsuntersuchung durch xpnorm zeigen, dass der p-Wert sehr nah an die 0 rückt, wir also die \(H_0\) verwerfen und die \(H_1\) annehmen können, da wir unter Annahme einer Nullhypothese nicht im Stande sind, vergleichbare Einflussgrößen der Mathematiknoten auf die Portugiesischnoten zu finden. Das Ergebnis ist also statistisch signifikant zum alpha von 5%.
8. Diskussion
Schlussfolgerungen
Innerhalb dieser Daten war in der Datenanalyse ersichtlich, dass die Leistungsergebnisse beider (dem Ursprung der Untersuchung nach entgegengerichteten) Kurse nicht einseitig verrissen sind. Ist ein positives Leistungsniveau im Fach Mathematik zu erkennen, ist nach unserem Modell auch ein vergleichbar positiver Wert im Fach Portugiesisch zu erwarten- also vielmehr eine gleichgerichtetes Verhältnis. Die Zusammenhangslosigkeit konnte anhand der Nullhypothese verworfen werden.
Interpretation
Mit der gegebenen Modellgüte lässt uns nun theoretisch innerhalb unseres Prognoseintervalls der Notendurchschnitt nach gegebenen Mathematikdurchschnitt prognostizieren.
predict(SBKmodel,newdata = data.frame(Matheschnitt = 5), interval = "prediction")## fit lwr upr
## 1 8.956727 5.364877 12.54858Ausgehend von einem Schnitt “von”5" in Mathematik, zeigt das Modell, dass ein Notendurchschnitt zwischen ≈5,4 und ≈12,5 zu erwarten ist. Genau am Modell (fit) sind es ≈9.
Grenzen der Analyse
Bei der Analyse wurden die Durchschnittswerte von Periodenergebnissen berechnet, die wiederum auch nur Mittelwerte ihrer jeweiligen Periode darstellen. Sämtliche Einzelleistungen innerhalb der (unbekannten) Vektoren fallen so “unter den Tisch”.
Es wurden zudem lediglich Daten an zwei Schulen in Portugal erhoben. Wir können also maximal auf vergleichbare portugiesische Schüler schließen, sofern davon ausgegangen wird, dass die beiden Standorte repräsentativ sind. Zudem ist die Stichprobe recht knapp bemessen, um aus ihr heraus zu inferieren.
Auch gab es keine weitere Beschreibung äußerer Einflüsse oder zum Verhalten der Schüler. So kann man beispielsweise Störvariablen vermuten, aber eben nicht sicher nachweisen.
Unser p-Wert scheint zwar sehr eindeutig, jedoch ist er, so wie die Schätzung des Standardfehlers, durch die Verletzung der Annahme der Homoskedastizität beeinflusst. Die eigentliche Schätzung der Steigung bleibt dabei unberührt.