U1A5

##Distribuciones de probabilidad En R, Cada distribucion de probabilidad se nombra mediante una clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones mas importantes son:

• Distribución Alias

• Distribución binomial binom

• Distribución de Poisson pois

• Distribución normal norm

• Distribución exponencial exp

• Distribución t de Student t

• Distribución Chi2 chisq

• Distribución F f \[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \]

Distribucion Exponencial

curve(dexp(x), from=0, to= 10)

#Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 10

Distribucion binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x

##  [1] 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0

#Genera 20 observaciones con distribucion B(1,0.5)

Contando exitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
## 12  8

e. g. Distribucion normal

si \(x\) es una variable aleatoria, con distribucion normal de media 3, y su desviacion tipica es de 0.5 la probabilidad de que \(x\) sea menor a 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean= 3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

• Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a normal estandar Z, es decir, un valor x tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

• Para calcular el cuantil pero con una variable aleatoria normal de media 0 y una desviacion tipica de 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

• Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):

x <- rnorm(100, mean=10, sd=1 )
x

##   [1] 10.339988 10.207280  8.556455 10.046684  9.690791  8.969676 10.049371
##   [8] 10.855982 10.338969 12.398420  9.358421 12.152673 10.010482  9.550899
##  [15] 10.299630  9.190170  9.957967  9.268471 10.040120  9.043542 10.479135
##  [22]  9.660775 10.288053 10.188030 10.970603  9.417821  8.917805  8.829475
##  [29] 11.779369 10.730324  9.837088 10.008432  9.987296  9.824414  7.920319
##  [36]  9.286015 10.445195  9.711884 10.035322  9.372595  9.641706  9.831288
##  [43]  9.144810  8.122030  8.558244 11.313972  9.258669 10.159259  9.064761
##  [50]  8.833310 11.273868 10.506224  9.038677 10.031667  9.989958 12.179987
##  [57]  9.820574  9.723173  8.944901  8.955921  9.021111 10.820507 10.113037
##  [64] 11.519252 11.404902 11.601464 10.262380  9.837054  9.041650 10.362382
##  [71]  8.511881 10.303770 10.063602  8.955441 10.064932 11.338266  7.416422
##  [78]  9.438459  9.332788  8.999596  9.847431 11.292260  9.302239  9.138710
##  [85] 11.005923  9.600109  8.984588 10.433656 11.726213  9.190756  8.203506
##  [92]  9.458969  9.035282 11.005642  8.637850 10.309848  9.828059 12.200231
##  [99]  9.314363 11.345704

• Para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 9.906792

• Histograma de frecuencias

hist(x)

* Grafico de cajas y bigote

boxplot(x)

• Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:

hist(x, freq=FALSE) # Freq=FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), from=7, to=13, add=TRUE)

Ejercicios

1- Si Z es una variable con distribución normal estándar, calcula P(−2.34<Z<4.78).

2- Calcula el rango intercuartílico de una población normal estándar.

3- Genera una muestra de tamaño 10 de una población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media muestral y la poblacional? Repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias.

4- Genera 1000 números con distribución de Poisson de parámetro λ=1. Representa el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?