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Probabilidad de un evento

Distribuciones de probabilidad

** Funciones en R

En R , cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias . Las palabras claves para las distribuciones más importantes son:

• Distribución Alias
• Distribución Binomial binom
• Distribución de Poisson pois
• Distribucón normal norm
• Distribución exponencial exp
• Distribución t de student t
• Distribución Chi2 chisq
• Distribución F f

$$ \[\begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array}\]

$$

Distribución exponencial

curve(dexp(x) , from=0, to=10)

# Viene siendo la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10.

Distribución binomial

x <- rbinom(20,1,0.5)
x

##  [1] 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

# Genera 20 observaciones con distribución B(1,0.5)

Contando éxitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
## 13  7

Ejemplo de distribución normal

si \(x\) es una variable aleatoria , con distribución normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(x\) sea menor que 3.5.

pnorm(3.5,mean=3,sd=0.5)

## [1] 0.8413447

• Para calcular el cuantil 0.7 de una variable aleatoria normal estandar z, es decir , un valor x tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

• Para calcular el mismo cuantil , ara una variable aleatoria normal con media 0 y desviación estandar de 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor $\(z_\alpha\) que aparece en muchas de las formulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

• Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y SD= 1, y que se guarde en un vector X :

x <- rnorm(100, mean=10 , sd=1 ) 
x

##   [1]  8.461080 11.084880 10.418497  9.165987 10.572006 11.073840  8.338062
##   [8] 10.082021 10.645032  9.032803  9.198995  9.949496 10.600021 11.128081
##  [15] 10.218400  9.695405  9.355659  9.695051 10.718041 11.738287 10.603692
##  [22] 10.564670  9.954975 12.068230  9.438006  9.606490  8.312728  9.455202
##  [29] 10.380380  8.809845  8.354634  8.217968 11.314864  8.797432  9.726308
##  [36] 11.812057  9.639230  8.497549  9.877873  9.228466  9.122545  8.401430
##  [43] 12.513141  8.607519 10.877468  9.768837  9.464411  9.480779  7.706441
##  [50]  8.862738 10.487912 10.295515 10.622530 10.363417 11.285411 10.319359
##  [57] 10.614995 10.555199 10.042249 11.790795 10.452665  9.551050 10.062063
##  [64]  9.849257 10.740718 10.167487  9.859155 11.162893  9.772156 10.215223
##  [71] 10.349516 11.125365 10.424503 10.464644  9.421869 11.535746  9.811998
##  [78]  9.111968 10.142094  9.338013 10.935789  9.891230  9.363541  8.876704
##  [85] 10.955007  9.929252 10.616629  9.416029  8.829700  8.958976  9.770830
##  [92] 10.710174 11.359551 12.420523 10.243372  9.952224  8.817984 10.650612
##  [99]  9.931339 10.932115

• Estimar promedio de X

mean(x)

## [1] 10.03135

• Histograma de frecuencias

hist(x)

• Gráfico de cajas y bigote

boxplot(x)

• Histograma de la muestra normalizado para que la suma de los rectangulos sea

1. junto con la densidad de población:

hist(x, freq=FALSE) #FREQ=FALSE , para que el area del histograma sea 1

curve (dnorm(x, mean=10 , sd=1), form=7, to=13, add=TRUE)

## Warning in plot.xy(xy.coords(x, y), type = type, ...): "form" is not a graphical
## parameter

Ejercicios

1. Si \(Z\) es una variable con distribución normal estandar , calcula \(\mathbb{P}(-2.34 < z < 4.78)\)

2. Calcula el rango intercuantilico de una población normal estandar

3. Genera una muestra de tamaño 10 de una población normal estandar. ¿Cuál es la diferencia entre la media muestral y la poblacional?, Repite el ejercicio 3 y anota las 3 diferencias.

4. Genera 1000 números con distribución de Poisson de parametro \(\lambda = 1\). Representa el gráfico de barras de los números obtenidos . Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?

5. Calcula con R los valores que se muestran a continuación: \(t_{3,\alpha}\), \(\chi^2_{3, \ alpha}\) , para \(\alpha = 0.5\) y \(\alpha = 0.1\). Compara los valores obtenidos con los que se parecen en las correspondientes tablas

Conclusión: A partir de diversos datos se llevaron acabo ciertos gráficos e histogramas para comprender las diferentes distribuciones más comunes que se pueden aplicar en R, así como la forma en la que pueden ser utilizados cada uno de los mismos.