PROBABILIDAD

INTRODUCCION A LAS PROBABILIDAD

PROBABILIDA ES EL LENGUAJE MATEMATICA PARA CUANTIFICAR LA INCERTIDUMBRE. -WASSERMAN

TERMINOLOGIA DE PROBABILIDAD: ESPACIO DE RESULTADOS, EVENTOS, FUNCIONES DE PROBABILIDAD, ETC.
INTERPRETACION FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y SU RELACION CON LA INDEPENDENCIA.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados $\omega$ es el conjunto de resultados de un experimentos aleatorio.

e.g. si lanzammos una moneda dos veces entonces:

\[\omega =\{AA, AS, SA, SS\} \] Un eventos es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayusculas.

e.g. Que la primer lanzamiento resulte aguila.

\[A=\{AA, AS\} \] ## eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de ingenieria quimica hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporcion de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300} =0.3 \]

Eventos equiprobables si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del eventos A es el numero de resultados en A dividido entre el numero total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\omega)} \] por lo que solo hace falta contar.

e.g. combinaciones

un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres,si la seleccion es aleatoria, ¿cual es la probabilidad de que el comite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay $\dbinom{15}{5}$ posibles comites, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado. por otra parte hay $\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}$ posiles comites que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la funcion para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15,5)

## [1] 0.2397602

interpretacion frecuentista de la probabilidad

una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesion de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10, replace= TRUE  )
lanzamientos_10

##  [1] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A"

podemos calcular las secuencias de frecuencia relativas de aguila:

cumsum(lanzamientos_10 =="A") # suma acumulada de aguilas

##  [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)

##  [1] 0.00 0.50 0.67 0.75 0.80 0.83 0.86 0.88 0.89 0.90

##distribucion de probabilidad

**Funciones en R

En R cada distribucion de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. las palabras claves para las distribuciones mas importantes son:

Distribucion Alias
Distribucion binomial binom
Distribucion de poisson pois
Distribucion normal norm
Distribucion exponenciasl exp
Distribucion t de student t
Distribucion chi2 chisq
Distribucion F f

\[\begin{array}{l|l|l|c} \text{Funcion} & \text{Significado} & \text{uso}& \text{observacion}\\ \hline p & \text{probability} & \text{calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{calcula probabilidades puntuales} & \text{solo uso grafico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{genera datos alcatorios segun una distribucion especifica} & \text{---}\\ \hline \end{array}\]

$$ Distribucion Exponencial

curve(dexp(x), from=0, to=10)

#representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribucion binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x

##  [1] 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0

#genera 20 observaciones con distribucion B(1,0,0.5)

contando exitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
##  8 12

e.g. Distribucion normal si $x$ es una variable aleatori con distribucion normal de media 3 y su desviacion tipica es de 0.5 la probabilidad de que $x$ sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

para calcular el cuantil 0.7 de una variable aletoria normal estandar Z, es decir, un valor X tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

para calcular el mismo cuantil pero con una variable aleatoria normal de media 0 y DT 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor $\( z_\alpha $\) que aparece en muchas de las formulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

para general una muestra de tamaño 100 de una poblacion normal de media 10 y desviacion tipica 1 (y guardaria en un vector x)

x <- rnorm(100, mean=10, sd=1)
x

##   [1]  8.492567  9.316317  9.898797  8.754715 12.538284  8.630266 11.200318
##   [8] 10.396635  9.694534  9.375658 10.147990  7.728092  9.845394 10.189044
##  [15] 10.810832  9.626221  9.004103 10.754919  7.840709 10.987764  9.250645
##  [22]  8.350501 10.898926  9.231963 11.189247 11.255068 10.541157  8.426403
##  [29] 12.111594 11.598450  8.436093  9.975541 10.309942 11.580963  9.718764
##  [36]  9.278588 12.432261  9.494938 11.422175  9.087043  9.710330 10.350387
##  [43]  9.296209 10.815427 10.458428 11.949819  8.963222  8.247522  9.280601
##  [50] 10.990659  9.764777 11.349146  9.728643 10.906245  9.410400  9.122750
##  [57] 10.194455 11.400036 12.308743 11.094088 10.611001  9.332124  9.744042
##  [64] 10.066383  8.263636  9.870619  9.054699 11.615980  8.185987  9.298269
##  [71] 11.187654  9.455443 12.049733  8.969760 10.275669 12.765407  9.256323
##  [78]  8.292039  8.295389  8.714792 10.429896 10.893446 11.199124  8.269512
##  [85]  9.279933 10.284676 11.439041 11.058270 10.523821  9.580114  9.067534
##  [92] 10.975669  9.259910 11.413675 11.645290  9.453686 10.513237  8.686040
##  [99]  9.086424 10.198510

para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 10.03728

histograma de frecuencias

hist(x)

grafico de caja y bigote

boxplot(x)

histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las areas de los rectangulos sea 1) junto con la densidad de la poblacion:

hist(x, freq=FALSE) # Freq=FALSE, para que el area del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), form=7, to=13, add=TRUE)

## Warning in plot.xy(xy.coords(x, y), type = type, ...): "form" is not a graphical
## parameter

Ejercicios

*1. si $z$ es una variable con distribucion noraml estandar, calcula $\mathbb{p}(-2,34 < z < 4.78)$.

*2. calcula el rango intercuartilico de una poblacion estandar.

*3. genera una muestra de tamaño 10 de una poblacion normal estandar, ¿cual es la diferencia entre la media muestral y la poblacional? repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencuas.

*4. genera 1000 numero con distrubucion de poission de parametro $\lambda = 1$. representa el grafico de barras de los numero obtenidos. calcula la media y la varianza de los numeros obtenidos. ¿se parecen a los valores teoricos?

*5. calcula con R los siguientes valores: $t_{3,\alpha}$, $\chi^2_{alpha}$, para $\alpha = 0.05$ y $\alpha=0.01$. compra los valores obtenidos con los que aparecen en las correspondientes tablas.

You can also embed plots, for example:

Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.

PROBABILIDAD

NICOLE

11/9/2020

INTRODUCCION A LAS PROBABILIDAD

Espacio de resultados y eventos

interpretacion frecuentista de la probabilidad