Distribuciones de probabilidad en R y Markdown

Distribución exponencial

curve(dexp(x), from=0, to=10 )

#Ejemplo de una gráfica exponencial

Distribución binomial

La distribución binomial compara éxitos vs fracasos

#Asignación de un alias que contenga 20 observaciones binomiales aleatorias
x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x

##  [1] 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

# Hace la generación de 20 observaciones con distribución B(1,0.5)

Éxitos vs fracasos

Generación de una tabla de conteo de éxitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
## 11  9

Ejemplo de distribución normal

En esta distribución en la parte horizontal de la tabla se expresa el valor, y en la parte vertical se expresa la probabilidad de manera porcentual, entre mas cerca de la media la probabilidad es mas frecuente o alta.

si \(x\) es una variable aleatoria, con la distribución normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(x\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a. normal estándar z, es decir, un valor Z tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

Para calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(\ ( z_\alpha\ )\) se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Ejemplo:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 con una población media de 10 y una desviación estandar de 1 se hace así (Se guardara en un vector x).

x <- rnorm(100, mean=10, sd=1)
x

##   [1] 10.363802  9.225748 11.466142  9.154266 11.069119  9.515016  9.720957
##   [8] 10.664975  9.366581  9.327000  9.174579  9.318103 10.523360 11.073895
##  [15]  9.354353 11.002736  9.074682 10.312601 10.558656 10.335110 10.902441
##  [22] 10.159300 12.370318  9.800632  7.970598  8.506926 10.469030 10.176495
##  [29] 10.845624 11.164604  9.923524  9.735794  7.990740 10.691517 10.464369
##  [36] 10.661134 10.181600  8.835636  9.341785 10.856874 10.130332  9.732624
##  [43]  9.976487  9.408443 10.130593  8.825644  9.577142  9.684534 11.563128
##  [50]  9.757866  9.596227 10.174163  8.823630 10.002674  9.758871 10.137865
##  [57] 10.695550 10.271600  9.087157  7.984253  8.780832  9.033334 11.425888
##  [64]  9.116672  9.755696  9.809753 11.237464  8.880943 10.409766 10.396943
##  [71] 10.273557  7.255399 10.691849 11.087512 11.230436  8.783978  9.234629
##  [78] 10.057056 10.804951  9.384214 10.100871  8.905947 10.320626  9.676514
##  [85] 10.592880 10.884719 10.884753  9.691301 10.559910 10.506113  8.544639
##  [92] 10.162930 10.242704 10.137859  9.246204  9.972566  9.584979 12.421430
##  [99]  9.674176 10.305938

Estimación del promedio

mean(x)

## [1] 9.970373

Generación de un Histograma de frecuencia

hist(x)

Generación de gráfico de cajas y bigote

boxplot(x)

Representación de histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos) sea 1 junto con la densidad de la población:

# x es un vector lineal con 6 numero aleatorios
hist(x, freq = FALSE) # Freq=FALSE, esta asi para que el area del histograma sea 1, de esta manera sep podrá dibujar una curva
curve(dnorm(x, mean = 10, sd=1), from=7, to =13,add = TRUE)

Ejercicios 1. Sí \(z\) es una variable con distribución normal estándar, calcula \(\mathbb{p}(-2.34 < Z <4.78)\).

pnorm(4.78,sd = 1) - pnorm(-2.34, sd = 1)

## [1] 0.9903573

2. Calcula el rango intercuartílico de una población normal estándar.

#qnorm(, mean = 0, sd = 1)
#Profe aquí no supe que hacer

3. Genera una muestra de tamaño 10 de una población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media muestral y la poblacional? Repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias.

x <- rnorm(10)
x

##  [1]  1.4566588  0.3902411 -0.6226710 -1.0897783  0.6167830 -1.0513516
##  [7]  0.9795515 -0.2722435 -1.8321099  0.2834810

En la primer lanzada el máximo es 0.96 y el minimo -2.011
En la segunda lanzada el máximo es 1.1605 y el minimo es de -2.2790
En la tercer lanzada el máximo es 1.1447 y el minimo es de -3.0006

mean(x)

## [1] -0.1141439

En la primer tirada la media fue de -0.281
En la segunda tirada la media fue de -0.4465

En la tercer tirada la media fue de -0.2472

     Como conclusión los valores medios de las tres tiradas estan bastante cerca entre si, pero los valores aleatoreos de arriba si varian bastante desde el min y el max

4. Genera 1000 números con distribución de Poisson de parámetro \(\lambda = 1\). Representa el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?

Generación de 1000 números aleatorios con \(\lambda = 1\)

x <- rpois(1000,1)
x

##    [1] 1 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 0 2 1 0 3 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 0 2 1 1 3 0 2 1 1
##   [38] 1 2 0 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 0 2 1 0 1 0 1 1 2 1 2 2 3 0 0 0 1 0 2 2 1 1 0 2
##   [75] 2 1 0 0 0 2 0 3 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 4 0 0 1 0 0 2 0 2 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1
##  [112] 2 1 1 0 2 2 0 0 1 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 0 1 1 2 1 1 1 1
##  [149] 0 2 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 1 3 0 0 0 0 3 1 1 2 0 2 4 1 1 2 0 1 1 2 0 3 3 1 1
##  [186] 2 3 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 3 1 3 1 2 2 3 1 0 1 1 0 1 0 2 1 3 2 0 2 0
##  [223] 2 1 3 4 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2 0 1 1 0 1 1 1 0 4 1 1 2 2 1 0 2 0 0 2 1 2 1
##  [260] 2 2 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 2 1 1 2 2
##  [297] 3 1 2 0 0 0 0 1 1 2 3 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
##  [334] 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 0 4 3 3 0 1 4 1 0 0 0 0 1 1 4 2 3 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0
##  [371] 0 0 2 1 1 3 1 1 1 3 1 0 2 3 1 2 1 2 0 1 0 1 0 0 4 0 0 2 1 0 3 2 2 2 2 1 1
##  [408] 0 2 2 1 0 1 1 0 3 1 2 0 0 0 1 0 1 3 2 0 0 1 1 1 1 2 0 0 2 0 0 0 1 1 0 3 2
##  [445] 2 0 0 0 1 0 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 3 0 0 3 0 2 1 1 1 0 1 2 0 0 1
##  [482] 1 1 1 1 1 2 0 3 2 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 3 0 0 1 0 2 0 2 1 0 2 2 1 1 0 1 2 2
##  [519] 3 2 3 3 1 3 4 0 0 0 1 0 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 0 1 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0
##  [556] 0 2 2 2 0 2 3 4 0 1 1 0 2 2 1 0 4 1 2 0 1 0 2 0 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1
##  [593] 0 2 2 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 2 0 0 2 0 3 1 2 4 0 2 2 0 4 0 2 1 1 0
##  [630] 1 2 2 0 1 1 1 0 1 0 0 0 2 2 0 1 2 1 1 1 1 1 0 2 2 4 1 3 0 2 3 2 3 1 1 0 0
##  [667] 2 0 1 2 3 0 2 1 2 2 2 1 1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 0 2 0 2 2 0 1 0 1 2 0 0 0 0 2
##  [704] 1 0 1 0 1 0 2 4 1 2 0 0 2 1 4 0 3 1 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1
##  [741] 0 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 3 1 0 3 1 1 2 0 0 2 0 0 1
##  [778] 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 1 1 2 0 2 1 2 0 0 1 1 2 2 1 1 0 1 1
##  [815] 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3 0 1 2 1 2 1 0 3 0 2 4 0 0 3 1 2 2 0 1 3 1 2 0 0 0
##  [852] 2 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 3 1 1 0 1 2 2 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 2 3 0
##  [889] 0 1 2 1 1 4 1 0 0 2 0 0 1 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 4 1 1 3 1 1 0 3 1 1 2 1 0 1
##  [926] 1 1 3 0 0 0 2 1 1 2 1 1 0 3 3 0 0 2 0 2 2 0 2 1 1 0 2 1 1 0 0 0 0 2 0 1 2
##  [963] 1 1 0 2 0 2 4 1 0 0 5 0 2 0 1 1 2 0 0 2 2 1 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 2 3 0 1 1
## [1000] 0

Calculación de la media

mean(x)

## [1] 1.017

Calculación de la varianza

var(x)

## [1] 1.001713

En la generación hay muchos 1 entonces es normal que la media sea muy cerca al 1 y la varianza no sea mayor a 1

5. Calcula con R los Siguientes valores: \(t_{3,\alpha}\), \(\chi^2_{3,\alpha}\), para \(\alpha = 0.05\) y \(\alpha = 0.01\). compara los valores obtenidos con los que aparecen en las correspondientes

qt(0.05, df = 3)

## [1] -2.353363

qt(0.01, df = 3)

## [1] -4.540703

Los valores son parecido, ambos tiene una diferencia aproximada de 2 y son negativos

qchisq(0.5, df = 3)

## [1] 2.365974

qchisq(0.01, df =  3)

## [1] 0.1148318

Los valores en esta prueba son también muy parecido entre si y también a los de arriba, ambos tiene una diferencia aproximada de 2, pero estos números son positivos

U1A5

Fernando

11/9/2020

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