U1A5

Marian Gutiérrez

11/09/2020

Distribución normal

Distribuciones de probabilidad

Funciones en R

En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra vlave o alias. Las palabras clave para las distribuciones más importantes son:

  • Distribución Alias
  • Distribución binomial binom
  • Distribución de Poisson pois
  • Distribución normal norm
  • Distribución exponencial exp
  • Distribución t de Student t
  • Distribución \(\chi^2\) chisq
  • Distribución F f

\[ \begin {array}{1|1|1|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso} & \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades punruales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \]

Distribución exponencial

curve (dexp(x), from=0, to=10)

#Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribución binomial

  • Conteo de éxitos (1) versus fracasos (0)
x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x
##  [1] 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0
#Genera 20 observaciones con distibución B(1, 0.5)
table(x)
## x
##  0  1 
## 12  8

Distribución normal

Si \(x\) es una variable aleatoria, con distibución normal de media 3 y su desviacion típica es de 0.5, la probabilidad de que \(x\) sea menos que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)
## [1] 0.8413447
  • Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a. normal estandar z, es decir, un valor x tal que:
qnorm(0.7)
## [1] 0.5244005
  • Para calcular el mismo cuantil pero para una v.a. normal de media 0 y una DT 0.5
qnorm(0.7, sd=0.5)
## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)
## [1] 1.959964
  • Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):
x <- rnorm(100, mean=10, sd=1)
x
##   [1]  9.388460  8.665688 12.066768  9.292325 11.075311 12.330517  9.792974
##   [8] 10.988925  9.068234 10.537181  9.291686  9.873335 10.094121 11.105164
##  [15]  8.915501  8.858666  9.924264  8.652557 10.148339  9.283725  9.153663
##  [22] 10.721317  9.179705 11.128150 10.087112  9.234321  9.243498  9.289874
##  [29]  8.781222  8.110929 10.242680 10.832201 11.658296  9.159983  8.190842
##  [36]  8.804437  8.663470 10.897155 10.578601 10.006433 11.257582 10.945341
##  [43]  9.995209  9.200366 11.364716 10.369812  9.447162  9.366084  9.629664
##  [50] 10.311950  8.912225  9.165211 11.341951 10.650434 12.566315 11.506595
##  [57]  9.851177  9.807233  8.755589 10.721484  8.941817  9.033760  9.197219
##  [64] 10.109940  9.265058 11.028555 10.481593  9.789380  9.137087  9.177277
##  [71]  9.341459  9.957628  8.344543  7.223645  9.485025  9.895082  9.105071
##  [78]  9.621797 10.188055  9.376584  9.159742  9.437387 11.198339 11.224931
##  [85] 11.749389 10.236789 12.155359 10.023111  9.728378 10.511588  9.784603
##  [92] 11.063075 10.051135 10.499333 10.106931  8.942175  9.344421  8.660995
##  [99] 10.324273 11.846820
  • Para estimar el promedio de x
mean(x)
## [1] 9.932331
  • Histograma de frecuencias
hist(x)

  • Gráfico de cajas y bigote
boxplot(x)

  • Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:
hist(x, freq=FALSE)
#freq=FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), from=7, to=13, add=TRUE)

Ejercicios

  1. Si \(Z\)es una variable con distribución normal estandar, calcula \(\mathbb{P}(-2.34 < Z < 4.78)\)

  2. Calcula el rango intecuartílico de una población normal estandar.

  3. Genera una muestra de tamaño 10 de una polación normal estandar. ¿Cuál es la diferencia entre la media muestral y la población? Repite el ejercicio 3 veces y abota las 3 diferencias.

  4. Genera 100 números con distribución Poisson de parámetro \(\lambda = 1\). Representa el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?

  5. Calcula con R los siguientes valores: \(t_{3,\alpha}\), \(\chi^2_{3,\alpha}\), para \(\alpha = 0.05\) y \(\alpha = 0.01\). Compara los valores obtenidos con los que aparecen en las correspondientes tablas.

Conclusión

En este ejercicio aprendimos conceptos relacionados con la probabilidad y estadística, además de como interpretarlos y utilizarlos. Con la ayuda también de gráficas y diversos ejercicios para lograr comprenderlos mejor.