U1A5

Distribución normal

Distribuciones de probabilidad

Funciones en R

En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones más importantes son:

• Distribución Alias
• Distribución binomial binom
• Distribución normal norm
• Distribución exponencial exp
• Distribución t de Student exp
• Distribución Chi2 chisq
• Distribución F f

$$ \[\begin{array}{1|1|1|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso} & \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribucón específica} & \text{---}\\ \end{array}\]

$$

Distribución exponencial

curve (dexp(x), from=, to=10 )

#representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribución binomial

x <- rbinom(20,1,0.5)
x

##  [1] 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

#Genera 20 observaciones con distribución B(1,0.5)

Conteo de éxitos (1) vs. fracasos (0)

table(x)

## x
##  0  1 
## 14  6

e.g. Distribución normal

Si \(X\) es una variable aleatoria, con distribución normal de media 3 y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(X\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

• Para calcular el cuantil 0.7 de una variable aleatoria normal estándar Z, es decir, un valor X tal que:

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

• Para calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT 0.5:

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

• Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):

x <- rnorm(100, mean=10, sd=1)
x

##   [1] 10.640037 10.098590 10.209090  8.463373 10.914986  9.607106 10.435526
##   [8] 10.973237 10.557443 10.438753 10.893923 10.401373  8.800142 10.623767
##  [15] 11.244085  8.719581 10.972506 12.307055  8.689871 10.960484 10.692882
##  [22]  6.378030 10.240474 10.381972 10.404191  9.277822 11.186029 11.010101
##  [29]  8.892487 10.478982 11.515110 11.591399  8.589347 10.694600 10.949035
##  [36] 10.041620 11.389349 11.413836  8.967554  8.650642 10.253722 10.112194
##  [43]  9.003097 10.320130  8.218594  9.942045  9.848017  8.346910  8.068231
##  [50]  8.879215 10.535638 10.452098  9.112996  8.765842 11.292250  9.642684
##  [57] 10.006922 11.222216 10.360882  7.586087 10.252561  9.417533 12.957365
##  [64] 10.020301  8.699947  9.675434  9.945936  9.738854  8.518700 12.006108
##  [71] 10.274462  8.933368 10.216680 11.052616  8.347878  9.972881  8.783207
##  [78]  9.299256  9.717034  9.708959  8.652241 10.321852 11.473127  8.901239
##  [85] 10.069338 10.578581 12.176025  9.416502  9.225444 10.558902 11.104514
##  [92]  9.803466 10.364308 10.690499  9.834680 10.620103 11.710450  9.380917
##  [99]  9.268963  9.854486

• Para estimar el promedio de x:

mean(x)

## [1] 10.02211

• Histograma de frecuencias

hist(x)

• Gráfico de cajas y bigote

boxplot(x)

• Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de población:

hist (x, freq=FALSE) #Freq=FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve (dnorm(x, mean=10, sd=1), from =7, to=13, add=TRUE)

Ejercicios

• Si \(Z\) es una variable con distribución normal estándar, calcula \(\mathbb{P}{-2.34 < Z < 4.78}\).

pnorm(-2.34)

## [1] 0.00964187

• Calcula el rango intercuartílico de una población normal estándar.

• Genera 1000 números con distribucón de Poisson de parámetro \(\lambda=1\). Representa el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?

• Calcula con R los siguientes valores: \(t_{3,\alpha}\), \(\chi^2:{3,\alpha}\), para \(\alpha=0.05\) y \(\alpha=0.01\). Compara los valores obtenidos con los que aparecen en las correspondientes tablas.

Redacción personal.

En esta asignación se abordó las distribuciones de probabilidad y como son sus comandos en R, con algunos ejemplos. Existe el comando “probability” el cual efectúa las probabilidades acumuladas, el comando “quantile” donde se ven cuantiles, “density” que expresa probabilidades puntuales y “random” que genera datos aleatorios. Son mucho más facil y útiles estos comando en R, debido que hacer esto a mano llevaría mucho tiempo.