Probabilidad

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Introducción a la probabilidad

Incertidumbre

Introducción a la probabilidad

“Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre.” -Wasserman

1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.

2. Interpretación frecuentista de probabilidad.

3. Probabilidad condicional y su relación con independencia.

4. La regla de Bayes.

##Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\\Ω\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[ \ Ω= \{AA, AS, SA, SS \ } \]

Un Evento es un subconjunto del espacio muestral. Los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

Ejemplo: que el primer lanzamiento resulte águila…

\[ A =\{AA, AS\} \]

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción o cociente de una parte con respecto a un todo.

Ejemplo0: En la carrera de Ing. Química hay 300 Hombres y 700 Mujeres, la proporción es:

\[ \frac{300}{700+300} = 0.3 \] Eventos equiprobables: Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(Ω)} \] Por lo que solo hace falta contar.

Ejemplo: Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \ \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{9}{2}} \] y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)

## [1] 0.2397602

Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios:

• El número de lanzamientos de un dado hasta que obtienes un 6.
• Tu calificación final en el curso.
• El tiempo en minutos hasta tu próximo estornudo.
• El peso de una lata de Coca-Cola (incluyendo el líquido).

Interpretación frecuentista de probabilidad

Las probabilidades se entienden como una aproximación matemática de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a infinito. Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos:

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"), 10, replace = TRUE)
lanzamientos_10

##  [1] "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A"

#Calcular la secuencia de frecuencias relativas de águila
cumsum(lanzamientos_10 == "A") #suma acumulada de águilas

##  [1] 0 1 1 1 2 3 3 3 3 4

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)

##  [1] 0.00 0.50 0.33 0.25 0.40 0.50 0.43 0.38 0.33 0.40

Lanzamientos

Conclusiones

Como puede verse, es importante saber interpretar datos y la manera en que son presentados, por esa razón es hasta después de realizar ciertas prácticas que ayudan a visualizar información que se comienza con el funcionamiento y los conceptos básicos de la probabilidad. Es interesante ver este enfoque que evita saltar de lleno al contenido inicial de la material para dar otra clase de introducción que permita al aprendizaje darse más sencillamente.