Distribuicione de probabilidad

** Funciones en R

En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una plabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones más importantes son:

\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Funcion} & \text{Significado} &\text{Uso} & \text{Observación}\\ \hline p & \text{Probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{Quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{Density} & \text{Calcula probabilidadades puntuales} & \text{solo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{Random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución espesifica } &\text{---}\\ \hline \end{array} \]

Distribución exponencial

curve (dexp(x), from=0, to=10)

#repesenta la dencidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribución binomial

x<- rbinom(20,1,0.5)
#genera 20 obervaciones 
x
##  [1] 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0
  • conteo de exitos (1) VS fracasos (0)
table(x)
## x
##  0  1 
## 12  8

Distribucción normal

Si \(x\) es una variable aleatoria, con distribucion normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(x\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, ,mean=3, sd=0.5)
## [1] 0.8413447
  • para calcular el cuantil 0.7 de una variavle aleatoria normal estandar z, es decir un valor x tal que
qnorm(0.7)
## [1] 0.5244005
  • para calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT 0.5
qnorm(0.7, sd=0.5)
## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con elcomando qnorm (1-alfa). algunos ejemplos:

qnorm(0.975)
## [1] 1.959964
  • Para generar una muestra de tamaño 100 de una publicaciión normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):
x <- rnorm(100, mean = 10, sd=1)
x
##   [1] 10.182202 10.213295 11.520979  8.856767 10.121176 10.802857 10.044910
##   [8] 10.399265  9.316279 10.820189 10.848704 10.059371  8.551802 10.914746
##  [15] 11.573273 11.490281  8.472158  8.815484 10.148814  8.533019 11.098363
##  [22]  8.905764 10.015410 10.310668 11.046658 10.078353  9.291590 10.418922
##  [29] 10.289282  9.501835  9.639076  9.012093 10.522630 10.236437  8.450544
##  [36] 10.681705 11.631325  9.004311  9.782607  9.750732  9.649832 10.534849
##  [43] 10.196178 10.412433 10.220671  8.942929  9.692438 10.833935  8.120571
##  [50]  8.360937  9.209539 10.357118 12.539160 10.073271 10.765194  8.957511
##  [57]  9.851035 11.459813  9.821260 10.358701 11.144626  7.765362  8.146218
##  [64] 12.540821 11.100227  9.730074  9.750682  8.965468 11.552978  9.929769
##  [71] 11.462941 11.381810  9.088766 11.166966  7.961045  8.868467 10.351606
##  [78]  9.062106 10.177884 11.219145 12.130109 10.551069 10.552916 10.679140
##  [85] 11.111720  9.745347 10.368062  8.372828  9.933849 10.422972  8.572520
##  [92] 10.767050  8.815310  7.058470  8.066818 10.827543  9.539971 11.248783
##  [99]  8.081821 10.333371
  • Para estimar el promedio de x
mean(x)
## [1] 10.00258
  • Histograma de frecuencias
hist(x)

  • Gráfico de cajas y bigote
boxplot(x)

  • Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las areas de los rectangulos sean 1) junto con la densidad de poblacion:
hist(x,freq =FALSE) #FREAQ= FALSE,PARA QUE EL AREA DEL HISTOGRAMA SEA 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), form= 7, to =13, add = TRUE)
## Warning in plot.xy(xy.coords(x, y), type = type, ...): "form" is not a graphical
## parameter

Ejercicios 1. si \(Z\) es una variavle con distribución normal estándar, calcula \(\mathbb{P}(-2.34 < z < 4.78)\).

  1. Calcula el rango de inrercuartílico de una población normal estandar.

  2. Genera una mestra de tamaño 10 de una población normal estándar. ¿Cúal es la diferencia entre la medida muestral y la poblacional? Repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias.

  3. Genera 1000 numeros con distribucion de Poisson de parámetro \(\lambda = 1)\). Representa el gráfico de barras de los números obtenidps. Calcula la media y la varianzade los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?

  4. Calcula con R los siguentes calores: \(t_{3,\alpha}\), \(chi^2_{3,\alpha}\), para \(\alpha = 0.05\), y \(\alpha = 0.01\). Compara los valores obtenidos con los que aparecen en las correspondientes tablas.