Introducción a la probabilidad

“Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre.” Wasserman

  1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
  2. Interpretación frecuentista de probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relación con independencia.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \]

Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila.

\[ A = \{AA, AS\} \]>

Eventos Equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Quimica hay 300 estudiantes hombres y 700 mujeres, la proporcion de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300}=0.3\ \]

Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]

Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

y la función para calcular las combinaciones es choose(n, r)

choose (6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesion de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace=TRUE)
lanzamientos_10
##  [1] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A"

Podemos calcular la secuencia de frecuencias relativas de aguila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A")
##  [1] 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

Dividiendo

##  [1] 1.00 1.00 0.67 0.75 0.80 0.83 0.86 0.88 0.89 0.90

##Distribuciones de probabilidad