Introduccion a la probabilidad

Probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre. Wasserman

  1. Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
  2. Interpretacion frecuencista de la probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relacion con la independencia.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayusculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte aguila.

\[ A=\{AA, AS\} \] ## Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion o cociente de una parte respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Quimica hay 300 estudiantes que son hombres y 700 que son mujeres, la proporcion de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300} =0.3 \] Eventos equiprobables si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el numero de resultaos en A dividio entre el numero total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la seleccion es aleatoria, ¿cual es la probabilidad de que el comite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comites, cada uno tiene la misma posiblidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comites que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] Y la funcion para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)
## [1] 0.2397602

Interpretacion frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido o frecuente ocurre una u otra cosa en una sucesion de observaciones.

lanzamiento_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace = TRUE)
lanzamiento_10
##  [1] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S"

Podemos calcular las secuencia de frecuencia relarivas de aguila:

cumsum(lanzamiento_10 == "A") # suma acumulada de aguilas
##  [1] 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7

Dividiendo

round(cumsum(lanzamiento_10 == "A") / 1:10, 2)
##  [1] 0.00 0.50 0.67 0.75 0.80 0.83 0.86 0.88 0.78 0.70