Raíz de dos.

La aparición de \(\sqrt{2}\) apareció al querer calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, que, para el criterio del momento, no encajó por no expresarse como razón de dos números enteros.

Su descubrimiento se le atribuye al pitagórico Hípaso de Metaponto, quien fue el primero en producir una demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. Lo sentenciarion a la pena capital, ahogándole en el mar.

Demostración.

Vamos a demostrar que \(\sqrt{2}\) es irracional.

Dem: (Por reducción al absurdo) Voy a suponer que \(\sqrt{2}\) es racional. Entonces \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\) donde \(a\) y \(b\) son números enteros que no tienen divisores en común.

Por lo tanto \(b*\sqrt{2}=a\) \(\implies\) \(b^2*2=a^2\) lo cual significa que \(a^2\) es un número par.

Hay que recordar que si multiplicamos dos números pares el resultado será un número par, entonces podemos afirmar que \(a\) es un número par. Esto significa que:

\(a=2k\) donde \(k\) es un número entero, sustituyendo esto se tiene que \(b^2*2=(2k)^2=4k^2\) \(\implies\) \(b^2=2k^2\), lo cual significa que \(b^2\) es un número par, por el razonamiento de antes tenemos que \(b\) es un número par.

En conclusión, tenemos que \(a\) y \(b\) son números pares, lo cual significa que son múltiplos de dos (tienen al dos como divisor común), esto es una contradicción porque habíamos dicho que eran números enteros sin divisores en común. Por lo tanto \(\sqrt{2}\) es irracional.

Funciones.

Los conceptos de relación y función son, sin duda alguna, de los más importantes de las matemáticas modernas. La mayor parte de la investigación en matemáticas se centra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual, no ha de sorprender que estos conceptos sean de una gran generalidad.

En matemáticas la palabra relación es usada en el sentido de relacionar. Las siguientes oraciones parciales son ejemplo de relaciones:

    es menor que,       está incluido en,
    divide a,           es miembro de,
    es congruente a,    es madre de,
            

Para entender lo que es una función primero tenemos que tener en claro lo que es una relación. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas, \((x,y)\), que a veces se lee como “\(x\) está relacionado con \(y\)” veamos un ejemplo:

Relación.

Si tenemos que \(P = \{Daniel, Andrea, Erick, Sofía\}\), puedo definir una relación como sigue: “a \(x\) le gusta \(y\)”, donde \(x, y\) son elementos del conjunto \(P\).

Así podemos crear el conjunto de personas que se gustan \(R = \{(D, A), (A, E), (A, S), (S, D), (E, D)\}\) el cual es una relación ya que sus elementos son parejas ordenadas. Podemos ver a una relación como una asignación entre los elementos de dos conjuntos no necesariamente distintos, en el siguiente dibujo están las relaciones de \(R\).

Como podemos notar, a Andrea le gustan dos personas, mientras que a dos personas distintas les gusta Daniel. Esto parece que no es relevante pero sí lo es.

Relación - Dominio y rango.

Como ya vimos, una relación involucra al menos dos conjuntos, pueden ser el mismo. La definición formal de una relación \(R\) del conjunto \(A\) en el conjunto \(B\) es: \(R = \{(a, b)|a\in A,b\in B\}\) el conjunto de parejas ordenadas, decimos que \(x\) está relacionado con \(y\) (o \(x\) está en relación \(R\) con \(y\)) si \((x, y)\in R\), también se suele escribir como: \(xRy\).

Dos conceptos importantes de las relaciones son los de rango y dominio.

• El dominio de una relación es el conjunto de todos los \(x\) que están en relación \(R\) con algún \(y\), se denota como \(domR=\{x:\exists y\:tal\:que\:(x,y)\in R\}\).
• El rango de una relación es el conjunto de todos los \(y\) tales que para algún \(x\), \(x\) está en relación \(R\) con \(y\), se denota como \(ranR=\{y:\exists x\:tal\:que\:(x,y)\in R\}\).

Podríamos decir que el dominio son los elementos de la izquierda y el rango son los elementos a la derecha, en el ejemplo el dominio de \(R\) son las personas a las que les atrae alguien y el rango de \(R\) es el conjunto de los crushes o amores platónicos (quizá correspondidos).

Funciones.

Bueno, ahora sí vamos con las funciones. Las funciones son una relación la cual cumple que los elementos del dominio solo se relacionan con un solo elemento del rango, veamos un ejemplo. En la relación de personas que se gustan a una persona le gustan dos personas distintas, en una función no podemos admitir esto, de hecho es la regla que le vamos a pedir a una relación para que sea función.

Formalmente una función \(f\) es una relación que cumple: si \((a, b)\) y \((a, c)\) son elementos de \(f\) entonces \(b = c\). Esto quiere decir que para cada \(a\) elemento del dominio de \(f\) hay exactamente un elemento \(b\) tal que \((a, b)\) pertenece a \(f\),

\(\forall a\in domf\exists b:(a,b)\in f\).

Este único \(b\) es llamado valor de \(f\) en \(a\) y es usualmente denotado por \(f(a)\). Si \(f\) es una función con \(domf = A\) y \(ranf\) contenido en \(B\), \(ranf\subseteq B\) entonces \(f = \{(a, f(a))|a\in A\}\) y es costumbre emplear la notación \(f: A → B\) para denotar a la función \(f\), o de manera más precisa:

\[ f: A → B \\ \:\:\:\:a → f(a) \]

También hay que notar que si \(a\) no está en \(A\), entonces \(f(a)\) carece de sentido.

Ejemplos.

1. Si \(X\) es un conjunto y \(f = \{(x, y)| x = y\}\), donde \(x\) e \(y\) son elementos de \(X\), es una función que se llama la identidad en \(X\). También se suele escribir así: \(f(x)=x\).

2. Sean \(X\) un conjunto y \(A\subseteq X\). Definamos \(X_{A} : X → {0, 1}\) por la regla: \[ X_{A}(x) = \begin{cases} 1 & \quad \text{si } x\in A\\ 0 & \quad \text{si } x\notin A \end{cases} \]. Esta función se llama la función característica de A.

3. Sea \(f : \mathcal{R} → \mathcal{R}\), donde \(\mathcal{R}\) es el conjunto de los números reales y \(f(x) = x ^ 2\). Se puede escribir como el siguiente conjunto \(f=\{(x,x^2):x\in\mathcal{R}\}\).

4. Sea \(f\) una función. La relación \(f ^ -1 = \{(y, x): (x, y)\in f\}\) no necesariamente es una función, pero decimos que \(f\) es invertible si la relación \(f ^ {-1}\) es función.

Relación vs función.

Si modificamos la relación de arriba podemos crear una función.

Hay que notar que para que una relación sea función, a cada elemento del dominio solo le corresponde un elemento del rango. Sin embargo, no importa que dos elementos distintos del dominio estén relacionados con un mismo elemento del rango.

Funciones inyectivas.

Una función \(f\) es llamada inyectiva (o uno a uno) si \(a\) y \(b\) son elementos distintos del dominio de \(f\), entonces \(f(a)\) es distinto de \(f(b)\). Se puede escribir como: sean \(a,b\in domf\), si \(a\neq b\), entonces \(f(a)\neq f(b)\).

También se utiliza la contrarrecíproca del enunciado como definición: si \(a\) y \(b\) son elementos del dominio de \(f\) y \(f(a) = f(b)\) entonces \(a = b\). Se puede escribir como: \(f(a)=f(b)\) entonces \(a=b\).

Así, una función inyectiva asigna diferentes valores para diferentes elementos de su dominio.

Ejemplos:

• \(f(x) = x + 5\) es una función inyectiva.
• \(f(x) = x ^ 2\) no es una función inyectiva, ya que \(f(1) = f(-1) = 1\), claramente 1 es distinto de -1.

Funciones sobreyectivas.

Una función \(f: A → B\) es sobreyectiva si para cada \(b\) en \(B\), existe un elemento \(a\) en \(A\) tal que \(f(a) = b\). \(\forall b\in B\exists a\in A:f(a)=b\).

Ejemplos:

• \(f: R → R\) como \(f(x) = 2x + 1\), es una función sobreyectiva, ¿y si el rango y dominio fueran el conjunto de números enteros?

Funciones biyectivas.

Una función se llama biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplos:

• \(f(x) = x + 1\), donde \(f\), es una función biyectiva.

• \(f: R → R, f(x) = x ^ 2\). No es inyectiva ni biyectiva.

• \(f:R \to R\), \(f(x)=3\). No es inyectiva ni sobreyectiva.