Introducción a la probabilidad

Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre.” -Wasserman

  1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
  2. Interpretación frecuentista de probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relación con independencia.
  4. La regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[ \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.

El evento: que el primer lanzamiento resulte águila es

\[ A = \{AA, AS\} \]>

Eventos Equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

Ejemplo: Si en la carrera de Ing. Quimica hay 300 hombres y 700 Mujeres, la proporción de hombre es:

\[ \frac{300}{700+300}=0.3\ \]

Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]
Por lo que solo hace falta contar.

Ejemplo: combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

la función para calcular las combinaciones en R (random) es choose(n, r)

choose (6, 3) * choose(9, 2) / choose (15, 5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una o otra cosa en una sucesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace=TRUE)

Podemos calcular las secuencia de frecuencias relativas de águila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #suma acumulada de águilas
##  [1] 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2 )
##  [1] 0.00 0.00 0.00 0.25 0.40 0.33 0.29 0.25 0.22 0.20
plot(cars)